徐志山

摘 要：本文首先從實(shí)體上建立了行星輪系的物理模型，根據(jù)力的平衡和能量守恒關(guān)系推導(dǎo)出行星輪系的運(yùn)動(dòng)方程；然后從理論上對(duì)2K-H（A）行星輪系建立了數(shù)學(xué)模型，結(jié)合數(shù)理分析，得出了同樣的運(yùn)動(dòng)方程。這種“模型化”的分析方法揭示了行星輪系傳遞運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在規(guī)律性，為其他輪系的分析提供了新的方法。

關(guān)鍵詞：2K-H（A）行星輪系 模型化 物理模型 數(shù)學(xué)模型

行星輪系屬于非定軸輪系，它結(jié)構(gòu)緊湊、重量輕，可以實(shí)現(xiàn)多個(gè)傳動(dòng)比，在傳動(dòng)、減速機(jī)構(gòu)中多有應(yīng)用。所謂2K-H（A）型行星輪系，就是兩個(gè)中心輪和一個(gè)行星架組成的行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，主要由四部分組成：中心太陽輪A、齒圈B、行星輪C和行星架H，其中A、B、H的轉(zhuǎn)動(dòng)軸在一條直線上，稱為行星輪系的基本構(gòu)件，且軸線固定，C可以繞該轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)A、B、C的齒數(shù)分別為zA、zB和zC，它們的模數(shù)都相同，明顯有zA

圖1 2K-H（A）型行星輪系的結(jié)構(gòu)示意圖

一、2K-H（A）型行星輪系“模型化”假設(shè)

1.假設(shè)

承受一定載荷的行星輪系在傳動(dòng)過程中傳遞運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力，為了便于分析，首先提出三點(diǎn)假設(shè)。

第一，若行星輪系中定軸主動(dòng)件勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則其他各個(gè)定軸從動(dòng)件都處于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)——運(yùn)動(dòng)假設(shè)。

第二，若不考慮行星輪系各構(gòu)件間的摩擦和制動(dòng)帶來的能量損失，則該輪系的輸入功率等于輸出功率——能量守恒假設(shè)。

第三，若主動(dòng)件在嚙合點(diǎn)的施力方向與速度方向一致，該主動(dòng)件向輪系輸入功率；反之，則吸收功率。從動(dòng)件在嚙合點(diǎn)的受力方向與速度方向總是一致，對(duì)外輸出功率——能量分配假設(shè)。

2.特征

根據(jù)“模型化”假設(shè)，2K-H（A）型行星輪系具有如下特征。

第一，若行星輪系某一構(gòu)件勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則其他各構(gòu)件均處于轉(zhuǎn)動(dòng)平衡。

第二，行星輪系彼此相接觸的構(gòu)件間存在作用力和反作用力關(guān)系，且作用點(diǎn)在嚙合點(diǎn)或轉(zhuǎn)動(dòng)中心上。

第三，若行星輪系某一構(gòu)件在嚙合點(diǎn)和轉(zhuǎn)動(dòng)中心上存在作用力，則它們?cè)谕黄矫鎯?nèi)，且彼此相互平行，并對(duì)該構(gòu)件在這一平面內(nèi)任意一點(diǎn)力矩的代數(shù)和為零。

二、2K-H（A）型行星輪系物理模型

根據(jù)2K-H（A）型行星輪系“模型化”假設(shè)，將它的各個(gè)構(gòu)件抽象為剛體，運(yùn)用物理學(xué)中力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，對(duì)構(gòu)件進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，下面分兩種情況討論。

為了便于分析，設(shè)定以下參數(shù)，

TA——輸入給太陽輪A的動(dòng)力矩，

TB——輸入給齒圈B的動(dòng)力矩，

TH——行星架H的輸出動(dòng)力矩，

rA——太陽輪A的分度圓半徑，

rB——齒圈B的分度圓半徑，

rH——行星輪與太陽輪轉(zhuǎn)動(dòng)中心之間的距離，且 ，

——齒圈與太陽輪半徑之比。

1.單自由度物理模型

將2K-H（A）型行星輪系中某一基本構(gòu)件固定后，該輪系變成有三個(gè)活動(dòng)構(gòu)件、三個(gè)低副和兩個(gè)高副的輪系，由平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算公式，可得

F=3n-2PL-PH （1）

這里，n、PL、PH分別為機(jī)構(gòu)的活動(dòng)件數(shù)、低副數(shù)和高副數(shù)。顯然，該輪系的自由度為

F=3×3-3×2-2=1

我們稱這種輪系為單自由度行星輪系。根據(jù)輪系的傳動(dòng)規(guī)律，單自由度行星輪系只需一個(gè)主動(dòng)構(gòu)件，該機(jī)構(gòu)就有確定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，但計(jì)算它的傳動(dòng)比與定軸輪系大不相同。為了便于分析計(jì)算，先來分析受力，可分解為以下六種情況。

第一種情況：A為固定件，B為主動(dòng)件，H為從動(dòng)件。

第二種情況：A為固定件，H為主動(dòng)件，B為從動(dòng)件。

第三種情況：B為固定件，H為主動(dòng)件，A為從動(dòng)件。

第四種情況：B為固定件，A為主動(dòng)件，H為從動(dòng)件。

第五種情況：H為固定件，A為主動(dòng)件，B為從動(dòng)件。

第六種情況：H為固定件，B為主動(dòng)件，A為從動(dòng)件。

下面以第一種情況為例，分析輪系各構(gòu)件間的受力情況，其受力圖如圖2所示。

圖2 A為固定件，B為主動(dòng)件，H為從動(dòng)件

在圖2中，假設(shè)中心太陽輪A為固定件，轉(zhuǎn)速ωA=0，齒圈B為主動(dòng)件，轉(zhuǎn)速為ωB，行星架H為從動(dòng)件，轉(zhuǎn)速為ωH。對(duì)行星輪C的轉(zhuǎn)動(dòng)有影響的力是：受到中心太陽輪A、齒圈B和行星架H的力FAC、FBC、FHC分別作用在嚙合點(diǎn)OA、OB和行星輪的中心OC上，主動(dòng)件齒圈B的轉(zhuǎn)向，顯然有B對(duì)C的力FBC方向向右，且FBC的大小與主動(dòng)件的輸入轉(zhuǎn)矩有關(guān)?，F(xiàn)在來判斷其他力的方向和大小。

行星輪C處于轉(zhuǎn)動(dòng)平衡狀態(tài)，滿足對(duì)嚙合點(diǎn)OA的力矩平衡，即 M（OA）=0 （2）

由（2）式知，可以判斷行星輪在轉(zhuǎn)動(dòng)中心 處受到的力 方向向左，且有 FHC=2FBC （3）

因?yàn)樾行禽啙M足受力平衡，應(yīng)有 ∑F（C）=0 （4）

由（4）式知，F(xiàn)AC的方向向右，且有 FAC+ FBC = FHC （5）

由（3）、（5）式，可得 FAC = FBC （6）

同理，可以分析第二種情況至第六種情況中行星輪的受力情況，從中可以看出，即使主動(dòng)件不同，但它們都有相同的受力情況。在FAC、FBC、FHC中，必有一個(gè)為主動(dòng)件產(chǎn)生的力，稱為主動(dòng)力；另外兩個(gè)分別為從動(dòng)件和固定件產(chǎn)生的力，稱為被動(dòng)力，且都滿足（3）式和（6）式。

再來分析圖2的運(yùn)動(dòng)情況。

主動(dòng)件齒圈的輸入功率P1為 PI=TBωB=FBCrBωB （7）

根據(jù)作用力和反作用力的關(guān)系，從動(dòng)件行星架為順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，且對(duì)外輸出，輸出功率PO為

PO=THωH=FHCrHωH （8）

根據(jù)能量守恒假設(shè)，PO=PI′，經(jīng)過化簡(jiǎn)，得到

ωA +αωB-（1+α）ωH =0 （9）

我們就稱（9）式為單自由度行星輪系基本運(yùn)動(dòng)方程。

2.雙自由度物理模型

在2K-H（A）型行星齒輪機(jī)構(gòu)中，若基本構(gòu)件都不固定，該機(jī)構(gòu)有四個(gè)活動(dòng)件、四個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和兩個(gè)齒輪副，由自由度計(jì)算公式，可知自由度為2。這樣的機(jī)構(gòu)要有兩個(gè)活動(dòng)的主動(dòng)件作為輸入件，機(jī)構(gòu)的輸出件才有確定的輸出，這種輪系又稱為差動(dòng)輪系。從傳動(dòng)方式上看，該機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)方式有三種。方式一：太陽輪和齒圈為主動(dòng)件，行星架為從動(dòng)件；方式二：太陽輪和行星架為主動(dòng)件，齒圈為從動(dòng)件；方式三：齒圈和行星架為主動(dòng)件，太陽輪為從動(dòng)件。

先來分析方式一。如圖3所示，A、B為主動(dòng)件，轉(zhuǎn)速為ωA、ωB，且ωA>ωB，都為順時(shí)針方向，H為從動(dòng)件，根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，太陽輪A對(duì)行星輪C的力FAC方向向右，由行星輪系的運(yùn)動(dòng)特征，齒圈B對(duì)行星輪C的力FBC也向右，行星架H對(duì)行星輪C的力FHC向左，依舊有

（10）

因?yàn)橹行妮咥和齒圈B對(duì)行星輪C在嚙合點(diǎn)的施力方向與速度方向相同，均輸入功率；行星架H輸出功率。在不考慮能量損失時(shí)，行星輪系能量守恒，即輪系輸入功率等于輸出功率。

圖3 A、B為主動(dòng)件，H為從動(dòng)件

主動(dòng)件的輸入功率PI為

PI=TAωA+TBωB （11）

因?yàn)?TA=FACrA，TB=FBCrB

所以 PI=FACrAωA+FBCrBωB （12）

根據(jù)力的作用相互性原理，行星架收到行星輪的反作用力作用，使行星架順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，行星架輸出功率

PO=THωH （13）

因?yàn)?TH=FHCrH

所以 PO=FHCrHωH （14）

根據(jù)能量守恒假設(shè)，由（12）式和（14）式可得

FACrAωA+FBCrBωB=FHCrHωH （15）

進(jìn)一步化簡(jiǎn)，得

ωA +αωB-（1+α）ωH =0 （16）

對(duì)于圖3還有兩種情況，兩個(gè)主動(dòng)件轉(zhuǎn)向相反，必然一個(gè)主動(dòng)件向輪系輸入功率，另一個(gè)主動(dòng)件從輪系吸收功率，根據(jù)輪系的能量分配假設(shè)，得到如下兩種情況。

第一種情況，A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，且輸入功率為

ωA - αωB-（1+α）ωH =0 （17）

第二種情況，B順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，且輸入功率為

-ωA +αωB-（1+α）ωH =0 （18）

綜合分析式 （17）和式（18），寫成統(tǒng)一的矢量式如下。

（19）

我們稱（19）式為雙自由度行星輪系基本運(yùn)動(dòng)方程。 、、均為轉(zhuǎn)速矢量，它們的方向在同一條直線上。在應(yīng)用（19）式時(shí)，首先確定參考正方向，可以是某一矢量的方向?yàn)閰⒖颊较颍渌噶颗c此同向取正值，相反則取負(fù)值，這樣就可以將行星齒輪傳動(dòng)方程的矢量式變成標(biāo)量式。

同理，運(yùn)用輪系的能量守恒假設(shè)和能量分配假設(shè)分析方式二、方式三都得到與式（19）相同的結(jié)論。

綜合以上分析，從“物理模型”來分析2K-H（A）型行星輪系，不論是單自由度，還是雙自由度，都遵守同樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

三、2K-H（A）型行星輪系數(shù)學(xué)模型

所謂數(shù)學(xué)模型，就是建立研究對(duì)象的函數(shù)式，首先確定自變量和因變量，然后找出因變量和自變量之間的函數(shù)關(guān)系。對(duì)于2K-H（A）型行星輪系，基本構(gòu)件和行星輪的運(yùn)動(dòng)都在同一平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，且基本構(gòu)件的回轉(zhuǎn)軸線都在一條直線上，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理可知，各基本構(gòu)件間的相對(duì)轉(zhuǎn)速僅與構(gòu)件間的轉(zhuǎn)速差有關(guān)，而與某一構(gòu)件的轉(zhuǎn)速無關(guān)，且從動(dòng)件的轉(zhuǎn)速隨著主動(dòng)件轉(zhuǎn)速的變化而變化。

為了便于分析，假設(shè)齒圈B和行星架H為主動(dòng)件，各自的轉(zhuǎn)速ωB、ωH為數(shù)學(xué)模型的自變量，中心太陽輪A為從動(dòng)件，相應(yīng)的轉(zhuǎn)速為因變量，則從動(dòng)件的轉(zhuǎn)速和主動(dòng)件轉(zhuǎn)速的關(guān)系可以用函數(shù)表示如下

ωA=ωA（ωB、ωH） （20）

我們稱（20）式為行星輪系的數(shù)學(xué)模型。在上式中， ωB、ωH為函數(shù)的自變量，第一個(gè)ωA是函數(shù)的因變量，第二個(gè)ωA是函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則。

對(duì)（20）式取微分

（21）

其中，的物理意義為：表示在ωH不變的情況下，ωA=隨ωB的相對(duì)變化率，若以行星架H為參考系，則可以表示為

（22）

式中，iHAB表示中心太陽輪A與齒圈B在以行星架H為參考系的轉(zhuǎn)速之比，稱為相對(duì)傳動(dòng)比，在該參考系中，行星輪系轉(zhuǎn)變?yōu)槎ㄝS輪系，這樣：

（23）

所以 = - α （24）

同理， = = （25）

由（22）（25）式，可知

（26）

即 （27）

將（24）（27）式代入（21）式中，得

dωA=-αdωB+（1+α）dωH （28）

再對(duì)（28）式兩邊積分，當(dāng)ωA的積分區(qū)間為[0，ωA]時(shí)，ωB的積分區(qū)間為[0，ωB]，ωH的積分區(qū)間為[0，ωH]，得到定積分表達(dá)式

∫oωA dωA= - α∫oωB dωB+（1+α）∫oωHdωH （29）

整理（29）式，得

ωA+αωB-（1+α）ωH = 0 （30）

寫成矢量式 （31）

綜合以上分析，（19）式和（31）式具有相同的表達(dá)式，即數(shù)學(xué)模型分析和物理模型分析所得結(jié)論相同。

四、小結(jié)

2K-H（A）型行星輪系有內(nèi)在的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，通過對(duì)其建立物理模型和數(shù)學(xué)模型，采用“模型化”分析方法，推導(dǎo)出行星輪系的運(yùn)動(dòng)方程，既揭示了行星輪系運(yùn)動(dòng)規(guī)律內(nèi)在的統(tǒng)一性，又便于加深對(duì)行星輪系應(yīng)用的理解。任何復(fù)雜輪系都可以視為由若干個(gè)基本輪系組合而成的。2K-H（A）型行星輪系是基本輪系中的一種，這種“模型化”方法同樣適應(yīng)于其他輪系運(yùn)動(dòng)規(guī)律的分析。

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（作者單位：宣城職業(yè)技術(shù)學(xué)院）