鄧揚(yáng)揚(yáng)

（廣東外語外貿(mào)大學(xué)，廣東 廣州 510006）

本文以半?yún)?shù)模型為例，對參數(shù)、非參數(shù)分量的估計值和觀測值等內(nèi)容進(jìn)行討論，并運(yùn)用三次樣條函數(shù)插值法得出非參數(shù)分量的推估表達(dá)式。另外，為了解決縱向數(shù)據(jù)下半?yún)?shù)模型的參數(shù)部分和非參數(shù)部分的估計問題，在誤差為鞅差序列情形下，對半?yún)?shù)數(shù)據(jù)模型、漸近正態(tài)性、強(qiáng)相合性進(jìn)行研究和分析。另外，本文初步討論了平衡參數(shù)的選取問題，并充分說明了泛最小二乘估計方法以及相關(guān)結(jié)論，同時對半?yún)?shù)模型的迭代法進(jìn)行了相關(guān)討論和研究。

一、概論

在日常生活當(dāng)中，人們所采用的參數(shù)數(shù)據(jù)模型構(gòu)造相對簡單，所以操作起來比較容易；但在測量數(shù)據(jù)的實(shí)際使用過程中存在著相關(guān)大的誤差，例如在測量相對微小的物體，或者是對動態(tài)物體進(jìn)行測量時。而建立半?yún)?shù)數(shù)據(jù)模型可以很好的解決和緩解這一問題：它不但能夠消除或是降低測量中出現(xiàn)的誤差，同時也不會將無法實(shí)現(xiàn)參數(shù)化的系統(tǒng)誤差進(jìn)行勾和。系統(tǒng)誤差非常影響觀測值的各種信息，如果能改善，就能使其實(shí)現(xiàn)更快、更及時、更準(zhǔn)確的誤差識別和提取過程；這樣不僅可以提高參數(shù)估計的精確度，也對相關(guān)科學(xué)研究進(jìn)行了有效補(bǔ)充。舉例來說，在模擬算例及坐標(biāo)變換GPS定位重力測量等實(shí)際應(yīng)用方面，體現(xiàn)了這種模型具有一定成功性及實(shí)用性；這主要是因?yàn)榘雲(yún)?shù)數(shù)據(jù)模型同當(dāng)前所使用的數(shù)據(jù)模型存在著一致性，可以很好的滿足現(xiàn)在的實(shí)際需要。而新建立的半?yún)?shù)模型以及它的參數(shù)部分和非參數(shù)部分的估計,也可以解決一些污染數(shù)據(jù)的估計問題。這種半?yún)?shù)模型,不僅研究了縱向數(shù)據(jù)下其自身的t型估計，同時對一些含光滑項的半?yún)?shù)數(shù)據(jù)模型進(jìn)行了詳細(xì)的闡述。另外，基于對稱和不對稱這兩種情況，可以在一個線性約束條件下對參數(shù)估計以及假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn),這主要是因?yàn)閷τ^測值產(chǎn)生影響的因素除了包含這個線性關(guān)系以外，還受到某種特定因素的干擾，所以不能將其歸入誤差行列。另外，基于自變量測量存在一定誤差，經(jīng)常會導(dǎo)致在計算過程匯總，丟失很多重要信息。

二、半?yún)?shù)回歸模型及其估計方法

這種模型是由西方著名學(xué)者Stone在上世紀(jì)70年代所提出的，在80年代逐漸發(fā)展并成熟起來。目前，這種參數(shù)模型已經(jīng)在醫(yī)學(xué)以及生物學(xué)還有經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多領(lǐng)域中廣泛使用開來。

半?yún)?shù)回歸模型介于非參數(shù)回歸模型和參數(shù)回歸模型之間，其內(nèi)容不僅囊括了線性部分，同時包含一些非參數(shù)部分，應(yīng)該說這種模型成功的將兩者的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合在一起。這種模型所涉及到的參數(shù)部分，主要是函數(shù)關(guān)系，也就是我們常說的對變量所呈現(xiàn)出來的大勢走向進(jìn)行有效把握和解釋；而非參數(shù)部分則主要是值函數(shù)關(guān)系中不明確的那一部分，換句話就是對變量進(jìn)行局部調(diào)整。因此，該模型能夠很好的利用數(shù)據(jù)中所呈現(xiàn)出來的信息，這一點(diǎn)是參數(shù)回歸模型還有非參數(shù)歸回模型所無法比擬的優(yōu)勢，所以說半?yún)?shù)模型往往擁有更強(qiáng)、更準(zhǔn)確的解釋能力。

從其用途上來說，這種回歸模型是當(dāng)前經(jīng)常使用的一種統(tǒng)計模型。其形式為：

假設(shè)Xi為p維向量，且為已知量，而g(ti)為非參數(shù)分量，那么β就是P×1，視作維代估參數(shù)，設(shè)定誤差順序列{ei}是獨(dú)立分布，E（ei）=0，那么

現(xiàn)階段，半?yún)?shù)模型研究中，所存在的基本問題就是以模型所提供的條件，結(jié)合（Xi，Ti）來對β以及g(ti)進(jìn)行有效估計。西方學(xué)者Heckman在80年代提出并使用一種光滑樣條方法，得出了參數(shù)模型估計中的堅勁正態(tài)性以及相合性。次年，speckman則此基礎(chǔ)之上提出了最小二乘估法，并對漸近性質(zhì)進(jìn)行研究。進(jìn)入90年代西方其他一些學(xué)者，像 hong、zhao、Robinson、Ronz還有 Carroll、和Schick等都對半?yún)?shù)模型的研究和發(fā)展工作作出了一系列貢獻(xiàn)。

當(dāng)前，對模型中的估計參數(shù)分量β還有非參數(shù)分量g，最為常見的使用方法就是：先設(shè)定β為已知的參數(shù)分量，那么利用既定的非參數(shù)估計法就能夠求出g這個非參數(shù)分量的估計表達(dá)式。由于所求出的表達(dá)式中含有參數(shù)分量β，所以需要對β進(jìn)行有效估計，然后再將求出的β估計全部帶入到表達(dá)式中。從而得出最終估計g。其具體操作步驟：

第一,將上述所講述的模型 Yi=Xi’β+g(ti)+ei,且 1≤i≤n，依例轉(zhuǎn)變成為：Zi=Yi-Xi’β=g(ti)+ei。

第二，先假設(shè)β為已知量，那么通過相應(yīng)的核權(quán)函數(shù)法我們就能夠求得既定函數(shù)g(ti)的估計，也就是β。其中Wni為核權(quán)函數(shù)，那么結(jié)合既定公式可以得知Zi為窗寬。

第四，參照相應(yīng)公式，對g（t）進(jìn)行最終估計，引入公式和數(shù)據(jù)得出

第五，對窗寬Zi進(jìn)行有效調(diào)整，直至滿足相關(guān)要求。

應(yīng)該說，半?yún)?shù)模型中所設(shè)計到的參數(shù)分量β，其自身估計能夠?qū)崿F(xiàn)最優(yōu)，而且相應(yīng)的收斂速度也往往為o（），但在所選用的光滑參數(shù)為特定值時，那么相應(yīng)的非參數(shù)分量，也就是g的估計就可以取得相對不錯的一個結(jié)果。

三、縱向數(shù)據(jù)、線性函數(shù)和光滑性函數(shù)的作用

縱向數(shù)據(jù)其優(yōu)點(diǎn)就是可以提供許多條件，從而引起人們的高度重視。當(dāng)前縱向數(shù)據(jù)例子也非常多。但從其本質(zhì)上講，縱向數(shù)據(jù)其實(shí)是指對同一個個體，在不同時間以及不同地點(diǎn)之上，在重復(fù)觀察之下所得到一種序列數(shù)據(jù)。但由于個體間都存在著一定的差別，從而導(dǎo)致在對縱向數(shù)據(jù)進(jìn)行求方差時會出現(xiàn)一定偏差。在對縱向數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察時，其觀察值是相對獨(dú)立的，因此其特點(diǎn)就是可以能夠?qū)⒔厝徊煌瑑煞N數(shù)據(jù)和時間序列有效的結(jié)合在一起。即可以分析出來在個體上隨著時間變化而發(fā)生的趨勢，同時又能看出總體的變化形勢。在當(dāng)前很多縱向數(shù)據(jù)的研究中，不僅保留了其優(yōu)點(diǎn)，并在此基礎(chǔ)之上進(jìn)行發(fā)展，實(shí)現(xiàn)了縱向數(shù)據(jù)中的局部線性擬合。這主要是人們希望可以建立輸出變量和協(xié)變量以及時間效應(yīng)的關(guān)系。可由于時間效應(yīng)相對比較復(fù)雜，所以很難進(jìn)行參數(shù)化的建模。

另外，雖然線性模型的估計已經(jīng)取得大量的成果，但半?yún)?shù)模型估計至今為止還是空白頁。線性模型的估計不僅僅是為了解決秩虧或病態(tài)的問題，還能在百病態(tài)的矩陣時，提供了處理線性、非線性及半?yún)?shù)模型等方法。首先，對觀測條件較為接近的兩個觀測數(shù)據(jù)作為對照，可以削弱非參數(shù)的影響。從而將半?yún)?shù)模型變成線性模型，然后，按線性模型處理，得到參數(shù)的估計。而多數(shù)的情況下其線性系數(shù)將隨著另一個變量而變化，但是這種線性系數(shù)隨著時間的變化而變化，根本求不出在同一個模型中，所有時間段上的樣本，亦很難使用一個或幾個實(shí)函數(shù)來進(jìn)行相關(guān)描述。在對測量數(shù)據(jù)處理時，如果將它看作為隨機(jī)變量，往往只能達(dá)到估計的作用，要想在經(jīng)典的線性模型中引入另一個變量的非線性函數(shù)，即模型中含有本質(zhì)的非線性部分，就必須使用半?yún)?shù)線性模型。另外就是指由各個部分組成的形態(tài)，研究對象是非線性系統(tǒng)中產(chǎn)生的不光滑和不可微的幾何形體，對應(yīng)的定量參數(shù)是維數(shù),分形上統(tǒng)計模型的研究是當(dāng)前國際非線性研究的重大前沿課題之一。因此，第一種途徑是將非參數(shù)分量參數(shù)化的估計方法,也稱之為參數(shù)化估計法，是關(guān)于半?yún)?shù)模型的早期工作，就是對函數(shù)空間附施加一定的限制，主要指光滑性。一些研究者認(rèn)為半?yún)?shù)模型中的非參數(shù)分量也是非線性的，而且在大多數(shù)情形下所表現(xiàn)出來的往往是不光滑和不可微的。所以同樣的數(shù)據(jù),同樣的檢驗(yàn)方法，也可以使用立方光滑樣條函數(shù)來研究半?yún)?shù)模型。

四、線性模型的泛最小二乘法與最小二乘法的抗差

（一）最小二乘法出現(xiàn)于18世紀(jì)末期

在當(dāng)時科學(xué)研究中常常提出這樣的問題:怎樣從多個未知參數(shù)觀測值集合中求出參數(shù)的最佳估值。盡管當(dāng)時對于整體誤差的范數(shù)，泛最小二乘法不如最小二乘法，但是當(dāng)時使用最多的還是最小二乘法，其目的也就是為了估計參數(shù)。最小二乘法，在經(jīng)過一段時間的研究和應(yīng)用之后，逐步發(fā)展成為一整套比較完善的理論體系。現(xiàn)階段不僅可以清楚地知道數(shù)據(jù)所服從的模型，同時在縱向數(shù)據(jù)半?yún)?shù)建模中，輔助以迭代加權(quán)法。這對補(bǔ)償最小二乘法對非參數(shù)分量估計是非常有效，而且只要觀測值很精確，那么該法對非參數(shù)分量估計更為可靠。例如在物理大地測量時，很早就使用用最小二乘配置法，并得到重力異常最佳估計值。不過在使用補(bǔ)償最小二乘法來研究重力異常時，我們還應(yīng)在兼顧著整體誤差比較小的同時，考慮參數(shù)估計量的真實(shí)性。并在比較了迭代加權(quán)偏樣條的基礎(chǔ)上，研究最小二乘法在當(dāng)前使用過程中存在的一些不足。應(yīng)該說，該方法只強(qiáng)調(diào)了整體誤差要實(shí)現(xiàn)最小，而忽略了對參數(shù)分量估計時出現(xiàn)的誤差。所以在實(shí)際操作過程中，需要特別注意。

（二）半?yún)⒛Ｐ驮贕PS定位中的應(yīng)用和差分

半?yún)⒛Ｐ驮贕PS相位觀測中，其系統(tǒng)誤差是影響高精度定位的主要因素，由于在解算之前模型存在一定誤差，所以需及時觀測誤差中的粗差。GPS使用中，通過廣播衛(wèi)星來計算目標(biāo)點(diǎn)在實(shí)際地理坐標(biāo)系中具體坐標(biāo)。這樣就可以在操作過程中，發(fā)現(xiàn)并恢復(fù)整周未知數(shù)，由于觀測值在衛(wèi)星和觀測站之間，是通過求雙差來削弱或者是減少對衛(wèi)星和接收機(jī)等系統(tǒng)誤差的影響，因此難于用參數(shù)表達(dá)。但是在平差計算中，差分法雖然可以將觀測方程的數(shù)目明顯減少，但由于種種原因，依然無法取得令人滿意的結(jié)果。但是如果選擇使用半?yún)?shù)模型中的參數(shù)來表達(dá)系統(tǒng)誤差,則能得到較好的效果。這主要是因?yàn)榘雲(yún)?shù)模型是一種廣義的線性回歸模型，對于有著光滑項的半?yún)?shù)模型，在既定附加的條件之下，能夠提供一個線性函數(shù)的估計方法，從而將測值中的粗差消除掉。另外這種方法除了在GPS測量中使用之外，還可應(yīng)用于光波測距儀以及變形監(jiān)測等一些參數(shù)模型當(dāng)中。在重力測量中的應(yīng)用在很多情形下，尤其是數(shù)學(xué)界的理論研究，我們總是假定S是隨機(jī)變量實(shí)際上，這種假設(shè)是合理的，近幾年，我們對這種線性模型的研究取得了一些不錯的成果，而且因其形式相對簡潔，又有較高適用性，所以這種模型在諸多領(lǐng)域中發(fā)揮著重要作用。

通過模擬的算例及坐標(biāo)變換GPS定位重力測量等實(shí)際應(yīng)用，說明了該法的成功性及實(shí)用性，從理論上說明了流行的自然樣條估計方法，其實(shí)質(zhì)是補(bǔ)償最小二乘方法的特例，在今后將會有廣闊的發(fā)展空間。另外文章中提到的分形理論的研究對象應(yīng)是非線性系統(tǒng)中產(chǎn)生的不光滑和不可微的幾何形體，而且分形已經(jīng)在斷裂力學(xué)、地震學(xué)等中有著廣泛的應(yīng)用，因此應(yīng)被推廣使用到研究半?yún)?shù)模型中來，不僅能夠更及時，更加準(zhǔn)確的進(jìn)行誤差的識別和提取，同時可以提高參數(shù)估計的精確度，是對當(dāng)前半?yún)?shù)模型研究的有力補(bǔ)充。

五、總結(jié)

文章所講的半?yún)?shù)模型包括了參數(shù)、非參數(shù)分量的估計值和觀測值等內(nèi)容，并且用了三次樣條函數(shù)插值法得到了非參數(shù)分量的推估表達(dá)式。另外，為了解決縱向數(shù)據(jù)前提下，半?yún)?shù)模型的參數(shù)部分和非參數(shù)部分的估計問題，在誤差為鞅差序列情形下，對半?yún)?shù)數(shù)據(jù)模型、漸近正態(tài)性、強(qiáng)相合性進(jìn)行研究和分析。同時介紹了最小二乘估計法。另外初步討論了平衡參數(shù)的選取問題，還充分說明了泛最小二乘估計方法以及有關(guān)結(jié)論。在對半?yún)?shù)模型的迭代法進(jìn)行了相關(guān)討論和研究的基礎(chǔ)之上，為迭代法提供了詳細(xì)的理論說明，為實(shí)際應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

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