李開福，李 威

(華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢430074)

主成分分析法(principal component analysis，PCA)［1-3］根據(jù)協(xié)方差最大的原理，使測試數(shù)據(jù)從高維空間向低維特征空間轉(zhuǎn)換，以實(shí)現(xiàn)壓縮降維功能，在激勵源識別方面已取得應(yīng)用［4］。然而，測點(diǎn)分布和測點(diǎn)數(shù)目對主成分分析法激勵源識別效果影響的研究卻仍是一片空白。本文以兩端彈性支撐鋁梁為研究對象，試驗(yàn)研究主成分分析法識別激勵源數(shù)目、主成分頻譜特性及貢獻(xiàn)率隨測點(diǎn)分布和測點(diǎn)數(shù)目變化的規(guī)律。

1 試驗(yàn)

試驗(yàn)對象為一兩端彈性支撐的鋁梁，其相關(guān)參數(shù)為:長1.5 m，截面寬0.06 m、厚0.03 m，密度2 100 kg/m3，彈性模量70 GPa。對于彈性支撐，在梁的兩端各安裝一隔振器。

在梁的上表面沿梁的長度方向均勻布置了16個(gè)加速度響應(yīng)測點(diǎn)，在與5#測點(diǎn)、11#測點(diǎn)與12#測點(diǎn)中點(diǎn)對應(yīng)的梁的下表面布置了2個(gè)激勵點(diǎn)，分別為J1和J2。激勵力試驗(yàn)時(shí)所需的激勵力是通過采用兩個(gè)激振器在兩個(gè)激勵點(diǎn)進(jìn)行施加的。測點(diǎn)和激勵點(diǎn)的布置見圖1。

圖1 測點(diǎn)和激勵點(diǎn)布置示意

經(jīng)測點(diǎn)布置、激振器安裝、設(shè)備連接完成后，調(diào)試系統(tǒng)使其正常工作。打開1號、2號激振器系統(tǒng)，分別設(shè)定兩激振器系統(tǒng)信號源的激勵頻率，使其輸出不同頻率的單頻正弦激勵力信號，同時(shí)適當(dāng)調(diào)節(jié)激勵力幅值大小和電壓并使其穩(wěn)定，在J1和J2兩激勵點(diǎn)對梁結(jié)構(gòu)同時(shí)進(jìn)行激勵。采集各測點(diǎn)的加速度響應(yīng)時(shí)域信號，歷經(jīng)一定時(shí)長的激勵后，停止采樣，調(diào)小電壓直至歸零，關(guān)閉儀器，完成雙激勵力試驗(yàn)。雙激勵力試驗(yàn)中激勵點(diǎn)J1、J2所設(shè)定的激勵頻率分別為72.5和839.5 Hz。

2 主成分分析法激勵源識別分析

2.1 主成分分析法激勵源識別驗(yàn)證

為驗(yàn)證主成分分析法激勵源識別的有效性，選取由3個(gè)測點(diǎn)(2#、3#、4#)響應(yīng)數(shù)據(jù)構(gòu)成的樣本集進(jìn)行激勵源識別計(jì)算，并將其轉(zhuǎn)化到頻域內(nèi)，分析激勵源的識別效果。計(jì)算結(jié)果見圖2～5。

圖2 主成分功率譜

圖3 相鄰主成分對比

圖4 單個(gè)主成分貢獻(xiàn)率

圖5 主成分累計(jì)貢獻(xiàn)率

由圖2可見，前兩個(gè)主成分在功率譜量級上很接近，遠(yuǎn)大于第三個(gè)主成分。在第一主成分中，7 3 Hz和4 8 0 Hz附近存在很大的峰值，這與72.5 Hz和479.5 Hz的實(shí)際激勵頻率是基本一致的。在相鄰主成分比值曲線圖3中，第一主成分與第二主成分的比值在101左右，而第二主成分與第三主成分的比值則很大，在絕大部分頻段內(nèi)其量級為1015，即第三主成分遠(yuǎn)小于第二主成分。

由圖4可見，在絕大部分頻段內(nèi)，第一主成分貢獻(xiàn)率在0.8以上，第二主成分貢獻(xiàn)率在0～0.2之間，第三主成分貢獻(xiàn)率接近于零或等于零。從累計(jì)貢獻(xiàn)率圖5可以看出，前兩個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率很高，幾乎在整個(gè)分析頻段等于1，即前兩個(gè)主成分幾乎包含了所有有效信息。

綜上分析，由3個(gè)測點(diǎn)數(shù)據(jù)組成的樣本集中所包含的有效信息可由前兩個(gè)主成分來近似表示。這從激勵源識別的角度來說，就是梁受到兩個(gè)激勵源的共同激勵作用，且激勵頻率在73 Hz和480 Hz附近。這與實(shí)際的激勵源數(shù)目為2，激勵頻率分別為72.5 Hz和839.5 Hz是相符的。因此，用主成分分析進(jìn)行激勵源識別計(jì)算是可行有效的。

2.2 測點(diǎn)分布對激勵源識別效果影響分析

選取四組測點(diǎn)分布，進(jìn)行主成分激勵源識別計(jì)算，分析測點(diǎn)分布對激勵源識別效果的影響。組一:測點(diǎn)2#、3#、4#。組二:測點(diǎn)5#、6#、7#。組三:測點(diǎn)9#、10#、11#。組四:測點(diǎn)14#、15#、16#。各分布下第一主成分、第二主成分的對比曲線見圖6～7。

圖6 各分布下第一主成分對比

圖7 各分布下第二主成分對比

在繪制第一、二主成分隨測點(diǎn)分布變化對比曲線的同時(shí)，還計(jì)算了各組分布下各參量(包括第一、二主成分單獨(dú)貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)率和累計(jì)貢獻(xiàn)率、激勵源數(shù)目)的變化情況，以及第一主成分功率譜隨測點(diǎn)分布的變化順序表。見表1～2。

表1 各參量隨測點(diǎn)分布變化表

表2 第一主成分功率譜隨測點(diǎn)分布變化表

1)從圖6～7可見，主成分功率譜隨測點(diǎn)分布的不同而變化。在整體規(guī)律上，第一、二主成分功率譜隨測點(diǎn)分布的變化是基本一致的。在各分布下，與第二主成分相比，第一主成分在兩個(gè)激勵頻率840 Hz和72 Hz附近，其譜幅值變化小于非激勵頻率處。

2)由表2和圖6綜合分析可知，第一主成分功率譜在不同激勵頻率、非激勵頻率處譜幅值大小的變化各有不同。在第一激勵頻率840 Hz附近，各分布下譜幅值大小的順序是:組四＞組一＞組三＞組二，而在激勵頻率72 Hz附近，其順序則相反:組二＞組三＞組一＞組四。在絕大部分非激勵頻率處，功率譜幅值大小順序則為:組四＞組三＞組一＞組二。

3)從表1可見，隨著測點(diǎn)分布的變化，主成分貢獻(xiàn)率和累計(jì)貢獻(xiàn)率均有所變化。與組一相比，組二中的測點(diǎn)更靠近1號激勵點(diǎn)J1，受1號激振器激勵力的作用較明顯，第一主成分貢獻(xiàn)率很高，達(dá)到0.978 25，明顯大于組一的0.807 56;相應(yīng)地，組一的第二主成分貢獻(xiàn)率0.192 37，明顯大于組二的0.020 15。而第一、第二主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率則維持在一個(gè)對穩(wěn)定的水平，均為0.993 00以上。同樣的，與組四相比，組三的測點(diǎn)更靠近2號激勵點(diǎn)J2，受1號激振器激勵力的作用較明顯，其第一主成分貢獻(xiàn)率較高，達(dá)到0.975 73，明顯大于組四的0.828 19;相應(yīng)的，組三的第二主成分貢獻(xiàn)率0.019 57明顯小于組四的0.169 94。而前兩個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率仍維持在一個(gè)穩(wěn)定的水平。

4)隨著測點(diǎn)分布的變化，主成分貢獻(xiàn)率和累計(jì)貢獻(xiàn)率均存在不同程度的變化，但主成分分析識別激勵源的數(shù)目卻保持恒定，均為2，與實(shí)際激勵情況相符。

5)綜上分析，除了激勵源數(shù)目不受測點(diǎn)分布影響而維持恒定外，主成分貢獻(xiàn)率、主成分頻譜特性受測點(diǎn)分布的影響明顯，這可在一定程度上為激勵源的相對位置判定提供依據(jù)。

2.3 測點(diǎn)數(shù)目對激勵源識別效果影響分析

為探究測點(diǎn)數(shù)目對激勵源識別效果的影響，選取四組測點(diǎn)分布，進(jìn)行主成分激勵源識別計(jì)算分析。組一:測點(diǎn)2#、3#、4#。組二:測點(diǎn)2#、3#、4#、5#、6#。組三:測點(diǎn)2#、3#、4#、5#、6#、7#、8#。組四:測點(diǎn)2#、3#、4#、5#、6#、7#、8#、9#、10#。計(jì)算結(jié)果見圖8～9、表3～4。

圖8 不同測點(diǎn)數(shù)目下第一主成分對比

圖9 不同測點(diǎn)數(shù)目下第一主成分對比

表3 各參量隨測點(diǎn)數(shù)目變化表

表4 第一主成分功率譜隨測點(diǎn)數(shù)目變化表

1)由圖8～9可見，第一、二主成分功率譜在大部分頻段內(nèi)隨測點(diǎn)數(shù)目的變化很不明顯。僅靠肉眼的觀察，難以分析測點(diǎn)數(shù)目對激勵源識別效果的影響。

2)由表4和圖8綜合分析可知，在激勵頻率和絕大部分非激勵頻率處，第一主成分功率譜幅值隨測點(diǎn)數(shù)目的增加而增大。

3)由表3可見，隨著測點(diǎn)數(shù)目的增加，第二主成分貢獻(xiàn)率、前兩個(gè)主成分累計(jì)貢獻(xiàn)率呈下降趨勢。而第一主成分貢獻(xiàn)率在受測點(diǎn)數(shù)目增加的同時(shí)還受到增加測點(diǎn)位置的影響，與組一相比，組二增加的兩個(gè)測點(diǎn)5#、6#非?？拷?號激勵點(diǎn)，受1號激振器激勵力的作用非常明顯，因此組二的第一主成分貢獻(xiàn)率較高。

4)在選取計(jì)算的測點(diǎn)數(shù)目大于激勵源數(shù)目的情況下增加測點(diǎn)，對識別激勵源的數(shù)目沒有影響，均為2。

綜上分析，隨著測點(diǎn)數(shù)目的增加，主成分貢獻(xiàn)率和累計(jì)貢獻(xiàn)率呈下降趨勢，但第一主成分貢獻(xiàn)率還同時(shí)受到增加測點(diǎn)的位置的影響;在激勵頻率處和絕大部分非激勵頻率處第一主成分譜幅值呈增長趨勢。激勵源識別數(shù)目不受測點(diǎn)數(shù)目的增加而變化。

3 結(jié)論

1)主成分分析激勵源識別有良好的穩(wěn)定性，識別的激勵源源數(shù)目不隨測點(diǎn)分布和數(shù)目變化;

2)主成分貢獻(xiàn)率、主成分頻譜特性受測點(diǎn)分布的影響明顯，可在一定程度上為激勵源的相對位置判定提供依據(jù);

3)隨著測點(diǎn)數(shù)目的增加，主成分貢獻(xiàn)率和累計(jì)貢獻(xiàn)率呈下降趨勢，但第一主成分貢獻(xiàn)率還同時(shí)受到增加測點(diǎn)的位置的影響;在激勵頻率處和絕大部分非激勵頻率處第一主成分譜幅值呈增長趨勢。

尤其值得指出的是，文中研究發(fā)現(xiàn)不同激勵力激勵頻率隨測點(diǎn)分布不同呈現(xiàn)不同的變化趨勢，在日后的研究中可進(jìn)一步對其進(jìn)行研究。這樣在識別得到激勵源數(shù)目的同時(shí)，還能獲得不同激勵力的相對作用位置和判定激勵頻率。

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