何大志，葉榮偉

(1浙江工業(yè)大學(xué)，浙江 杭州 310004;2.杭州市輕工技工學(xué)校，浙江 杭州 310004)

1 引言

近年來(lái)諧波齒輪傳動(dòng)吸引了越來(lái)越多研究者的關(guān)注，由于諧波齒輪具有齒隙很小、傳動(dòng)比大和體積較小等優(yōu)點(diǎn)，越來(lái)越廣泛的應(yīng)用于緊密控制系統(tǒng)中。另一方面，其非線(xiàn)性特征又影響其性能，所以精確地非線(xiàn)性模型對(duì)于諧波齒輪的應(yīng)用十分關(guān)鍵。筆者將從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度討論諧波齒輪傳動(dòng)的側(cè)隙計(jì)算公式。

2 諧波齒輪傳動(dòng)側(cè)隙計(jì)算的數(shù)學(xué)模型

2.1 柔輪變形理論的前提假設(shè)

在不涉及柔輪畸變的基礎(chǔ)上，考慮諧波齒輪傳動(dòng)的實(shí)際工作特性，作出如下假定［1］:①在傳動(dòng)工作過(guò)程中，柔輪的中線(xiàn)長(zhǎng)度不變;②柔輪在工作過(guò)程中，柔輪輪齒形狀不變，只有齒槽中部發(fā)生變形;③柔輪變形時(shí)平剖面的假定依然適用，因而輪齒的對(duì)稱(chēng)縱剖面在變形后仍然為平面，且垂直于柔輪中面的變形曲面;④在變形力和嚙合力作用下，柔輪中線(xiàn)的彈性變形狀態(tài)穩(wěn)定不變;⑤法線(xiàn)不變性假設(shè);⑥關(guān)于各層不相擠壓的假設(shè)。

2.2 建立柔輪與剛輪作共軛運(yùn)動(dòng)時(shí)各轉(zhuǎn)角的關(guān)系

柔輪和剛輪作共軛運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)關(guān)系

柔輪變形時(shí)，根據(jù)中線(xiàn)不伸長(zhǎng)的條件，得:

式中:v=v(φ)為變形后柔輪中線(xiàn)上點(diǎn)的切向位移。

2.3 齒廓方程的建立

對(duì)于漸開(kāi)線(xiàn)齒輪，建立柔輪變形前后的計(jì)算模型，如圖2所示。

圖2 任意位置的齒廓方程計(jì)算模型

經(jīng)坐標(biāo)變換及幾何關(guān)系推導(dǎo)得出［2］右側(cè)齒廓上點(diǎn)k在任意轉(zhuǎn)角位置的方程為:

式中:ψ為兩坐標(biāo)系之夾角。

現(xiàn)建立與上述柔輪輪齒對(duì)應(yīng)的剛輪齒槽方程，其計(jì)算模型同圖2。

齒槽右側(cè)方程:

2.4 側(cè)隙計(jì)算［3］

對(duì)于諧波齒輪傳動(dòng)，假設(shè)波發(fā)生器固定，柔輪主動(dòng)剛輪從動(dòng)。從而建立側(cè)隙計(jì)算模型如圖3所示。

圖3 側(cè)隙計(jì)算模型

其側(cè)隙可按如下公式計(jì)算:

3 有限元計(jì)算柔輪扭轉(zhuǎn)角實(shí)例

對(duì)于承載作用下柔輪中的位移分布，目前一般利用有限元法進(jìn)行分析［3］。分析對(duì)象基本參數(shù)如表1所列，其輸出扭矩為44.1 N·m。

表1 諧波齒輪的基本參數(shù)

根據(jù)前面得出的數(shù)據(jù)，分析波發(fā)生器長(zhǎng)、短軸處柔輪的徑向變形量，兩者之比約等于1∶1，與四力作用型β=30°情況相似，故不妨按四力作用型模型(參見(jiàn)圖4)進(jìn)行有限元分析。

圖4 柔輪簡(jiǎn)化模型

計(jì)算結(jié)果分析如下:根據(jù)四力模型可知，最大周向拉應(yīng)力值將會(huì)出現(xiàn)在大約φ=30°方向;最大周向壓應(yīng)力出現(xiàn)在短軸方向上。由圖5可知，柔輪應(yīng)力分布跟理論分析一致。

圖5 柔輪應(yīng)力分布云圖

在后處理時(shí)，后用“PRNSOL，U，COMP”命令輸出位移結(jié)果和位移矢量和，經(jīng)數(shù)據(jù)處理后得到附加扭轉(zhuǎn)角為:φ0=0.0002046 rad。

理論計(jì)算:φ0=jT/(dg/2)≈0.000226rad，由此可見(jiàn)，有限元分析結(jié)果與理論值相近，可直接用于側(cè)隙計(jì)算。即考慮附加扭轉(zhuǎn)角側(cè)隙計(jì)算公式如下:

4 結(jié)語(yǔ)

將有限元分析與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，并研究柔輪實(shí)際的受載情況。在此基礎(chǔ)上對(duì)變形后的柔輪曲線(xiàn)進(jìn)行簡(jiǎn)化，為優(yōu)化設(shè)計(jì)提供更加可靠的計(jì)算模型，將是以后諧波齒輪傳動(dòng)側(cè)隙控制研究的一個(gè)方向。

［1］范又功.諧波齒輪傳動(dòng)技術(shù)手冊(cè)［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，1995.

［2］李瑰賢.空間幾何建模及工程應(yīng)用［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［3］Huseyin Filiz I，Eyercioglu O.Evaluation of Gear Tooth Stresses by Finite Element Method［J］.AMSE.，Journal of Engineering for industry.1995，117(5):232 －239.