雷雨，趙丹寧，高玉平

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基于灰色系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的鐘差預(yù)報(bào)

雷雨1,2,3，趙丹寧1,3,4，高玉平1,2

（1. 中國科學(xué)院國家授時(shí)中心，西安 710600；2. 中國科學(xué)院時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710600； 3. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100039；4. 中國科學(xué)院精密導(dǎo)航定位與定時(shí)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710600）

灰色系統(tǒng)；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；鐘差預(yù)報(bào)

0 引言

鐘差預(yù)報(bào)在導(dǎo)航定位、守時(shí)和GPS不完整星座定位和接收機(jī)自主完好性監(jiān)測（receiver autonomous integrity monitoring，RAIM）等方面具有非常廣泛的用途。在衛(wèi)星導(dǎo)航定位中，導(dǎo)航電文實(shí)時(shí)發(fā)播衛(wèi)星鐘改正數(shù)，以滿足實(shí)時(shí)導(dǎo)航定位的需要[1]；在守時(shí)實(shí)驗(yàn)室中，控制守時(shí)參數(shù)，以輸出高精度的時(shí)間同步信號(hào)[2-3]；在不完整星座（衛(wèi)星數(shù)小于4顆）條件下，接收機(jī)鐘差可作為一顆可視衛(wèi)星輔助定位[4-5]；在RAIM中，接收機(jī)鐘差可作為一個(gè)輔助量參與故障衛(wèi)星的檢測與識(shí)別[6-7]。較常用的鐘差預(yù)報(bào)模型為多項(xiàng)式模型，該模型計(jì)算簡單、參數(shù)易估計(jì)，但很難用于復(fù)雜時(shí)間序列的處理。無論是星載鐘、地面原子鐘還是普通晶體振蕩器，都是非常敏感的，極易受到外界環(huán)境及自身因素的影響，很難掌握其復(fù)雜細(xì)致的變化規(guī)律，因此可將鐘差的變化過程視為灰色系統(tǒng)。GM（1，1）模型是灰色系統(tǒng)中最常用的鐘差預(yù)報(bào)模型，許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究，并取得了顯著的效果[8-9]。GM（1，1）模型可以基于較少的歷史數(shù)據(jù)建立預(yù)報(bào)模型，與一般的外推預(yù)報(bào)不同點(diǎn)在于它不用原始數(shù)據(jù)建模，而用一階累加生成模塊建模，一定程度上弱化了數(shù)據(jù)的隨機(jī)噪聲，從而更好地反映有用信息。

GM（1，1）模型在預(yù)報(bào)中，對(duì)歷史數(shù)據(jù)作不同的取舍時(shí)，因其所建模型不同，鐘差預(yù)報(bào)值也不相同，即這種預(yù)報(bào)結(jié)果將是一個(gè)預(yù)報(bào)值的區(qū)間，究竟哪個(gè)值是最準(zhǔn)確的？應(yīng)該采用何種模型預(yù)報(bào)？為了減少模型選擇的盲目性，一種可行的辦法是將不同的預(yù)報(bào)模型結(jié)合起來。鑒于此，本文將GM模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（neural network，NN）結(jié)合起來，提出了基于灰色系統(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的鐘差預(yù)報(bào)模型。

1 基本思想

為了克服上述困難，一種可行的辦法是將不同的預(yù)報(bào)模型結(jié)合起來。較簡單、常規(guī)的方法是加權(quán)線性組合方法。這種組合方法是單一方法的凸組合，并且要求參加預(yù)報(bào)的GM（1，1）模型的誤差能保持穩(wěn)定，但鐘差預(yù)報(bào)誤差往往是非均勻性的，因而此方法就存在不足[10]。為此，有必要考慮用非線性的方法來組合單一方法的結(jié)果，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是解決非線性問題的有效工具[11]。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠通過訓(xùn)練學(xué)習(xí)以任意精度逼近任意函數(shù)，特別適用于非線性系統(tǒng)的預(yù)報(bào)[12]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)樣本數(shù)據(jù)的依賴性強(qiáng)，要求訓(xùn)練樣本能較好地覆蓋系統(tǒng)的變化特征。而GM（1，1）模型能夠提取鐘差變化的趨勢項(xiàng)，一定程度上濾去或減弱噪音或干擾，從而更加客觀地反映有用信息，因此將GM（1，1）模型的預(yù)報(bào)值及對(duì)應(yīng)的實(shí)際值作為網(wǎng)絡(luò)的樣本能更好地反映鐘差序列內(nèi)部規(guī)律，增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)的映射能力。

圖1 基于灰色系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的鐘差預(yù)報(bào)模型

該模型可理解成灰色系統(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的“串聯(lián)”，實(shí)質(zhì)上是將不同GM模型作為網(wǎng)絡(luò)的輸入，借助神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的非線性映射能力，對(duì)其進(jìn)行非線性組合，得到一個(gè)組合預(yù)報(bào)值。文獻(xiàn)[9]采用了此模型對(duì)電力系統(tǒng)負(fù)荷進(jìn)行預(yù)測。

2 具體實(shí)現(xiàn)

2.1 鐘差序列灰色建模

式（3）中，

需要說明的是，在建模前，必須保證原始序列中各項(xiàng)符號(hào)一致，若不一致，則給每個(gè)元素都加上1個(gè)常數(shù)，使序列的符號(hào)一致，然后在此基礎(chǔ)上建立GM（1，1）模型并進(jìn)行預(yù)報(bào)，最后再從預(yù)報(bào)值中減去所加常數(shù)即為最終值。常數(shù)的取值原則是，該常數(shù)的符號(hào)與原始序列中絕對(duì)值最大的數(shù)的符號(hào)一致，且其絕對(duì)值要大于原始序列中絕對(duì)值最大數(shù)的絕對(duì)值。

2.2 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性組合

常用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法有反向傳播（back propagation，BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、徑向基函數(shù)（radial basis function，RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（generalized regression neural network，GRNN）。GRNN是一種新型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，建立在核回歸數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上，能夠根據(jù)樣本數(shù)據(jù)逼近其中隱含的映射關(guān)系[13]。即使樣本數(shù)據(jù)稀少，網(wǎng)絡(luò)的輸出結(jié)果也能夠收斂于最優(yōu)回歸表面[14]。其數(shù)學(xué)模型為[14]

選用多元的高斯分布作為核函數(shù)：

采用上述訓(xùn)練樣本對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，在訓(xùn)練之前需對(duì)樣本數(shù)據(jù)歸一化預(yù)處理，即變換到[-1，1]范圍內(nèi)，這樣處理的好處在于可以加快收斂速度、防止大樣本吞并小樣本以及奇異樣本數(shù)據(jù)的影響。

2.3 鐘差預(yù)報(bào)步驟

根據(jù)以上分析，鐘差預(yù)報(bào)的實(shí)施步驟可簡述為：

2）將步驟1的預(yù)報(bào)值和對(duì)應(yīng)的觀測值組成訓(xùn)練樣本，并對(duì)其歸一化處理；

4）對(duì)網(wǎng)絡(luò)輸出值作逆歸一化處理，即將輸出變量還原到原來單位。

3 算例分析

為了驗(yàn)證本文模型效果，從http://igscb.jpl.nasa.gov/components/prods.html網(wǎng)站上下載了2010年12月12日的IGS精密GPS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)，采樣間隔為5 min，選取PRN08和PRN20衛(wèi)星的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并與線性組合模型的預(yù)報(bào)精度進(jìn)行對(duì)比分析。需要說明的是，這2顆衛(wèi)星攜帶的原子鐘分別為Cs鐘和Rb鐘，其當(dāng)天的鐘差變化如圖2所示。線性組合預(yù)報(bào)模型為

圖2 原始鐘差數(shù)據(jù)

當(dāng)對(duì)初始值作不同的取舍時(shí)，所建GM（1，1）模型也就不同，因此，3.1節(jié)分析了不同初始?xì)v元個(gè)數(shù)對(duì)灰色系統(tǒng)模型預(yù)報(bào)精度的影響，3.2節(jié)對(duì)線性組合模型與本文模型的預(yù)報(bào)精度進(jìn)行了比對(duì)分析。通過上述分析，驗(yàn)證本文提出的混合預(yù)報(bào)模型在鐘差預(yù)報(bào)時(shí)的可行性和有效性。

3.1 單純GM（1，1）模型預(yù)報(bào)

分別取12個(gè)歷元（01:00:00～01:55:00）、18個(gè)歷元（00:25:00～01:55:00）和24個(gè)歷元（00:00:00～01:55:00）的鐘差值建立GM（1，1）模型，分別記為GM12、GM18和GM24，并分別用上述3個(gè)模型對(duì)2組鐘差序列進(jìn)行6 h的預(yù)報(bào)（02:00:00～07:55:00），其預(yù)報(bào)誤差（預(yù)報(bào)值與觀測值的差值）如圖3所示。

從圖3可以看出，不同GM（1，1）模型的預(yù)報(bào)精度存在一定差別，對(duì)于PRN08衛(wèi)星鐘差而言，灰色模型的預(yù)報(bào)精度從高到低依次為GM12、GM24、GM18；而對(duì)于PRN20衛(wèi)星鐘差，從高到低依次為GM24、GM18、GM12，這就是說參與建模的初始值歷元個(gè)數(shù)對(duì)預(yù)報(bào)精度有重要影響，而實(shí)際應(yīng)用時(shí)往往不清楚選取多少個(gè)初始值建模最為合適，即哪個(gè)模型是最優(yōu)的事先并不知道。

圖3 灰色系統(tǒng)模型預(yù)報(bào)誤差

3.2 線性組合模型與本文模型預(yù)報(bào)精度對(duì)比分析

結(jié)合圖1，分析表1可以看出，線性組合模型和本文模型都能有效地組合單一灰色系統(tǒng)模型的預(yù)報(bào)結(jié)果，但預(yù)報(bào)精度存在一定的差別。對(duì)于2種組合模型的具體特征總結(jié)如下：

1）線性組合模型至少是一種非劣組合，即組合預(yù)報(bào)的各項(xiàng)誤差統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，包括最大值、平均值和均方根誤差，均不大于由單一模型預(yù)報(bào)得到的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的最大值。該方法較為容易實(shí)現(xiàn)，簡單實(shí)用；

2）無論是預(yù)報(bào)誤差的最大值、平均值還是均方根誤差，灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的統(tǒng)計(jì)結(jié)果均優(yōu)于單一的灰色系統(tǒng)模型，也優(yōu)于線性組合模型，這說明灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是一種優(yōu)組合，即預(yù)報(bào)結(jié)果好于任一種單一模型。該模型對(duì)樣本數(shù)據(jù)的依賴性高，要求樣本數(shù)據(jù)能覆蓋鐘差序列的系統(tǒng)特征。

圖4 灰色系統(tǒng)及其線性組合與本文模型預(yù)報(bào)誤差

表1 預(yù)報(bào)誤差統(tǒng)計(jì) ns

4 結(jié)語

本文所提出的基于灰色系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合的鐘差預(yù)報(bào)模型，利用了灰色模型GM（1，1）要求原始數(shù)據(jù)少，方法簡單的特點(diǎn)，構(gòu)造了多個(gè)不同的GM（1，1）模型，同時(shí)借助神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的非線性映射能力，將這些不同的模型進(jìn)行非線性組合，不僅避免了模型選擇的盲目性，也提高了鐘差預(yù)報(bào)的精度。另外，試驗(yàn)表明該模型優(yōu)于基于經(jīng)典加權(quán)方法的線性組合灰色模型。

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Clock bias predicting based on grey system and neural network

LEI Yu1,2,3, ZHAO Dan-ning1,3,4, GAO Yu-ping1,2

(1. National Time Service Centre, Chinese Academy of Sciences, Xi′an 710600, China;2. Key Laboratory of Time and Frequency Primary Standards, National Time Service Center,Chinese Academy of Sciences, Xi′an 710600, China;3. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100039, China; 4. Key Laboratory of Precision Navigation and Timing Technology, National Time Service Center, Chinese Academy of Sciences, Xi′an 710600, China)

For avoiding the weakness of single model in predicting clock bias, a hybrid method combining the grey model(GM) and neural network(NN) for predicting clock bias is proposed. The basic idea, prediction model and practical process of clock bias predicting based on GM(1,1) and GRNN(generalized regression neural network) are presented. In view of the defects of traditional NN, the-fold cross-validation algorithm is employed for improving the generalization ability of GRNN. For verifying the feasibility and validity of the hybrid method, the clock bias predictions are carried out by using the real data of GPS satellites clock bias and the prediction precisions for different methods are compared. The results show that the prediction precision for the proposed method is better than those for the GM(1,1) and the weighted combination of GM(1,1).

grey system; neural network; clock bias prediction

P228.4

A

1674-0637(2013)03-0156-08

2012-10-15

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10573019）

雷雨，男，博士研究生，主要從事GNSS時(shí)間傳遞方面研究。