趙國(guó)瑞

等腰三角形是一類特殊的三角形，它的性質(zhì)和判定在幾何證明和計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用.有些幾何圖形中不存在等腰三角形，可根據(jù)已知條件和圖形特征，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，巧妙構(gòu)造等腰三角形，然后利用等腰三角形的性質(zhì)使問(wèn)題獲解.

一、利用角平分線+平行線，構(gòu)造等腰三角形

當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線，我們可以通過(guò)作平行線構(gòu)造等腰三角形.如圖1，AD是△ABC的角平分線.

①如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，則△ADE是等腰三角形；

②如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則△ABE是等腰三角形；

③如圖5，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC分別交AD、BC于點(diǎn)F、G，則△AEF是等腰三角形；

④如圖4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，則△AEF是等腰三角形；

⑤如圖6，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AD交AB的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則△ACE是等腰三角形；

⑥如圖7，點(diǎn)E是AC邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD，交AB的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，則△AEF是等腰三角形.

我們知道，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合，簡(jiǎn)稱“三線合一”.現(xiàn)在的問(wèn)題是：如果三角形一邊上的中線與它的對(duì)角的角平分線重合，那么這個(gè)三角形是否是等腰三角形呢？答案是肯定的，現(xiàn)在就來(lái)證明這個(gè)定理.

例1 如圖8，△ABC中，中線AD平分∠BAC.求證：AB=AC.

分析：AD既是△AC的中線，同時(shí)又是△ABC的角平分線.聯(lián)想到與角平分線和中線有關(guān)的輔助線，可過(guò)點(diǎn)B（或點(diǎn)C）作AC（或AB）的平行線.

證明：如圖9，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD.

∵BD=CD，∠BDE=∠ADC，DE=AD，

∴△BDE≌△CDA.

∴BE=AC，∠E=∠CAD.

又∠BAD=∠CAD，∴∠BAD=∠E.

∴AB=BE.∴AB=AC.

說(shuō)明：本例也可過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，如圖10所示，從面積入手證明.

二、利用角平分線+垂線，構(gòu)造等腰三角形

當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線時(shí)，我們也可以通過(guò)作垂線的方法構(gòu)造等腰三角形.如圖11，點(diǎn)E是∠ABC的角平分線AD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，則△AMN是等腰三角形.

例2 如圖12，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于D， CE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：CE=BD.

分析：由角平分線和垂線可以構(gòu)造以BC為腰、∠ABC為頂角的等腰三角形.

證明：如圖12，延長(zhǎng)CE交AB的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，由角平分線的對(duì)稱性知CE=EF=CF.

∵∠1+∠F =90°，∠2+∠F =90°，

∴∠1=∠2.

又AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，

∴△BAD≌△CAF.∴BD=CF.

∴CE=BD.

三、利用中垂線，構(gòu)造等腰三角形

當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)高時(shí)，可以在高所在的邊（或其延長(zhǎng)線）上取一點(diǎn)，使高是該點(diǎn)與該邊上三角形的一頂點(diǎn)組成的線段的中垂線，從而構(gòu)造等腰三角形.

如圖13，AD是△ABC的高.

①如圖14，在線段BC上取一點(diǎn)E使ED=DE，連結(jié)AE，則△AEC是等腰三角形；

②如圖15，在線段BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使BD=DE連結(jié)AE，則△ABE是等腰三角形.

例3 如圖16，在△ABC中，AD⊥BC于 點(diǎn)D，∠B=2∠C.求證：AB+BD=CD.

分析：由待證結(jié)論AB+BD=CD并結(jié)合已知條件“AD⊥BC”，可構(gòu)造以AB為腰、AD為底邊上的高的等腰三角形.

證明：在BC上取一點(diǎn)E，使BD=DE，連結(jié)AE，則△ABE是等腰三角形.

∴AB=AE，∠B=∠AED.

而∠AED=∠C+∠CAE，且∠B=2∠C， ∴∠C+∠CAE=2∠C.

∴∠CAE=∠C.∴AE=CE.∴AB=CE.

∴AB+BD=CE+DE=CD.

四、利用平行線，構(gòu)造等腰三角形

過(guò)等腰三角形一腰上的點(diǎn)作底邊或另一腰的平行線，都可以得到等腰三角形. 如圖17，在△ABC中，AB=AC.過(guò)線段AB上一點(diǎn)D作DE∥BC，DF∥AC，分別交AC、BC于點(diǎn)E、F，則△ADE和△BDF都是等腰三角形.

例4 如圖18，△ABC中，AB=AC，D是AB上一點(diǎn)，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=CE，DE交BC于點(diǎn)F.求證：DF=EF.

分析：由待證結(jié)論知點(diǎn)F是線段DE的中點(diǎn)，再結(jié)合已知條件“AB=AC”，可過(guò)點(diǎn)D作DM∥AC構(gòu)造等腰三角形.

證明：過(guò)點(diǎn)D作DM∥AC交BC于點(diǎn)M，則∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E.

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.

∴∠B=∠DMB.∴BD=DM.

又BD=CE，∴DM=CE.

在△DMF和△ECF中，DM=CE，∠FDM=∠E，∠DFM=∠EFC，

∴△DMF≌△ECF.∴DF=EF.

說(shuō)明：本例也可過(guò)點(diǎn)E作EN∥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，證明過(guò)程留給同學(xué)們完成.

五、轉(zhuǎn)化倍角，構(gòu)造等腰三角形

當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，我們就可以通過(guò)轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰三角形.

如圖19，△ABC中，∠B=2∠C.

①如圖20，作BD平分∠ABC，則△DBC是等腰三角形；

②如圖21，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D，使BD=BA，連結(jié)AD，則△ADC是等腰三角形；

③如圖22，以C為角的頂點(diǎn)，CA為一邊，在形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則△DBC是等腰三角形.

例5 如圖23，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BC=2AB.求證：∠A=90°.

分析：結(jié)合已知條件“∠ABC=2∠DBA”和“BC=2AB”，可作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，并取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，借助等腰三角形的“三線合一”和三角形全等證明.

證明：作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，則∠DBE=∠C.∴BD=CD.

取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則BE=AB，且DE⊥BC.

在△ABD和△EBD中，BE=AB，∠DBE=∠DBA，BD=BD，

∴△ABD≌△EBD.∴∠BED=∠A=90°.

（作者單位：湖北省襄陽(yáng)市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)）