佘勃強，吳引江，崔亞輝

（1.西北有色金屬研究院寶德公司，陜西 西安710016；2.西安理工大學(xué)機儀學(xué)院，陜西 西安710048)

現(xiàn)行的齒根彎曲強度計算中只考慮了法向嚙合力，而忽略了齒間摩擦力[1~2]。李秀蓮、徐輔仁等人對齒間摩擦力對齒根彎曲應(yīng)力的影響做了研究，認(rèn)為在齒間摩擦系數(shù)大的情況下可使齒根彎曲應(yīng)力增加10%以上[3~5]。

本文進一步按照現(xiàn)行的齒輪強度計算方法全面地分析了齒間摩擦力對增速傳動和減速傳動中大、小齒輪齒根彎曲應(yīng)力的影響，并對影響程度進行了定量計算。

1 力學(xué)模型的建立

齒間摩擦力的方向在主動輪嚙合齒面上是背離節(jié)線，分別指向齒根和齒頂?shù)?，而在從動輪嚙合齒面上正好相反[2]。主、從動輪齒頂嚙合時計算齒根彎曲應(yīng)力的簡化力學(xué)模型分別如圖1中（a）、（b）所示。輪齒在嚙合面上受沿嚙合線方向的法向載荷Fn及沿齒面接觸點切線方向的切向載荷Ff（齒間摩擦力）的作用。為便于研究，將法向載荷Fn沿嚙合線移動到主動輪輪齒中線的K點，將切向載荷Ff沿齒頂R點的漸開線切線也移動到輪齒中線的E點，令齒間摩擦力Ff與輪齒齒廓對稱中線所夾銳角為αF，于是，F(xiàn)n被分解成垂直于輪齒中線及沿著輪齒中線的兩個分量FncosαF和FnsinαF。類似地，F(xiàn)f也被分解為FfsinαF和FfcosαF。在這里主動輪上的FnsinαF與FfcosαF方向相反（從動輪上的FnsinαF與FfcosαF方向相同），前人的研究業(yè)已表明它們的合力在齒根剖面上產(chǎn)生的壓應(yīng)力與該剖面上彎曲應(yīng)力相比甚小，可忽略不計[2]。因此，本文主要考慮FncosαF和FfsinαF聯(lián)合作用下的齒根彎曲應(yīng)力。

圖1 考慮摩擦力的輪齒力學(xué)模型

2 計算公式的推導(dǎo)

在考慮摩擦力的作用下，齒根危險剖面的彎曲應(yīng)力計算公式為[1~2]：

其中，W為齒根危險截面的抗彎截面模量；

式中，F(xiàn)n（f）為考慮齒間摩擦力時的法向力,主動輪為“+”，從動輪為“-”。

齒輪彎曲疲勞強度計算已形成統(tǒng)一規(guī)則：對于相互嚙合的一對齒輪，無論是計算小齒輪還是大齒輪的齒根彎曲疲勞應(yīng)力，只以小齒輪的扭矩及分度圓直徑為依據(jù)，因此應(yīng)建立考慮齒間摩擦力時的小齒輪傳遞扭矩T1與Fn（f）之間的關(guān)系。

當(dāng)小齒輪為主動輪時，由圖2所示關(guān)系可得：

圖2 小齒輪主動時齒頂嚙合受力示意圖

同理，當(dāng)小齒輪為從動輪時（此時齒間摩擦力Ff的方向正好與作主動輪時的相反）有：T1=Fn（f）rb1-Ff，由于有αB21=αa[2]，αa1為小齒輪齒頂圓上的壓力角，從而可得考慮齒間摩擦力時小齒輪上的Fn（f）與小齒輪傳遞扭矩T1之間的關(guān)系為：

式中，小齒輪主動為“+”，小齒輪從動為“-”。

大齒輪主動時的齒頂嚙合受力如圖3所示。同理可得：

圖3 大齒輪主動時齒頂嚙合受力示意圖

式中，大齒輪主動為“+”，大齒輪從動為“—”。

由漸開線標(biāo)準(zhǔn)齒輪的性質(zhì)可知：

代入上式并整理可得考慮齒間摩擦力時大齒輪上的Fn（f）與小齒輪傳遞扭矩T1之間的關(guān)系

將（2）、（3）式代入（1）式并整理后可得考慮齒面間摩擦力時的齒根彎曲應(yīng)力為：

式中：ρ（f）為彎曲強度摩擦因子，反映了齒面間摩擦力對齒根彎曲應(yīng)力的影響程度。齒輪主動時為“+”，齒輪從動時為“-”。

3 彎曲強度摩擦因子的計算

對于標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒形，其簡化力學(xué)模型如圖4所示，經(jīng)過推導(dǎo)可得到下列方程組。

圖4 輪齒的簡化力學(xué)模型及其幾何參數(shù)[3]

其中：αa1為小齒輪齒頂圓處的壓力角；αa2為大齒輪齒頂圓處的壓力角；α為分度圓處的壓力角；sa為齒頂圓處的齒厚；z1為小齒輪的齒數(shù)；z2為大齒輪的齒數(shù)；f為嚙合齒面間的摩擦系數(shù)。齒輪主動時為“+”，齒輪從動時為“-”。

由以上方程組可以看出，影響彎曲強度摩擦因子ρ（f）的因素有：齒輪齒數(shù)z、分度圓壓力角α、模數(shù)m及嚙合齒面間的摩擦系數(shù)f。進一步利用Matlab語言編程可以計算出彎曲強度摩擦因子ρ（f）與上述諸因素的關(guān)系。結(jié)果表明，z和f的影響較大，見圖5、圖6所示。

圖5 ρ（f）與z的關(guān)系

圖6 ρ（f）與f的關(guān)系

從圖中可以看到，小齒輪和大齒輪上的彎曲疲勞強度摩擦因子隨z、f變化趨勢基本是一樣的，當(dāng)其為主動輪時都大于1，當(dāng)其為從動輪時都小于1。無論為主動輪還是從動輪，齒數(shù)z對大小輪上的彎曲強度摩擦因子影響都不大，不超過±2.5%。齒面摩擦系數(shù)f對小齒輪上的彎曲強度摩擦因子影響也比較小，在±3%范圍之內(nèi)。而對大齒輪上的彎曲強度摩擦因子影響就比較大，當(dāng)f大于0.08時會使主動大齒輪上的彎曲強度摩擦因子增加到1.05以上，當(dāng)f=0.15時主動大齒輪上的彎曲疲勞強度摩擦因子幾乎增加到1.1時，從而使齒根彎曲應(yīng)力相應(yīng)增加10%。當(dāng)大齒輪從動時，齒面摩擦系數(shù)f使彎曲強度摩擦因子減小1%到10%。

定量計算結(jié)果明確展示了摩擦系數(shù)f對大小齒輪的齒根彎曲疲勞強度的影響程度，表明當(dāng)大齒輪作為主動輪時有必要計入齒間摩擦力的影響。

4 結(jié)束語

通過本文的分析計算，可以得出以下結(jié)論：

（1）在減速傳動中，齒間摩擦力使小齒輪齒根彎曲應(yīng)力增加不超過3%，大齒輪齒根彎曲應(yīng)力減小1%到10%。因此在設(shè)計校核時將齒間摩擦力忽略掉是完全可行的。

（2）在增速傳動場合下，齒間摩擦力使主動大齒輪的齒根應(yīng)力增加1%到10%，當(dāng)齒面摩擦系數(shù)f大于0.08時就增加5%以上，主動大齒輪齒根彎曲強度的精確計算校核有必要考慮齒間摩擦力的影響。

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