袁桓

摘 要：解的存在性和正則性是偏微分方程研究的重要課題.古典解往往難以直接到達(dá)，數(shù)學(xué)上定義了可微性弱一點(diǎn)的強(qiáng)解和弱解，并發(fā)展了先求證強(qiáng)解或弱解的存在性，在利用先驗(yàn)估計(jì)提升正則性的方法.該文將證明一類(lèi)非線性偏微分方程弱解的存在性.

關(guān)鍵詞：Banach不動(dòng)點(diǎn)定理 弱解存在性 非線性偏微分方程

中圖分類(lèi)號(hào)：O13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2013）03（c）-0-01

取足夠小，則有，故是壓縮映射。由Banach不動(dòng)點(diǎn)定理，知存在唯一不動(dòng)點(diǎn)。定理得證。

3 結(jié)語(yǔ)

由此，我們看到，形如（1）的二階非線性偏微分方程在一定條件限制下存在唯一的弱解。事實(shí)上，對(duì)于各種具體的情況，我們還可以利用各種正則性估計(jì)理論將這個(gè)弱解的正則性提高，從而使得這個(gè)解滿(mǎn)足二次可微的性質(zhì)。這樣的話，就得到物理和實(shí)際上需要的強(qiáng)解。滿(mǎn)足了強(qiáng)解的存在性的話，上述證明事實(shí)上也給出了利用迭代構(gòu)造一個(gè)可以逼近這個(gè)強(qiáng)解的收斂函數(shù)列的方法。在現(xiàn)實(shí)情況中，我們只需要取這個(gè)函數(shù)列的前面幾項(xiàng)，就可以得到合乎足夠精度要求的數(shù)字解。這也是計(jì)算數(shù)學(xué)中常用的方法。但是，這樣一個(gè)解釋存在的是可以做數(shù)值逼近的前提條件。這就是理論數(shù)學(xué)研究的范疇。

參考文獻(xiàn)

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