許文松

【摘 要】數(shù)學(xué)建模就是設(shè)法將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后解決數(shù)學(xué)問題，從而達(dá)到解決實際問題的方法，本文介紹了數(shù)學(xué)建模在解決實際問題的應(yīng)用，以及通過建模培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

【關(guān)健詞】數(shù)學(xué)建模；實際問題；數(shù)學(xué)能力；應(yīng)用意識。

一、問題的提出

普通高中新的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中明確提出要“切實培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力”，要求“增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識，能初步運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題”，逐步讓學(xué)生把實際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，然后運用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行探索、猜測、判斷、證明、運算、檢驗等使問題得到解決?；谶@個理念，在教學(xué)中通過“建?！?，培養(yǎng)學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題，提高學(xué)生解題能力是當(dāng)務(wù)之急。下面結(jié)合具體實例，對建模在實際問題中的應(yīng)用作一些探討。

二、數(shù)學(xué)建模的步驟和意義

在實際應(yīng)用中，數(shù)學(xué)建模是很復(fù)雜的。要求學(xué)生能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，其目的并不是單純地為了讓學(xué)生解決一些具體的實際問題，而是著眼于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)注重過程性和學(xué)生的參與性，避免走以前傳統(tǒng)教學(xué)中只注重講授知識的路子。在實際創(chuàng)設(shè)模型的過程中，教師所起到的作用只是給學(xué)生提出問題，讓學(xué)生在解決這些問題的過程中能夠培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力，從而提高搜集、分析數(shù)據(jù)以及將這些問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。

三、具體實例分析

數(shù)學(xué)建模的素材多種多樣，可以從書本上、實際生活、社會熱點問題以及其它相關(guān)學(xué)科中選材。建立模型的最終目的是要使模型能夠應(yīng)用于實際。下面通過對兩個問題的分析，進(jìn)一步剖析數(shù)學(xué)建摸的方法。

[案例1]：實際生活問題：購物中的討價還價問題

在當(dāng)前市場經(jīng)濟(jì)條件下，在商店尤其是私人商店里，標(biāo)價a與其進(jìn)價b之間都存在著相當(dāng)大的差距。對購物的消費者來說，總希望這個差距越小越好，即希望比值=R→1，而商家則希望R>1。這樣就存在兩個問題：第一，商家應(yīng)如何根據(jù)商品的進(jìn)價來確定其標(biāo)價才較為合理？第二，購物者根據(jù)商品標(biāo)價，如何與商家“討價還價”？

1.問題假設(shè)

對于第一個問題，國家關(guān)于零售商品的定價有相關(guān)的規(guī)定，但是在個體商家的實際定價中，可采用“黃金分割”方法，即按進(jìn)價b定出標(biāo)價a，使其滿足0.618。

對于第二個問題，一種常見的方法是“對半討價還價法”；消費者第一次還價為標(biāo)價的一半，商家第一次還價則加上兩者差價的一半；消費者第二次還價再減去兩者差價的一半，商家則又加上兩者差價的一半；如此下去，直到達(dá)到雙方都能接受的價格為止。這樣討價還價的結(jié)果，其理想的最終價格是否為標(biāo)價的黃金分割點呢？現(xiàn)在通過建立數(shù)學(xué)模型來分析“討價還價”的過程，并求出其極限，即最終結(jié)果。

2.模型建立

設(shè)標(biāo)價為a，易知前n次討價還價的結(jié)果為

3.模型求解

由此可見，bn和cn的擺動數(shù)列{an}：an=的交錯項，而

就是{bn}和{cn}共同的極限值，也就是說“對半討價還價法”的最終結(jié)果是原價的。 應(yīng)該說，這一個結(jié)果與0.618是比較接近的。

4.應(yīng)用

進(jìn)而易知，即使商家按“黃金分割法”定價，即a，經(jīng)過對半討價還價之后，若最終成交，商家出售一件商品的實際價格c=≈ × ≈1.078b ，還有接近8%的贏利，這對買賣雙方來說，都是可以接受的。

本案例讓學(xué)生從日常生活中常見的購買物品的討價還價事件入手學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，使學(xué)生獲得積極的情感體驗，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。在課堂上，每個學(xué)生都想知道討價還價是否有理論可依。教師引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)：問題……假設(shè)……建模……應(yīng)用這一基本過程進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

[案例2] 社會熱點問題：客房定價問題

1.問題提出

一個星級旅館有150間客房，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營，旅館經(jīng)理得到了一些數(shù)據(jù)：

欲使每天的收入最高，問每間客房的定價應(yīng)該是多少？

2.假設(shè)

假設(shè)1：在無其它信息時，不妨設(shè)每間客房的最高定價為160元；

假設(shè)2：根據(jù)經(jīng)理提供的數(shù)據(jù)，設(shè)隨房價的下降，住房率呈線性增長；

假設(shè)3：設(shè)每間客房的定價相等。

3.建立模型

分析：根據(jù)題意，設(shè)y表示旅館一天的總收入，x為與160元相比降低的房價。

由假設(shè)2可知，每降低1元房價，住房率增加為=0.005。

因此，y=150（160-x）（0.55+0.005x）……①，由0.55+0.005 x1， 可知0x90。

我們的問題是：當(dāng)0x90時，求y=150（160-x）（0.55+0.005x）的最大值點。

4.解模型

把①式左邊同除以（150×0.005）得：y1=-x2+50x+17600。因此，配方可得，y1=-（x-25）2+18225，顯然，當(dāng)x=25時，y1最大。所以，最大收入對應(yīng)的房價為160元-25元=135元，住房率為0.55+0.005×25=67.5%，最大收入為150×135×67.5%=13668.75（元）

5.檢驗

（1） 容易驗證此收入在己知各種定價對應(yīng)的收入中是最大的。事實上，如果便于管理，那么定價140元/（天·間）也是可以的。

（2）如果定價180元/（天·間），住房率應(yīng)為45%，其相應(yīng)收入只有12150元，由此可假設(shè)1是合理的。而二次函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個極點值25。

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為“學(xué)一個活動的最好的方法是實踐”。本教學(xué)設(shè)計的一個很大的優(yōu)點就是很貼近學(xué)生的生活實際，一方面，讓學(xué)生從生活實際出發(fā)，來解決實際中存在的問題，從而指導(dǎo)實踐；另一方面，讓學(xué)生學(xué)會從實際中找到數(shù)學(xué)問題，并加以解決，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和思維能力。

四、體會與認(rèn)識

數(shù)學(xué)建模不僅能夠促使理論和實踐相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，還增強(qiáng)了學(xué)生的參與意識，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。在問題解決的全過程中學(xué)生得到學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的實際體驗，親身體會到數(shù)學(xué)探索的愉悅，學(xué)生 “領(lǐng)略到了數(shù)學(xué)的魅力”，對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生更濃厚興趣，數(shù)學(xué)建模把數(shù)學(xué)知識延伸到了實際生活中，呈現(xiàn)給學(xué)生一個五彩繽紛的數(shù)學(xué)世界，數(shù)學(xué)建模問題如投資買賣、手機(jī)付費等方面的問題都貼近實際生活，有較強(qiáng)的趣味性，學(xué)生容易產(chǎn)生興趣，這種興趣又能激發(fā)學(xué)生更努力地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)建模是對數(shù)學(xué)教師的新的要求和挑戰(zhàn)，教師不僅要有扎實的專業(yè)功底，還要有豐富的生產(chǎn)、生活經(jīng)驗、努力保持自己的“好奇心”，留心向各行業(yè)的能手學(xué)習(xí)，開通自己的“問題源”儲備庫和咨詢網(wǎng)，在自己的視野范圍內(nèi)因地制宜地收集、編制、改造適合學(xué)生使用、貼近學(xué)生生活實際的數(shù)學(xué)建模問題，同時注意問題的開放性與可擴(kuò)展性。盡可能地創(chuàng)設(shè)一些合理、新穎有趣的問題情境來激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，使學(xué)生積極投入數(shù)學(xué)建模的實踐活動中。通過實踐活動，從中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)建模能力。