周欣

《3～6歲兒童學習與發(fā)展指南》（以下簡稱《指南》）將科學領域分成了科學探究和數(shù)學認知兩個子領域。這是因為從兒童學習和發(fā)展的角度看，科學探究和數(shù)學認知盡管有著密切的聯(lián)系，與兒童認知發(fā)展的關系都很密切，但它們作為兩個不同的學科和學習與發(fā)展的領域，有著各自不同的發(fā)展目標和發(fā)展內涵。

兒童早期的數(shù)學學習和發(fā)展是指他們在與周圍環(huán)境的互動中自發(fā)地或在成人的引導下習得數(shù)的知識、技能，發(fā)展數(shù)學認知能力的過程。它強調兒童對自己周圍環(huán)境中的數(shù)學問題的關注和興趣，強調在日常生活中通過感知、體驗和操作活動理解數(shù)的抽象關系，并在解決問題的過程中運用所學的數(shù)學知識，逐步發(fā)展邏輯思維能力。

《指南》數(shù)學認知領域的目標側重于數(shù)和形，這是兒童早期數(shù)學認知發(fā)展的最核心的內容。下面是對數(shù)學認知領域三條目標的解讀。

一、初步感知生活中數(shù)學的有用和有趣

第一條目標盡管與數(shù)學內容有關，如涉及了形狀和模式，但它最后落實在對數(shù)學的態(tài)度和體驗的重要性以及數(shù)學學習的過程性能力上。在以往的數(shù)學教育中，人們關注較多的是數(shù)學內容本身，但近年來人們在關注數(shù)學內容的同時，開始關注數(shù)學學習中過程性能力的培養(yǎng)。如美國的學前和中小學的數(shù)學標準分為內容標準和過程性標準兩個部分，內容標準提出了兒童應該掌握的數(shù)學知識和技能；過程性標準則提出了掌握這些知識技能的方法和運用知識的能力，包括解決問題、推理和證明、交流、聯(lián)系、數(shù)學的表征。數(shù)學學習的過程性標準的提出反映了數(shù)學學科在促進兒童的思維能力方面所起到的特殊作用。它使我們認識到，數(shù)學學習并非局限于數(shù)的知識、概念和技能的習得，而是能促進綜合性認知能力的發(fā)展。也正是這樣的學習才能保證兒童真正理解和運用所學的數(shù)學知識。

1 發(fā)現(xiàn)數(shù)學與日常生活之間的聯(lián)系

與兒童的生活經(jīng)驗建立聯(lián)系，這是有效的數(shù)學學習和發(fā)展必不可少的前提條件。發(fā)現(xiàn)數(shù)學與日常生活之間的聯(lián)系，能讓兒童看到數(shù)學在實際生活中的用處。數(shù)概念之間的聯(lián)系是兒童早期數(shù)學學習中的難點，也是重點。研究表明，兒童早期數(shù)知識的習得是和許多具體的情景相連的，但他們最初在不同的情景中并不會融會貫通地理解數(shù)，只有經(jīng)過相當長的時間才能逐步整合。如兒童學會數(shù)數(shù)以后并不能馬上就運用數(shù)數(shù)的方法去比較兩個集合的多少或理解數(shù)數(shù)與加減運算之間的關系。這種聯(lián)系還包括兒童的感性經(jīng)驗和正式數(shù)學知識之間的聯(lián)系、不同的數(shù)學內容之間的聯(lián)系、數(shù)學和其他知識之間的聯(lián)系。

2 在生活中解決數(shù)學問題

第一條目標期望兒童能發(fā)現(xiàn)生活中許多問題都可以用數(shù)學的方法來解決?！敖鉀Q問題”是數(shù)學學習的過程性能力之一。也是一種綜合性能力，它需要兒童在實際的問題情景和已有的數(shù)學知識經(jīng)驗之間建立聯(lián)系。

3 強調感性經(jīng)驗和興趣在數(shù)學學習中的重要性

感知和操作經(jīng)驗在兒童早期數(shù)概念的學習和發(fā)展中極為重要，兒童對數(shù)學概念的理解首先在實物操作的水平上表現(xiàn)出來，然后逐步發(fā)展到表象水平，最后發(fā)展到抽象的符號水平。積極的情感體驗在學習中能起到推動的作用，在數(shù)學學習中尤其如此。兒童早期往往更容易關注那些可感知的事物特征，會選擇那些與自己的生活經(jīng)驗有直接聯(lián)系的活動，而數(shù)學反映的是一種抽象的、看不見的關系，往往很難引起小年齡兒童的興趣，所以在數(shù)學學習中如何引發(fā)他們的興趣就成了教師和家長首先要考慮的問題。

二、感知和理解數(shù)、量及數(shù)量關系

第二條目標涉及一些最基本的數(shù)學知識技能和能力：量的比較、基數(shù)概念、集合比較、序數(shù)、加減運算，也涉及數(shù)學學習的過程性能力，包括數(shù)的表達交流、數(shù)的表征。相對而言，數(shù)的學習是兒童數(shù)學認知能力發(fā)展中的一個難點，因為數(shù)與數(shù)之間的關系看不見摸不著，它既涉及對數(shù)的抽象邏輯關系的理解，也涉及學習和運用人類發(fā)明的抽象的阿拉伯數(shù)字符號系統(tǒng)。

1 量的比較

兒童在日常生活中有大量的機會通過感知來了解和比較物體的各種特征。如通過積木來學習長度、重量和面積的知識，通過玩沙玩水來學習容量的知識，等等。第一條小目標所涉及的大多是連續(xù)量，如對物體大小、長短、粗細、輕重、容量、面積等屬性的比較，只涉及一個非連續(xù)量：多少。這條目標對小班兒童的要求是理解有關大小、多少和高矮的概念，并能準確使用這些術語，即要求兒童在兩兩比較的情況下用語言來描述物體的量的特征。對中班兒童的要求是感知和區(qū)分粗細、長短、厚薄、輕重，同樣是要求兒童能理解這些概念和會用相關術語描述物體的特征。對大班兒童的要求是能初步理解量的相對性。5～6歲的兒童已經(jīng)開始理解物體的大小、長短、高矮的相對性，如在三個物體相比較的情況下，兒童能說出物體B小于物體A但大于物體C。

2 基數(shù)概念

掌握了基數(shù)概念說明兒童在數(shù)物體時已經(jīng)理解最后說出的數(shù)是這一組物體的總數(shù)。數(shù)數(shù)是兒童早期數(shù)概念發(fā)展的重要基礎，兒童通過具體情景和與實物有關的數(shù)數(shù)來學習基數(shù)概念?！吨改稀穬H對小班兒童提出掌握基數(shù)概念的要求。具體涉及手口一致點數(shù)、說出總數(shù)和按數(shù)取物。按數(shù)取物是掌握基數(shù)概念的標志。如要求兒童從放有20顆紐扣的盒子中拿出5顆紐扣，兒童若能準確地拿出5顆紐扣則表明兒童已經(jīng)真正理解了5的基數(shù)含義。說出總數(shù)是按數(shù)取物的前提，但能說出總數(shù)并不一定說明兒童真正理解了基數(shù)含義，因為兒童有可能是在一種模仿的水平上完成數(shù)數(shù)過程的，并不明白最后所說出的數(shù)代表整個集合的數(shù)量。根據(jù)已有的研究，要求小班末期的兒童掌握5的基數(shù)概念應該是最低要求。

3 序數(shù)

兒童序數(shù)概念的發(fā)展晚于基數(shù)概念?！吨改稀穼χ邪鄡和岢隽恕皶脭?shù)詞描述事物的順序和位置”的要求。在這個年齡階段，一般要求兒童掌握10以內的序數(shù)。

4 集合比較

運用數(shù)數(shù)來比較兩個集合的大小是一個很復雜的認知活動。它涉及多方面的技能及這些技能之間的協(xié)調。從2歲半開始。兒童已逐步開始辨認4與5的多少。到3歲半以后，幾乎所有的兒童都能比較4與5的多少。兒童先學會比較兩個等量的集合，然后才會比較兩個不等量的集合?！吨改稀穼π“嗪椭邪鄡和继岢隽思媳容^的要求。對小班兒童的要求是能通過一一對應的方法比較兩組物體的多少。兒童一一對應的能力在4歲已開始發(fā)展，但發(fā)展得并不理想。研究發(fā)現(xiàn)，兒童這一能力的表現(xiàn)是有條件的，即只有在把物體排放成一一對應的狀態(tài)時，兒童才會使用這種方法來比較，反之他們不會自發(fā)地采用這種方法。如果兒童還不會運用數(shù)數(shù)來比較的話，他們往往會采用估猜的方法。事實上，5以內的數(shù)量一般采用目測的方法就能比較多少，不需要用到一一對應的方法，所以一一對應的方法應該應用于比較5個以上的物體，即超出目測的范圍才有實際意義。《指南》對中班兒童提出“能通過數(shù)數(shù)比較兩組物體的多少”的要求，應該是可行的。

5 加減運算

兒童的實物加減運算能力在2歲左右開始表現(xiàn)出來。在掌握基數(shù)概念以前，兒童就已經(jīng)知道添加或拿走物體的行為能使一個集合的數(shù)量增加或減少。這種有關物體的增加與減少的感性經(jīng)驗是學習加減運算的重要基礎。運用實物的加減運算，不僅能幫助兒童真正理解加減運算的意義，也為以后的心算與書面運算提供了重要的基礎。

《指南》對中班和大班均提出了有關加減運算的目標，但側重于兒童對加減運算的實際意義的理解。如中班的目標是“能通過實際操作理解數(shù)與數(shù)之間的關系，如5比4多1；2和3合在一起是5”。這是希望兒童在自己的操作活動中真正理解5以內數(shù)與數(shù)之間的關系。大班的目標有兩條，一條是“借助實際情景和操作（如合并或拿?。├斫狻雍汀疁p的實際意義”。對大班兒童來說，通過加減運算的學習最重要的是理解它們的實際意義，而不是提高運算技能。理解加減的實際意義意味著兒童能在實物操作的水平上理解10以內符號的意義及其數(shù)量關系，而不是僅僅會背誦幾加幾等于幾的結果。另一條是“能通過實物操作或其他方法進行10以內的加減運算”。這條目標對兒童加減運算的技能提出了一定的要求，但兒童可以使用任何策略來完成加減運算，包括實物、借助手指、口頭數(shù)數(shù)或心算。

6 表達和交流

第二條目標中蘊含了數(shù)學的“表達和交流”的過程性能力目標。所謂表達和交流即采用口頭或書面形式，如采用圖畫、符號、地圖等方式來說明或解釋問題解決和數(shù)學推理的過程。兒童通過口頭和書面的交流來更好地理解和鞏固對數(shù)的理解。通過這種交流，他們能學會運用更準確的數(shù)學語言、數(shù)的符號系統(tǒng)來表達他們的理解。交流能使數(shù)學的思維具體化，并促使兒童對這一思維過程進行反思。兒童的口頭數(shù)數(shù)交流最初出現(xiàn)在他們的日常生活中，如對食品和玩具的需求上。在真實的生活情景和操作活動過程中，在與周圍人的接觸過程中，兒童學到了許多有關數(shù)量的詞和意義。他們也學會了在具體的情景中運用這些概念，但往往在用語言來表達這種理解時出現(xiàn)困難。

對小班兒童提出“能用數(shù)詞描述事物或動作”的要求；對中班兒童提出“會用數(shù)詞描述事物的順序和位置”的要求。這兩條目標既期望兒童能在日常生活中運用數(shù)，同時希望他們能學會運用數(shù)學的術語來表達自己的需求，加深對數(shù)學概念的理解。

7 表征

第二條目標中還蘊含了“表征”的過程性能力目標。兒童運用多種表現(xiàn)手段，如手勢動作、實物、繪畫、口頭語言和書面語言來表征對數(shù)的理解。各種表征手段之間的聯(lián)系和轉換有助于兒童對數(shù)概念的理解。也有助于兒童從具體的數(shù)表征向抽象的數(shù)表征過渡?！吨改稀穼Υ蟀鄡和岢隽恕澳苡煤唵蔚挠涗洷怼⒔y(tǒng)計圖等表示簡單的數(shù)量關系”的要求。學前兒童對數(shù)量之間關系的認識大多是在實物或口頭數(shù)字的層面上進行的，而到大班末期。我們希望兒童對數(shù)量關系的理解逐步從具體到抽象，能夠在書面符號表征的層面上反映出來，如運用簡單的表格、數(shù)字符號等。這條目標既是對兒童表征能力發(fā)展的要求，也是對兒童最初的數(shù)據(jù)分析能力發(fā)展的要求。它期望兒童能提出自己的問題，并收集相關數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進行整理并能運用多種手段來表征數(shù)據(jù)。例如，今天戶外活動，我們班有多少人選擇拍球，多少人選擇跳繩，多少人選擇走平衡木。

三、感知形狀與空間關系

空間感的發(fā)展不僅有助于兒童理解自己所處的空間世界，還有利于兒童學習數(shù)學的其他內容。如當兒童比較形狀在空間中的方向和位置時，他們也在學習與“測量”有關的概念和術語：根據(jù)形狀或其它幾何特征進行分類的經(jīng)驗也是統(tǒng)計和數(shù)據(jù)分析的基本技能；擺弄幾何形狀有助于兒童熟悉方位以及其他空間術語，提高語言和閱讀水平；在美術活動中，空間關系和幾何形狀更是不可缺少的元素?？臻g感和空間概念的建構與兒童的許多活動有著密切的關系。如美術、科學、音樂、閱讀和游戲等。

1 形狀

兒童很早就開始接觸各種幾何形狀，他們通過多種活動和材料，如積木、粘土、折紙、幾何拼板、畫畫、計算機游戲等來學習和表征幾何形狀。《指南》對小班兒童提出“能注意物體較明顯的形狀特征，并能用自己的語言描述”，這主要是對形狀的整體認知和命名的要求。一般來說，小班兒童剛入園時已能認識3～4種形狀，到小班末期可能認識6～7種形狀。圓形與三角形是兒童最早掌握的幾何形狀，其他形狀包括長方形、正方形、橢圓形、半圓形等。

對中班兒童的要求有兩條，一條是“能感知物體的形體結構特征，畫出或拼搭出該物體的造型”。這主要是指對各種形狀的特征有更為細致的了解，如對邊和角的認識，并能用圖畫或積木、油泥等材料對形狀進行表征。另一條是“能感知和發(fā)現(xiàn)常見幾何圖形的基本特征。并能進行分類”。對形狀進行分類要求兒童從對單個形狀的認知擴大到對同一類形狀的了解，如不同形式的三角形：對稱三角形、直角三角形等。形狀的分類有助于兒童在操作的過程中進一步感知和比較形狀的特征，加深對形狀的認識，并從中抽象出一類幾何形狀的共同特征。

對大班兒童的要求是“能用常見的幾何形體有創(chuàng)意地拼搭和畫出物體的造型”。在中班對形狀進行單獨表征和對相似形狀進行比較和概括的基礎上，要求大班兒童能通過對形狀的有創(chuàng)意的組合形成一個新的“產(chǎn)品”，并能用圖畫表征出來。這條目標綜合了幾何形狀、形狀的組合、空間表征以及創(chuàng)造性思維品質等多種元素，并涉及了二維平面和三維形體之間的轉換。

2 空間

教師可通過特定的玩具材料、手工制作、計算機游戲、示范、故事和其他方法來豐富兒童的空間相對位置和關系的知識。

《指南》對小班兒童的方位概念的認知提出了要求，“能感知物體基本的空間位置與方位，理解上下、前后、里外等方位詞”。研究表明，小班末期的兒童大多數(shù)已經(jīng)理解了上下、里外和前后的方位詞，其中對“上下”和“里外”的理解好于對“前后”的理解。對中班兒童的要求是“能使用上下、前后、里外、中間、旁邊等方位詞描述物體的位置和運動方向”，增加了“中間”和“旁邊”的方位概念，且要求兒童能用這些方位詞來描述物體運動的方向。這意味著兒童不僅要在靜止的狀態(tài)下認識方位，還要能在物體動態(tài)的情況下來關注物體的方位和空間關系。對大班兒童的要求有兩條：“能按語言指示或根據(jù)簡單示意圖正確取放物品”“能辨別自己的左右”。第一條目標涉及物體的空間方位表征以及實際物體的空間方位與符號表征的物體方位之間的對應。這里所指的簡單示意圖可以是物體的方位圖或簡單的地圖。第二條目標要求兒童能夠以自己為中心區(qū)別左右。

從數(shù)學認知的內容來看，三條目標都強調了兒童在感知層面體驗和學習的重要性。兒童早期的數(shù)學學習的感知經(jīng)驗確實很重要，它是形成數(shù)的抽象概念的前提，但我們也要認識到，數(shù)學知識涉及對事物之間抽象關系的認識，因而數(shù)學學習光有感知經(jīng)驗還是不夠的，它只是第一步，對感知經(jīng)驗的反思和抽象才能幫助兒童真正理解數(shù)的概念和數(shù)量關系。

最后需要說明的是，現(xiàn)有的幼兒園數(shù)學教育內容中的分類、排序和模式?jīng)]有作為《指南》中的核心內容。近年來，分類、排序和模式一直是我國幼兒園數(shù)學教育的組成部分，目前也是歐美國家學前數(shù)學教育的主要內容之一?！吨改稀繁M管在數(shù)學認知領域沒有提出明確的分類、排序和模式的教育目標，但科學領域還是涉及了有關分類、排序和模式的初步技能，如要求兒童“能對事物或現(xiàn)象進行觀察比較，發(fā)現(xiàn)其相同與不同”“能發(fā)現(xiàn)和體會到按一定規(guī)律排列的物體比較整齊、美觀”。我們認為，在教育實踐中，把分類、排序和模式認知活動作為數(shù)學教育的內容仍然是可取的。