韓梁發(fā)　鄭蔚文

排列組合問(wèn)題是高考的必考題，也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題.它聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握.實(shí)踐證明，掌握題型和識(shí)別模式，并熟練運(yùn)用，是解決排列組合問(wèn)題的有效途徑.從具體的解題方法或技巧來(lái)看，又可將問(wèn)題歸結(jié)為以下11種技巧.

1.元素相鄰，捆綁為一.例如：A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有多少？

解析把A，B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，有A44=24（種）.

2.元素相間，插空處理.例如：5名男生，3名女生站成一排，要求女生互不相鄰的排法共有A55·A36種.

3.特殊優(yōu)先，一般在后.例如：用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成多少個(gè)各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)？

解析此處特殊元素是0和2，4，特殊位置是首位和末位，0不能放首位，0，2，4應(yīng)放在末位，根據(jù)特殊先排的原則將問(wèn)題分為0在末位和2，4在末位兩種情形，所以N=A24+A12·A13·A13=30（個(gè)）.

4.條件交叉，容斥原理.例如：5名運(yùn)動(dòng)員中選4人參加接力賽，其中甲不跑首棒，乙不跑末棒，則一共有多少種不同的參賽方案？

解析此處甲不在首位，但可以在末位；乙不在末位，但可在首位.特殊元素和特殊位置之間的交叉，可以用容斥原理n（A∪B）=n（A）+n（B）-n（A∩B）來(lái)計(jì)算.

8.不同元素入盒，先分堆再排列.例如：將7名同學(xué)分到6個(gè)班級(jí)，每班至少一人，一共有多少不同的分法？

解析先將7名同學(xué)分成6堆，再按每班一堆作全排列，即N=C27×1×A66.

9.相同元素入盒，用隔板法處理.例如：10個(gè)三好學(xué)生名額分到7個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案？

解析10個(gè)名額分到7個(gè)班級(jí)，就是把10個(gè)名額看成10個(gè)相同的小球分成7堆，每堆至少一個(gè)，可以在10個(gè)小球的9個(gè)空位中插入6塊木板，每一種插法對(duì)應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為C69=84（種）.

10.正難則反，間接作答.例如：一個(gè)袋中裝有4個(gè)紅球，6個(gè)白球.若從中若取出一個(gè)紅球得2分，取出一個(gè)白球得1分.現(xiàn)從袋中任取4球，若使得分?jǐn)?shù)不少于5分，不同的取法共有多少種？

解析若正面處理，則應(yīng)分成{4紅}，{3紅1白}，{2紅2白}，{1紅3白}這四類(lèi)分別求組合數(shù).若從反面看，只需選出的四球不全是白球就可以滿(mǎn)足要求.所以N=C410-C46=195（種）.

11.環(huán)狀排列，化環(huán)為直.例如：4名同學(xué)2名老師手牽手圍成一圈，有多少不同的排法？若要求老師必須相鄰，又有多少種不同的排法？