基于互信息的圖像配準是配準的常用方法之一，但互信息的局部極值一直是難以解決的問題[1-3]。針對這一問題提出的解決方案大多集中在對插值方法的改進上，彭景林等[4]提出利用均勻B樣條基函數(shù)拓展PV插值法來避免局部極值，劉哲星等[5]提出利用插值平均法來避免局部極值，馮林等[6]也提出通過確定隨機擾動消除局部極值。然而以上方法均比較復雜，且計算量大。本文旨在對局部極值的產(chǎn)生原因進行研究，以闡述灰度預分割避免局部極值的機制。

1 配準理論

給定兩組圖像，浮動圖F和參考圖R，配準即為尋找一個幾何變換T使相似性測度M達到最大，

其中arg(x)的返回值為x，這里它的返回值為T。本文中相似性測度M采用了歸一化互信息[7,8]。

1.1 互信息 互信息是信息論的一個概念，用來描述兩個系統(tǒng)間的統(tǒng)計相關(guān)性。當兩組基于同一對象的圖像完全配準時，其互信息會達到最大。圖像R和F的互信息（mutual information, MI）定義為：

其中H(F)和H(R)分別為圖像F和圖像R的熵，H(F,R)為它們的聯(lián)合熵，熵由兩組圖像的聯(lián)合直方圖決定[9]。由于互信息與待配準兩圖像的重疊度相關(guān)，為了克服這種情況的影響，Studholme提出了歸一化互信息（normalized mutual information, NMI）：

在剛性配準中，歸一化互信息與互信息相比能得到更好的結(jié)果，而插值方法在配準中對歸一化互信息和互信息的影響相似[10]。

圖1 二維PV插值法。u對應于v1的權(quán)重w1為圖中w1所在的矩形的面積

2 局部極值的產(chǎn)生原因

2.1 插值導致局部極值 在一個比較小的范圍內(nèi)，聯(lián)合熵H(F,R)的行為決定著互信息的變化規(guī)律。浮動圖經(jīng)過幾何變換后像素落在參考圖采樣網(wǎng)格之外時，使用部分體積插值法會增加聯(lián)合直方圖的分散性[10]，而聯(lián)合直方圖分散性增大表明其聯(lián)合熵H(F,R)增加。因此，平移變換后兩組圖像的采樣網(wǎng)格在對齊情況下比未對齊時的聯(lián)合熵值小，根據(jù)互信息的計算公式（2），聯(lián)合熵H(F,R)降低會使互信息增加，這是使用部分體積插值法在平移變換的整數(shù)位置處存在局部極大值的一個原因。

2.2 噪聲導致局部極值 對于一幅圖像，處于不同物質(zhì)交界處的像素數(shù)相對于總的像素數(shù)少得多，即絕大多數(shù)像素周圍都是同種物質(zhì)，像素值本該相同，這樣得到的聯(lián)合直方圖的分散性不高，但由于噪聲使得絕大多數(shù)的像素灰度值與其近鄰的像素灰度值不同，對應于圖1中v1、v2、v3、v4點的灰度值不同。對噪聲圖像使用部分體積插值法，會提高聯(lián)合直方圖的分散性，降低互信息，從而加劇了局部極值。

3 預分割方法及配準中的作用

互信息的局部極值無論是噪聲造成還是插值引入，都歸因于同種物質(zhì)的不同灰度值。本文中灰度預分割采用基于閾值的經(jīng)典Otsu法[12]，將圖像中的目標和背景區(qū)別開，使圖像中的目標和背景分別具有相同的灰度值，再對圖像進行配準，由插值和噪聲造成的聯(lián)合直方圖的分散性降低，避免了局部極值的問題，同時互信息曲線變得光滑。

4 灰度預分割對配準的作用及實驗結(jié)果

4.1 實驗數(shù)據(jù) 本文原始數(shù)據(jù)為一組臨床MRI（PD加權(quán)）和CT圖像，參數(shù)見表1，原始圖像見圖2。

表1 圖像的數(shù)據(jù)大小、像素尺寸和像素取值范圍

圖2 A、B分別為MRI及CT原始圖像

4.2 MRI與自身的互信息規(guī)律 為了驗證插值在配準中對互信息的影響，首先對MRI與MRI圖像自身歸一化互信息進行計算，結(jié)果見圖3。

由圖3可見，不對MRI圖像進行任何預處理時，在平移變換的整數(shù)位置處出現(xiàn)了互信息的局部極大值，并且局部極值隨著平移增大而越來越明顯，提示插值會造成局部極值。而圖像的旋轉(zhuǎn)變換基本不會造成歸一化互信息的局部極值。

4.3 灰度預分割對MRI與自身加噪聲配準的作用MRI圖像中同一解剖結(jié)構(gòu)所對應的灰度值并不唯一，而是呈正態(tài)分布。為了研究灰度漲落對圖像配準的作用，在原始圖像上添加符合正態(tài)分布的高斯噪聲得到加噪聲圖像[7]，然后研究灰度預分割法對噪聲圖像配準中歸一化互信息的作用，見圖4。

由圖4可見，未使用灰度預分割時歸一化互信息均比較低，并且在平移變換中出現(xiàn)了局部極值現(xiàn)象，而使用灰度預分割后，無論是平移變換還是旋轉(zhuǎn)變換，都極大地提高了歸一化互信息，并消除了局部極值，使得配準過程更加準確可靠。

為了驗證灰度預分割法在實際配準中的效果，本實驗對MRI圖像及其自身加噪聲的圖像實際進行了配準，配準中所用的搜索算法是爬山法：首先選定一個初始點，然后對各個配準參數(shù)進行迭代搜索，如果一輪搜索結(jié)束后不能得到更好的點，就縮小步長直到步長縮小到規(guī)定的精度為止，此時所得點即為最優(yōu)解，配準結(jié)果見表2。

圖3 MRI與自身配準時歸一化互信息在平移變換和旋轉(zhuǎn)變換中的變化。其中角度對應旋轉(zhuǎn)變換，平移量對應平移變換。A.不采用灰度預分割；B.采用灰度預分割

圖4 MRI與MRI加噪聲配準時歸一化互信息在沿X軸平移和繞Z軸旋轉(zhuǎn)變換中的變化。A為平移變換，B為旋轉(zhuǎn)變換

從表2中可以看出，兩組結(jié)果基本滿意，但未對圖像進行灰度預分割的配準中，由于局部極值的問題，使得配準過程終止于局部極值，而且歸一化互信息偏低。進行灰度預分割后再進行配準，互信息得到顯著提高，同時也消除了局部極值的問題。此外，對于初始位置相對于完全配準的結(jié)果偏離比較大時，由于受到配準參數(shù)的相互影響，未分割圖像明顯出現(xiàn)在某個方向上嚴重偏離完全配準的結(jié)果，并陷入局部極值，而采用預分割的算法則避免了這一問題。因此，灰度預分割法增加了配準算法的準確性和魯棒性。

表2 MRI與自身加噪聲分割與未分割的配準結(jié)果對比*

4.4 灰度預分割對MRI與CT配準的作用 為了驗證灰度預分割在不同模式圖像配準中的作用，本文對MRI和CT兩種模式圖像配準時的互信息進行研究，結(jié)果見圖5。

由圖5可見，對于不同模式的圖像配準，由于兩幅圖像的像素大小不同，互信息曲線沒有出現(xiàn)明顯的局部極值，但采用預分割的方法仍可以極大地提高歸一化互信息。同時，進行預分割后兩圖像的歸一化互信息曲線斜率加大，可以極大地提高搜索效率，減少不必要的搜索循環(huán)，在配準中可加速尋優(yōu)過程，并可以盡量避免配準向錯誤的方向發(fā)展。

為了驗證灰度預分割法在實際的不同模式圖像配準中的作用，本實驗對CT和MRI圖像進行了實際的配準，初始位置選在（△X、△Y、△Z、φx、φy、φz）=（0,0,0,0,0,0），配準結(jié)果見表 3。由圖 5A 可見，在X軸的平移變換尋優(yōu)中，不應該向X軸的負方向發(fā)展，由于配準是多參數(shù)尋優(yōu)的過程，受到其他配準參數(shù)的影響，未進行處理的圖像配準中出現(xiàn)了搜索方向出錯的情況，并最終陷入局部極值。而進行灰度預分割后基本可以保證圖像的正確配準。

最后分別展示MRI和CT圖像在未使用灰度預分割方法和使用灰度預分割的配準結(jié)果。由圖6可見，使用灰度預分割后再配準的結(jié)果優(yōu)于不對圖像進行任何處理的配準結(jié)果。

表3 MRI與CT分割與未分割的配準結(jié)果對比

圖5 MRI與CT配準時歸一化互信息在沿X軸平移和繞Z軸旋轉(zhuǎn)的變換中的變化曲線。實線為不采用灰度預分割，虛線為采用灰度預分割。A為平移變換，B為旋轉(zhuǎn)變換

圖6 MRI與CT配準結(jié)果對比。A.不采用灰度預分割；B.采用灰度預分割

5 總結(jié)

本文分析了圖像剛性配準中由于使用部分體積插值法導致的局部極值問題，針對這個問題闡述了對圖像進行灰度預分割后再配準來避免局部極值的機制，并利用臨床MRI和CT圖像進行實驗研究。實驗結(jié)果表明，無論在同模配準還是多模配準中，灰度預分割法都提高了配準算法的準確性和魯棒性，并抑制了局部極值。但這種方法尚需進一步完善，本文中自動灰度分割使用二值的灰度分割法丟失圖像信息較多，故在后續(xù)工作中需完善灰度預分割方法，盡量合理保留圖像信息，同時研究本文方法對PET圖像和非剛性配準的適用性。

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