雍愛霞

(合肥電子工程學(xué)院，安徽合肥230037)

0 引 言

目前國內(nèi)的永磁球形步進電動機的研究參照的是美國Hopkins大學(xué)Gregory S.Chirikjian等人設(shè)計的原型結(jié)構(gòu)［1－3］，已有大量的文獻對該類型的電機進行了基礎(chǔ)研究的探討［4－5］。轉(zhuǎn)子球體在三維空間的轉(zhuǎn)角檢測是電機控制中迄待解決的關(guān)鍵技術(shù)，同時也是制約電機理論研究和工程應(yīng)用的瓶頸，迄今為止針對方位角檢測系統(tǒng)的設(shè)計和探索主要有滑軌式、噴涂式、攝像頭式等，其中非接觸式方位角檢測的設(shè)計是主要的研究方向，同時將檢測的設(shè)計應(yīng)用到電機控制中去是最終的目的。本文嘗試著研究球形步進電動機的閉環(huán)控制轉(zhuǎn)動，建立加權(quán)有向圖模型，針對無串?dāng)_的確定任務(wù)的轉(zhuǎn)動和有串?dāng)_的重新定位等。

1 線圈換相的理論分析和仿真

永磁球形步進電動機是一種新型的多自由度電機，其結(jié)構(gòu)和運動機理都與傳統(tǒng)電機完全不同，轉(zhuǎn)子內(nèi)部嵌有80個永磁體按照某種特定規(guī)則排列分布，其坐標(biāo)位置的計算見文獻［1］的參數(shù)設(shè)計。永磁體的N極指向球外，定子內(nèi)腔半球形，非導(dǎo)磁材料支撐，內(nèi)部放置16個帶鐵心的線圈，定子被固定在一個支座上，每個定子線圈都可以分別通電的。通過某種特定的導(dǎo)電策略給線圈通電，從而可以拖動轉(zhuǎn)子按期望軌跡進行轉(zhuǎn)動。每個鐵心線圈周圍有一個光電編碼環(huán)，其中嵌入的六個光電編碼器距離相等，因此隨著轉(zhuǎn)子球體的空間運動，在不考慮光電編碼器的分辨率情況下，96個光電編碼器的輸出與空間方位角一一對應(yīng)，文獻［6－7］探討了轉(zhuǎn)子球體噴涂式方位角檢測的方法。

轉(zhuǎn)子球體做的三維運動保持球心不變，電機的通電線圈和永磁體的吸附將產(chǎn)生在空間中的某步距轉(zhuǎn)動，然后達到一個空間的某個穩(wěn)定角度，對于該種結(jié)構(gòu)的球形電機而言，要達到穩(wěn)定狀態(tài)至少需要兩個永磁體和兩個相應(yīng)的通電線圈吸附在一起。理論上來說通電的線圈個數(shù)越多，電機轉(zhuǎn)動就越精細(xì)、轉(zhuǎn)動路徑就越多，能夠到達空間的方位角也就越多，但球形電機的距角特性、轉(zhuǎn)動分析和動力學(xué)空間平衡將變得更為復(fù)雜，為了控制和計算簡便，這里只研究每次兩個線圈同時通電情況下轉(zhuǎn)子球體的轉(zhuǎn)動分析。令球形電機初始狀態(tài)下定子線圈與永磁體的分布如圖1所示，文獻［4］詳細(xì)地論述了三維電磁場，可知每個永磁體所在位置處磁場最強，永磁體之間的磁場則較弱，當(dāng)給定子上的兩個線圈同時通電后，與定子通電線圈距離相等并分別位于這兩個線圈最近的永磁體對將受力吸附在一起，不同的通電線圈對使得電機產(chǎn)生不同的旋轉(zhuǎn)要素。

圖1 部分線圈/永磁體的初發(fā)始位置

其中 Mi的坐標(biāo)為(xi，yi，zi)、Mj的坐標(biāo)為(xj，yj，zj)、Wm的坐標(biāo)為(xm，ym，zm)、Wn的坐標(biāo)為(xn，yn，zn)，D為永磁體 Mi和永磁體 Mj之間的距離。令永磁體對(Mi，Mj)和線圈對(Wm，Wn)的距離相等，分別計算這組永磁體對和通電線圈對之間的距離，令:

將文獻［8］中符合通電條件的線圈對和永磁體對的坐標(biāo)公式修改為下式，就認(rèn)為可以給這兩個線圈通電，轉(zhuǎn)子將產(chǎn)生相應(yīng)的轉(zhuǎn)動。

2 球形步進電動機閉環(huán)控制方法

作為一種復(fù)雜的三維空間旋轉(zhuǎn)機構(gòu)，根據(jù)符合換相條件的每一對通電線圈對/永磁體對產(chǎn)生一次三維轉(zhuǎn)動步距角的特點，將所有轉(zhuǎn)動路徑的集合用加權(quán)有向圖模型來描述，如此以來復(fù)雜的運動控制問題就可以描述成有向圖的遍歷。

閉環(huán)控制系統(tǒng)的加權(quán)有向圖記為D=(A，R)，如圖2所示，其中A、R分別表示D的頂點集合和弧集合，弧記為(Ai，Aj)，表示這兩個頂點間有一次步距運動，加權(quán)有向圖模型的閉環(huán)控制算法需要計算的參量包括當(dāng)前位置下方位角、步距角旋轉(zhuǎn)的四元數(shù)組、符合通電條件的永磁體對/線圈對。其中旋轉(zhuǎn)四元數(shù)組來表示有向圖的權(quán)值，因此若干次步距角的組合旋轉(zhuǎn)可以充分利用四元數(shù)組的計算優(yōu)勢，方便提取轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)角等旋轉(zhuǎn)要素，且便于編程。

圖2 閉環(huán)控制的加權(quán)有向圖

有向圖中的頂點為從初始方位角轉(zhuǎn)動到當(dāng)前位置下的群元矩陣A，在三維實坐標(biāo)空間R3中將保持球心不變的轉(zhuǎn)動變換構(gòu)成三維轉(zhuǎn)動群［9］，選取特殊實正交矩陣SO(3)中矩陣余弦A作為加權(quán)有向圖的頂點，可以直觀地在三維空間中進行方位角標(biāo)定，且方便地與四元數(shù)組進行互換［10］，其構(gòu)成:

這里采用Z－Y－X歐拉角的矩陣余弦，其中A3(Φ)為繞偏航軸轉(zhuǎn)動Φ，A2(θ)為繞俯仰軸轉(zhuǎn)動θ，A1(Φ)為繞滾動軸轉(zhuǎn)動Φ。

由式(2)計算可以方便地計算出各頂點A符合通電條件的線圈對/永磁體對，同時令轉(zhuǎn)子球體在空間的某一方位角為初始位置，球體的任意步進轉(zhuǎn)動可以由矩陣A∈SO(3)來定義，傳感器的輸出向量:

式中:s1，s2，…，sn為n個傳感器對應(yīng)的位置坐標(biāo)向量，滿足{si∈R3;‖si‖=1}。建立閉環(huán)控制系統(tǒng)加權(quán)有向圖各路徑的參數(shù)如表1所示。

對于點到點復(fù)雜的空間運動可以歸結(jié)為加權(quán)有向圖中兩點間最短路徑的求解，經(jīng)典的Dijkstra尋優(yōu)算法可以找到最短路徑，但需要遍歷加權(quán)圖的各個頂點，這里采用A*啟發(fā)式算法可以搜索出圖中起始點A0到目標(biāo)點At的最佳路徑，首先分別計算這兩個頂點對應(yīng)的輸出向量c(A0)和c(At)。

表1 起始點A0的各路徑的具體參數(shù)

在A算法中設(shè)置評估函數(shù)f(n):

定義:

n用來衡量該頂點在圖中的深度，搜索路徑圖時每經(jīng)由一個頂點的擴展，深度n自動加1。h(n)是頂點An到目的頂點函數(shù)代價的估計值，在這里定義為頂點An與目的頂點顏色向量“相異”的元素數(shù)量，路徑搜索時總選擇h(n)最小值的節(jié)點優(yōu)先擴展，所以滿足了h(n)≤h*(n)的條件，該算法稱為A*算法，h(n)隨坐標(biāo)軸的二維旋轉(zhuǎn)的關(guān)系如圖3所示。A*算法的可采納性表明該搜索算法總能找到一條最佳路徑，搜索步驟如下:

圖3 目標(biāo)函數(shù)h(n)與旋轉(zhuǎn)角度的二維關(guān)系

(1)設(shè)當(dāng)前節(jié)點為初始節(jié)點A0，計算該節(jié)點的f(n)并放入OPEN表中;

(2)若OPEN表為空，則失敗退出;

(3)取出OPEN表中第一順位節(jié)點定義為An節(jié)點，計算c(An)，與當(dāng)前測量值相比較，如有不同表示有串?dāng)_，重新進行方位角檢測并定位為An節(jié)點，放入OPEN表中;

(4)若An為目標(biāo)節(jié)點，則成功退出，否則轉(zhuǎn)到(5);

(5)對An節(jié)點進行擴展，若有子節(jié)點，則n=n+1，計算各子節(jié)點的f(n)，放入OPEN表中，同時將父節(jié)點放入CLOSED表中;

(6)若An節(jié)點沒有子節(jié)點，則轉(zhuǎn)(2);

(7)計算An各子節(jié)點符合旋轉(zhuǎn)條件的通電線圈對/永磁體對，并對OPEN表按f值以升序排列;

(8)OPEN表中刪除當(dāng)前節(jié)點An，轉(zhuǎn)(2)。

3 閉環(huán)控制的方法和仿真

球形電機是一個多路徑的復(fù)雜運動機構(gòu)，為計算方便，這里分別做了簡化處理，令球心坐標(biāo)為三維坐標(biāo)原點，球半徑為1，加權(quán)有向圖中球形電機初始方位角下各條路徑的參數(shù)如表1所示，利用對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)組參數(shù)計算路徑一各永磁體、線圈的位置坐標(biāo)如圖4所示。

圖4 路徑－永磁體的新位置

給定一個未知目標(biāo)節(jié)點對應(yīng)的傳感器輸出為Cx，建立初始方位角下運動軌跡的加權(quán)有向圖，按A*算法搜索到目標(biāo)節(jié)點的搜索過程如圖5所示，由搜索圖可知，A*算法可以跳出局部極值并不需要遍歷所有節(jié)點，路徑上的各項參數(shù)如表2所示，任取球面一點坐標(biāo)為(－0.520 84 0.215 74 0.825 94)，它在搜索到的最佳路徑上運動軌跡如圖6所示。

在加權(quán)有向圖的步進運動中或是在最佳路徑的搜索過程中，偶有的串?dāng)_會偏離預(yù)定的軌跡，例如搜索路徑中第一條軌跡因串?dāng)_的各項參數(shù)對照如表3所示。每次步進的運動控制前將光電傳感器的輸出與有向圖數(shù)據(jù)庫中預(yù)知路徑的傳感器輸出相比較，不一致時則判定有串?dāng)_存在，需要對當(dāng)前方位角進行重新定位，對于步進運動的串?dāng)_而言，角度位移基本都落在圖3中的線性區(qū)內(nèi)，此類方位角檢測可以采用啟發(fā)式搜索達到最高的搜索效率［6］，對于偶有的串?dāng)_將引起大角度的軌跡偏離，文獻［11］已討論這種情況下的重新定位。

表2 初始方位角下搜索路徑的各項參數(shù)

表3 串?dāng)_中第一條軌跡的參數(shù)對照

啟發(fā)式搜索對于鄰域的搜索效率最高，從頂點開始的搜索軌跡如圖7所示。設(shè)置esp＜0.15，可看出在第15次迭代時到達目標(biāo)節(jié)點f=0.102 1，由該節(jié)點的方位角參數(shù)計算出因串?dāng)_的實際旋轉(zhuǎn)的四元數(shù)組為［0.998 4 0.041 7 0.024 5 －0.028 6］，重新計算該角度下符合步進旋轉(zhuǎn)的23對永磁體/線圈對，如表4所示，并添加到步進軌跡的加權(quán)有向圖中去。

圖7 串?dāng)_后目標(biāo)節(jié)點的啟發(fā)式搜索軌跡

表4 串?dāng)_后各路徑的具體參數(shù)

4 結(jié) 語

本文針對球形電機三維空間步進旋轉(zhuǎn)的特點，構(gòu)建了步進運動的加權(quán)有向圖，由于運動控制中可能存在串?dāng)_會使球形電機偏離預(yù)定軌跡，本文將方位角檢測算法添加到運動控制中，研究了球形步進電動機的閉環(huán)控制方法。仿真表明，A*算法不需要遍歷圖中所有節(jié)點就可以搜索到點到點的最佳路徑，且在串?dāng)_偏離預(yù)定軌跡時，啟發(fā)式搜索可以快速地尋找到失步的目標(biāo)節(jié)點，從而重新計算永磁體對/線圈對并添加到已有的有向圖中去。

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