張建業(yè)，趙 臣，張宏杰，張大衛(wèi)

正交機器人機構工作空間的數(shù)值算法

張建業(yè)1,2，趙 臣1，張宏杰1,2，張大衛(wèi)1

(1.天津大學機械工程學院，天津 300072；2.天津工業(yè)大學機械工程學院，天津 300387)

提出了一種計算n自由度正交機器人機構工作空間的數(shù)值方法．先求出機器人機構末端兩個關節(jié)對應子工作空間的邊界曲面，在前一個關節(jié)建立參考坐標系，將已知子工作空間的邊界曲面分成若干層，求出每一層上的截交線，定義截交線的兩個端點、半徑坐標值最大點和最小點等為特征點，根據(jù)這些特征點可生成前一級子工作空間的邊界曲線和邊界曲面，由此遞推可生成工作空間的邊界曲面，并計算出工作空間的體積值．以三自由度正交機器人機構為例進行了仿真分析，結果表明該算法具有運動學計算量小、結果精確等優(yōu)點．

正交機器人機構；工作空間；子工作空間；特征點

工作空間是機器人機構非常重要的設計參數(shù)和運動學特性，對機器人的優(yōu)化設計、軌跡規(guī)劃與運動控制等過程非常重要．目前，工作空間的求解方法可以分為3種：幾何法、數(shù)值法和解析法[1-4]．幾何法是以剖切面或剖切線來表示工作空間的，具有直觀性強、結果精確等優(yōu)點，但只適用于自由度較少、工作空間為簡單幾何體的情況．解析法需要建立工作空間邊界曲面的解析方程，由于機器人機構運動學本身的非線性、復雜性，對于多自由度機器人機構而言，邊界曲面方程往往十分復雜，不適應于工程應用．數(shù)值法是用離散化的方法近似求解工作空間的邊界曲線和邊界曲面，具有簡單靈活、易于編程等優(yōu)點，非常適用于多自由度機器人機構．隨著計算機技術的發(fā)展，工作空間的數(shù)值解法顯示出巨大的優(yōu)越性，國內外學者對此進行了廣泛的研究．Rastegar等[5]提出用蒙特卡洛隨機取樣的方法和機構正運動學獲得一些簡單機構的近似工作空間和邊界曲面，Choi等[6]提出了一種易于編程的工作空間邊界搜索算法，以在一組平行平面上搜索到的截面曲線代表工作空間邊界，搜索過程分為2步：第1步用線性運動學模型對下一個邊界點進行估計；第2步通過模糊優(yōu)化方法找到精確點，最后以一個限制了關節(jié)角度范圍的六自由度機構為例進行了說明，用曲面重構的方法建立了工作空間邊界的曲面模型．王興海等[7]提出了一種可計算任意自由度串聯(lián)機器人機構工作空間的數(shù)值方法，以極值理論和優(yōu)化方法為基礎，把確定機器人機構邊界曲線和邊界曲面的問題轉化為求解滿足一定約束條件的極值問題，通過計算工作空間的極限距離，求出機器人工作空間邊界曲面上的一系列特征點，用這些點連成線和面表示出機構的工作空間．曹毅等[8]采用蒙特卡羅方法，根據(jù)機器人關節(jié)空間到工作空間的運動學映射關系，獲得了由隨機點構成的機器人工作空間，采用按列劃分的方法，求出了平面機構工作空間的邊界曲線以及對應的面積表達式，按照按層劃分的方法，獲得了三維工作空間邊界曲面的形狀和體積．

筆者根據(jù)機器人機構子工作空間的定義，提出了一種遞推求解n自由度正交機器人機構工作空間的數(shù)值方法，將已知子工作空間邊界曲面分成若干層，定義了前一級子工作空間邊界曲面的特征點，由此構造其邊界曲線和邊界曲面，最后構造了工作空間的邊界曲線和邊界曲面，并計算出工作空間的體積值，以三自由度正交機器人機構為例進行了仿真分析．

1 機器人機構工作空間

1.1 正交機器人機構

目前，大多數(shù)工業(yè)機器人機構為Unimation公司的PUMA型，具有6個轉動關節(jié)，采用了位置和姿態(tài)解耦的設計，其工作空間由前3個關節(jié)確定，第一個關節(jié)的軸線為豎直方向，第二、第三關節(jié)的軸線為水平方向，且互相平行，這種機構稱為平行機構，后3個關節(jié)軸線垂直相交于一點[9]．另一種機器人機構為ABB公司的IRB 6400C型，其前3個關節(jié)采用了相鄰關節(jié)軸線互相垂直的設計，這種機構被稱為正交機器人機構，如圖1所示，其運動學參數(shù)見表1．正交機器人機構的工作空間比平行機構的工作空間更加復雜，其求解算法也更具有普遍性和適用性，因此，本文中選擇以正交機器人機構的工作空間為分析對象．

圖1 三自由度正交機器人機構運動學示意Fig.1 Schematic representation of 3R orthogonal manipulator

表1 三自由度正交機器人機構的運動學參數(shù)Tab.1Kinematic parameters of 3R orthogonal manipulator

1.2 機器人機構工作空間的描述

一般地，n自由度機器人機構的運動學方程可以描述為

式中：θ表示關節(jié)變量；θmin表示運動范圍的下界；θmax表示運動范圍的上界．

機器人機構的工作空間可以定義為不同關節(jié)變量所達到的末端參考點的所有位形的集合，機器人機構的工作空間可以由關節(jié)空間和上述運動學映射定義為

給定了機器人機構的桿件幾何參數(shù)后，機器人工作空間就由關節(jié)變量的活動范圍確定，由于實際結構和驅動裝置的限制，關節(jié)變量只能在一定范圍內取值，增加了求解工作空間的復雜性．作為一個空間體積，工作空間具有一定的邊界曲面或邊界線，目前，工作空間的研究內容主要為工作空間的邊界、工作空間的形狀和體積、空洞和空腔等[9]．

2 正交機器人機構工作空間求解

2.1 工作空間的邊界曲線和邊界曲面

首先，應該對n自由度正交機器人機構工作空間的特征及其形成過程進行分析和總結，對于3自由度正交機器人機構，其工作空間可以看作是由關節(jié)2和關節(jié)3在其角度范圍內運動生成的圓環(huán)面繞關節(jié)1軸線旋轉后生成的，對于k自由度正交機器人機構，固定其第一個關節(jié)，則可以把其當作一個k-1自由度正交機器人機構，假設該k-1自由度正交機器人機構的工作空間已知，將其繞關節(jié)1軸線旋轉后，就可以得到k自由度正交機器人機構的工作空間，通過遞推，可得到n自由度正交機器人機構的工作空間．

求解n自由度正交機器人機構工作空間邊界曲線和邊界曲面的主要步驟如下．

(1) 假設n自由度正交機器人機構的前k個關節(jié)相對于基礎坐標系固定，定義機器人機構末端參考點的所有位形的集合為第k級子工作空間，根據(jù)式(2)，kW可描述為[10]

式中：[PkxPkyPkz]T為機器人末端參考點在第k個關節(jié)坐標系的坐標．

3 仿真分析

寫成圓柱坐標形式為

(2) 假定正交機器人機構末端兩關節(jié)在其運動范圍內轉動，其余關節(jié)固定在參考位置，末端參考點的軌跡為一旋轉曲面Sn-2，即第n-2級子工作空間Wn-2的邊界曲面，用網格法生成旋轉曲面S，以此作為求解工作空間的初始條件．

(3) 在關節(jié)k上建立圓柱坐標系，根據(jù)子工作空間Wk邊界曲線的z軸坐標值范圍，用一組平面將其分成若干層，并求出截交線，定義每一段截交線上的半徑坐標值最大點、最小點和截交線的兩個端點為第k-1級子工作空間邊界曲線的特征點，建立特征點數(shù)組．

(4) 根據(jù)每段截交線上特征點的半徑坐標值及關節(jié)k的角度運動范圍，構造出與其對應的圓弧線，將每段截交線旋轉復制到關節(jié)k角度最大的位置和最小的位置．

(5) 每一個平面上的截交線和對應的圓弧線都會構成一個或幾個閉合連通區(qū)域，提取每個閉合連通區(qū)域的邊界作為k-1級子工作空間的邊界曲線．

(6) 根據(jù)k-1級子工作空間的邊界曲線，生成其邊界曲面Sk-1．

(7) 選擇前一個關節(jié)，重復第3～第6步，直到生成正交機器人機構工作空間的邊界曲線和邊界曲面．

2.2 工作空間的體積

工作空間體積是機器人機構的一項非常重要的定量評價指標，也是機器人工作空間分析和綜合、機構尺度設計、結構優(yōu)化中需要精確計算的一項參數(shù)指標，在求解工作空間邊界曲面的基礎上，還需要進一步確定工作空間的體積．

求解正交機器人機構工作空間體積的問題可轉化為求解平行截面面積已知的立體體積的問題，根據(jù)梯形積分法則，可計算出工作空間體積的近似值為

式中：Ai表示工作空間第i個截面的面積；Δzi為第i個截面與相鄰截面的距離．當n足夠大時，可獲得工作空間體積的精確值．

為驗證上述算法的有效性，編寫了三自由度正交機器人機構工作空間的分析程序，流程如圖2所示，該程序在輸入三自由度正交機器人機構的運動學參數(shù)、網格數(shù)和分層數(shù)等參數(shù)后，可繪制出工作空間的邊界曲線和邊界曲面，計算出工作空間的體積．表2描述了子工作空間的分層數(shù)對體積值的影響．圖3～圖7描述了三自由度正交機器人機構邊界曲線和邊界曲面的求解過程．

圖2 工作空間邊界曲面算法流程Fig.2 Flowchart for workspace boundary

表2 三自由度正交機器人機構工作空間的體積Tab.2 Volume of 3R orthogonal manipulator

圖3 1級子工作空間示意Fig.3 1sh sub workspace

圖4 子工作空間特征點示意Fig.4 Feature points of sub workspace

圖5 截交線和圓弧線Fig.5 Cross section lines and arc lines

圖6 工作空間邊界曲線Fig.6 Workspace boundary curves

圖7 工作空間邊界曲面Fig.7 Workspace boundary surfaces

4 結 論

(1) 通過子工作空間的遞推算法可以求解出n自由度正交機器人機構工作空間邊界曲線和邊界曲面．首先用分層法獲得子工作空間的截交線，由截交線上的特征點生成圓弧線，提取每個平面上截交線和圓弧線構成的閉合連通區(qū)域的邊界作為前一級子工作空間的邊界曲線，并進一步構造出前一級子工作空間的邊界曲面．該算法不需要復雜的優(yōu)化算法，可大大減少運動學計算量．

(2) 求出每層平面上工作空間邊界曲線的面積，根據(jù)梯形積分法則，在此基礎上計算出工作空間體積的近似值，增加工作空間邊界曲面的分層數(shù)，可使計算結果逐漸接近其理論值．

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An Algorithm for Workspace of Orthogonal Manipulators

Zhang Jianye1,2，Zhao Chen1，Zhang Hongjie1,2，Zhang Dawei1
(1. School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. School of Mechanical Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China)

An algorithm for the workspace of nR orthogonal manipulators was developed. The sub workspace boundary surface of the last two joints was generated as initial sub workspace boundary, and the cross sections of the initial sub workspace boundary were created on the preceding joint coordinate. The two end points and the points with the maximum and minimum radius of each cross section curve were defined as feature points, based on which the boundary curves and the boundary surfaces of the former sub workspace were determined. And then the workspace was computed by this iterative process, and the volume of the workspace boundary was calculated. A simulation was performed on a 3R orthogonal manipulator. Simulation results show that the proposed algorithm has the advantages of small amounts of kinematic calculation and high precision.

orthogonal manipulators；workspace；sub workspace；feature point

TP24

A

0493-2137(2013)10-0862-05

DOI 10.11784/tdxb20131002