蔡敏

所謂隱含條件就是在題目中沒有明確表達出來而客觀上已存在的條件，往往給學生造成條件不夠的假象.在平時練習或考試中，我們發(fā)現(xiàn)有些題目，學生由于忽視了題中的隱含條件，以致一些本來很簡單的題目做不出來，或是使得求出的結(jié)果范圍擴大，不符合題目的要求.而如果將題目的隱含條件挖掘出來，則可使問題迎刃而解，得到正確的結(jié)果.下面就題中隱含條件的幾類題型加以簡要說明.

一、利用概念、定義、定理、公式、性質(zhì)等挖掘隱含條件

例1.在平面直角坐標系xOy中，過坐標原點的一條直線與函數(shù)f（x）= 的圖像交于P，Q兩點，求線段PQ長的最小值.

解析：乍一看，似乎無從著手.但仔細分析，過原點的直線與函數(shù)f（x）= 都是關(guān)于原點對稱的，則隱含著：P、Q兩點關(guān)于原點對稱.不妨設(shè)P（m，n）為第一象限中的點，則點Q（-m，-n），且n= ，所以|PQ|= =2 ≥4，|PQ|的最小值為4.（隱含條件：P、Q兩點關(guān)于原點對稱.）

例2.定義在R上的函數(shù)y=f（x+2）的圖像關(guān)于（-2，0）對稱，且當x∈（-∞，0）時，f（x）+xf′（x）>0（其f（x）中是f′（x）的導函數(shù)），若a=（3 ）f（3 ），b=（log 3）f（log 3），c=（log ）f（log ），則a，b，c的大小關(guān)系是？搖 ？搖.

本題已知條件中可挖掘出四處隱含條件.隱含條件1：“定義在R上的函數(shù)的圖像y=f（x+2）關(guān)于（-2，0）對稱”這句話隱含著函數(shù)y=f（x）關(guān)于原點對稱，即函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù).從題目中結(jié)構(gòu)特征挖掘隱含條件2：a，b，c的表達式結(jié)構(gòu)相同，可看成是函數(shù)y=xf（x）的三個值，由此比較a，b，c的大小可利用函數(shù)y=xf（x）的單調(diào)性.隱含條件3：f（x）+xf′（x）>0？圯[xf（x）]′>0，所以當x∈（-∞，0）時，函數(shù)y=xf（x）是增函數(shù)，當x∈（0，+∞）時，函數(shù)y=xf（x）是減函數(shù).隱含條件4：0

二、從圖形特征中挖掘已知圖形中存在的但未指明的隱含條件

例3.如圖是函數(shù)f（x）=x +ax+b的部分圖像，則函數(shù)g（x）=lnx+f′（x）的零點所在的區(qū)間是（ ）

A.（ ， ） B.（1，2） C.（ ，1） D.（2，3）

解析：學生很容易從圖像中得到f（1）=0，即1+a+b=0①，還可得出f（0）=b>0②，由①②得1+a<0，所以g（ ）=-ln2+1+a<0，但接下去就不知怎么辦了.其實，該二次函數(shù)的圖像中蘊含一個條件.圖像與x軸的另一個交點在（0，1）內(nèi)，則可推出對稱軸x=- ∈（0，1），可推出a∈（-2，0）.所以，g（1）=2+a>0.因此有g(shù)（ ）g（1）<0，答案為C.（隱含條件：對稱軸x=- （0，1）.）

三、從題目本身的文字表述中挖掘所蘊藏的隱含條件

例4.已知數(shù)列{a }的前項和為S 且a =1，a = S ，n∈N ，求數(shù)列{a }的通項公式.

很多學生這樣解答：由a -a = （S -S ）= a ，得a = a ，所以a =（ ） .這個答案是錯誤的，原因在于：忽視了公式a =S -S 的前提條件為n≥2.因為當n=1時n-1=0，數(shù)列中沒有第0項.正確的解答為：a = S = ，由a -a = （S -S ）= a ，得a = a ，所以a = ·（ ） .（隱含條件：n≥2.）

例5.已知f（x）=2x -10x，是否存在t∈N ，使得方程f（x）+ =0在區(qū)間（t，t+1）內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.

解析：方程f（x）+ =0等價于方程2x -10x +37=0.設(shè)h（x）=2x -10x +37，利用導數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：函數(shù)h（x）在（0， ）內(nèi)單調(diào)遞減；函數(shù)h（x）在（ ，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.函數(shù)的極小值h（ ）=- .由題中“t∈N ”及“（t，t+1）”這兩個式子暗示我們：t的取值在 前，t+1在 后，即t=3，計算h（3）=1>0，h（4）=5>0.所以，h（3）·h（ ）<0，h（4）·h（ ）<0.所以，方程h（x）=0在區(qū)間（3， ），（ ，4）內(nèi)分別有唯一實數(shù)根，在區(qū)間（0，3），（4，+∞）內(nèi)沒有實數(shù)根.存在唯一的自然數(shù)t=3，使得方程f（x）+ =0在區(qū)間（t，t+1）內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根.（隱含條件：“N ”及“（t，t+1）.）

例6.已知函數(shù)f（x）=-|x|+1，若關(guān)于x的方程f （x）+（2m-1）f（x）+4-2m=0有4個不同的實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）

A.m≥ B.m> C.m>- D.m<-

解析：方程可看成以f（x）為自變量的一元二次方程，那原方程有四個不同的實數(shù)解等價于一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，但學生容易忽視一點：兩根都小于1.其實，函數(shù)的解析式已經(jīng)暗示了函數(shù)的值域為（-∞，1].（隱含條件：兩根都小于1.）

解：令t=f（x）（t≤1），則原方程化為t +（2m-1）t+4-2m=0，原方程有四個不同的實數(shù)解？圳t +（2m-1）t+4-2m=0在（-∞，1）內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根.設(shè)兩根為t ，t ，則Δ>0t +t <2，∴（2m-1） -4（4-2m）>0-（2m-1）<2，解得m> 或m< m>- ，∴m> .

通過對上述幾類內(nèi)含隱含條件題目的分析，我們可以認識到，在解題時應(yīng)當認真審題，從多方向、多角度、多層次挖掘每個轉(zhuǎn)瞬即逝的隱含條件，方能順利地達到解題的彼岸，從而真正提高分析問題和解決問題的能力.