陳辰嘉，劉 文，林騰蛟，呂和生

(1.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動國家重點實驗室，重慶 400044;2.重慶齒輪箱有限責(zé)任公司，重慶 402263)

1 引言

漸開線變厚齒輪在外形上沿軸線呈現(xiàn)一定的錐角，可廣泛應(yīng)用于平行軸、相交軸以及交錯軸的空間傳動中。變厚齒輪的主要特點是在不同的軸向截面上齒形具有不同的變位系數(shù)，通常沿軸向線性變化。

對于漸開線變厚齒輪，國內(nèi)外學(xué)者做了較多的研究。Jesper Brauer針對直齒變厚齒輪從參數(shù)方程的角度分析了其幾何特征［1］;林超、魏沛堂推導(dǎo)了變厚斜齒輪漸開線螺旋面、過渡曲面及齒根面齒面方程，建立了精確實體模型［2］;朱才朝、宋朝省等提出了變厚齒輪直接設(shè)計法和間接設(shè)計法，分析了設(shè)計參數(shù)對嚙合主方向角的影響［3］，并研究了其嚙合動態(tài)特性［4］，舒長生針對變厚斜齒輪輪齒左右兩側(cè)螺旋角的變化規(guī)律提出了附加螺旋角的概念［5］。研究人員在建立變厚斜齒輪齒面方程時都是從產(chǎn)形齒條法面方程著手進(jìn)行推導(dǎo)，未能直接通過設(shè)定齒輪參數(shù)得到斜齒輪端面方程，建模過程相對繁瑣。

筆者根據(jù)齒輪嚙合原理，以產(chǎn)形齒條法面齒廓為基礎(chǔ)，建立其端面齒廓方程，推導(dǎo)產(chǎn)形齒條與變厚齒輪間的坐標(biāo)變換關(guān)系，求解兩齒面相對滑移速度及產(chǎn)形齒條上的單位法矢構(gòu)建嚙合方程，得到漸開線變厚斜齒輪齒面表達(dá)式，而后利用UG軟件建立相交軸漸開線變厚斜齒輪副的實體模型。

2 產(chǎn)形斜齒條端面方程的推導(dǎo)

在推導(dǎo)漸開線變厚斜齒輪齒面方程時，以假想產(chǎn)形齒條作為刀具加工變厚斜齒輪，產(chǎn)形齒條與被加工齒輪相對位置關(guān)系如圖1所示。

圖1 產(chǎn)形齒條和齒坯相對位置關(guān)系

圖1中，半徑為r′的節(jié)圓柱與產(chǎn)形齒條節(jié)平面相切，節(jié)圓柱上的切點線速度r′ω等于齒條平移的速度，假想分度平面與節(jié)平面之間呈夾角δ'。

2.1 產(chǎn)形斜齒條法面方程

如圖2所示，Sn(Xn，Yn，Zn)是空間固定坐標(biāo)系，YnZn平面為產(chǎn)形齒條的分度平面，XnZn平面為產(chǎn)形齒條法向?qū)ΨQ平面。在法向截面上，產(chǎn)形齒條的左側(cè)齒廓分為AB和BC兩部分，其中AB段為圓弧，包絡(luò)出變厚齒輪齒根過渡曲線;BC段為直線，包絡(luò)出變厚齒輪的漸開線齒面。

圖2 產(chǎn)形齒條法向截面齒廓

BC上任一點在法向截面上方程為:

式中:Rzn為BC段中任意一點在坐標(biāo)系Sn中的矢徑;αn為法面壓力角;mn為法面模數(shù);h*an為齒頂高系數(shù);l為BC中任意一點到點B的距離;下標(biāo)n為刀具法面;–，+分別表示產(chǎn)形齒條左、右側(cè)齒廓。

AB上任一點在法向截面上方程為:

式中:Rjn為AB段中任意一點在坐標(biāo)系Sn中的矢徑;θ為圓弧上任一點與起始點A間的圓心角;ρ為產(chǎn)形齒條齒頂圓角半徑。

2.2 產(chǎn)形斜齒條端面方程

將坐標(biāo)系Sn繞Xn旋轉(zhuǎn)β，得坐標(biāo)系St(Xt，Yt，Zt)，再將坐標(biāo)系St繞Yt旋轉(zhuǎn)δ，得坐標(biāo)系Sd(Xd，Yd，Zd)，如圖2所示。

由式(1)、(2)可推導(dǎo)出產(chǎn)形齒條直線段和圓弧段在坐標(biāo)系St中XtOtYt平面上的表達(dá)式如下。

由式(3)、(4)可推導(dǎo)出產(chǎn)形齒條直線段和圓弧段在坐標(biāo)系Sd中XdOdYd平面上的表達(dá)式如下。

3 漸開線變厚齒輪齒面方程的推導(dǎo)

3.1 產(chǎn)形齒條的坐標(biāo)變換

建立如圖3所示的坐標(biāo)系，Sd(Xd，Yd，Zd)坐標(biāo)系與產(chǎn)形齒條固聯(lián)，將坐標(biāo)系Sd沿Zd負(fù)向移動距離u，然后繞Xd旋轉(zhuǎn)β角得到坐標(biāo)系Sp(Xp，Yp，Zp)，將坐標(biāo)系Sp繞Yp旋轉(zhuǎn)δ角得到坐標(biāo)系Sc(Xc，Yc，Zc)。

圖3 坐標(biāo)系S d、S p、S c之間的位置關(guān)系

在坐標(biāo)系Sc中，產(chǎn)形齒條齒面方程可通過如下坐標(biāo)變換得到。

式中:Rc和Rd分別表示產(chǎn)形齒條齒面上各點在坐標(biāo)系Sc和Sd下的矢徑，Mpd為坐標(biāo)系Sd到Sp的坐標(biāo)變換矩陣，Mcp為坐標(biāo)系Sp到Sc的坐標(biāo)變換矩陣。

將式(5)、(6)、(8)代入式(7)，可得坐標(biāo)系Sc下產(chǎn)形齒條直線段和圓弧段各點的矢徑。

3.2 產(chǎn)形齒條齒面的單位法矢

坐標(biāo)系Sc下產(chǎn)形齒條直線段(圓弧段)各點的位置表達(dá)式為l/u(θ/u)的函數(shù)，所以產(chǎn)形齒條齒面的單位法矢可以表示為下式。

3.3 嚙合方程

產(chǎn)形齒條加工齒坯的過程，也是產(chǎn)形齒條齒面包絡(luò)齒坯創(chuàng)成齒面的過程。圖4所示為產(chǎn)形齒條與齒輪嚙合時的相對位置關(guān)系。

圖4 產(chǎn)形齒條與與齒輪嚙合時相對位置關(guān)系

設(shè)Sb(Xb，Yb，Zb)為空間固定坐標(biāo)系，Sj(Xj，Yj，Zj)為與被加工齒輪固聯(lián)的坐標(biāo)系。在初始位置，Sj與Sb重合，與產(chǎn)形齒條固聯(lián)的坐標(biāo)系Sc的原點Oc位于Xb軸上，與Ob的距離為r'。產(chǎn)形齒條1以線速度ω1r′向左移動，帶動被加工齒輪2以角速度ω1繞Zj軸逆時針旋轉(zhuǎn)。若產(chǎn)形齒條由初始位置向左移動r′φ1，則坐標(biāo)系Sj繞Zj旋轉(zhuǎn)角度φ1。

被加工齒輪繞Zj軸轉(zhuǎn)速矢量可表示為:

設(shè)產(chǎn)形齒條上某點K的位置矢量為:

可得:

由式(13)、(15)可得，在K點處齒輪相對齒條的速度矢量為:

根據(jù)嚙合原理，兩齒面能在K點正確嚙合的條件是K點的相對速度矢量垂直于過K點的兩齒面的公法線矢量，即:

其中:nK表示刀具齒面單位法向矢量

將式(16)、(18)代入式(19)解得:

3.4 漸開線變厚齒輪齒面方程

將式(9)、(10)和(11)、(12)分別代入式(19)，解得產(chǎn)形齒條直線段和圓弧段的轉(zhuǎn)角φ1。

變厚齒輪齒面部分在Sj中的齒面方程為:

式中:Mjc為坐標(biāo)系Sc到Sj的變換矩陣。

同理，變厚齒輪過渡圓弧在Sj中的參數(shù)方程為:

4 變厚斜齒輪副實體模型的建立

相交軸漸開線變厚斜齒輪副的參數(shù)如表1所列。

表1 漸開線變厚斜齒輪的參數(shù)

4.1 漸開線變原斜齒輪齒面點云生成［6-8］

以輸入齒輪為例，在Matlab中根據(jù)變厚斜齒輪的齒面方程編寫程序，可生成圖5所示的齒面點云。圖中5(a)為基于產(chǎn)形齒條端面齒廓方程得出的齒面點云，圖5(b)為基于產(chǎn)形齒條法面齒廓方程得出的齒面點云。

兩者對比分析可見，無論是從產(chǎn)形齒條端面方程還是法面方程出發(fā)，都能獲得準(zhǔn)確的齒面點云;不同的是圖5(a)中每層點云都與齒輪端面平行，可通過設(shè)定齒輪大端和小端的變位系數(shù)，從而方便地建立滿足齒寬要求的實體模型，而由圖5(b)點云擬合得到曲面后，還需依據(jù)齒輪大、小端的變位系數(shù)計算軸向切面位置，通過曲面剪切形成變厚斜齒輪齒面，建模過程相對較為繁瑣。

圖5 輸入軸漸開線變厚齒輪齒面點云

4.2 漸開線變厚斜齒輪建模及裝配

相交軸漸開線變厚斜齒輪副的嚙合模型，如圖6所示。

交軸漸開線變厚斜齒輪副的嚙合模型

將基于產(chǎn)形齒條端面齒廓方程得出的齒面點云輸入Imageware擬合成變厚斜齒輪齒面，而后在UG中編輯曲面，通過縫合、陣列等操作得到變厚斜齒輪的實體模型。計算齒輪副裝配位置，在UG中進(jìn)行虛擬裝配及干涉檢驗，即可得到圖6所示的模型。

5 結(jié)論

采用空間嚙合原理，基于產(chǎn)形齒條端面方程推導(dǎo)了漸開線變厚斜齒輪的齒面方程，建立了相交軸漸開線變厚斜齒輪副的裝配模型，得出以下結(jié)論:①基于產(chǎn)形齒條法面齒廓的參數(shù)方程，經(jīng)兩次坐標(biāo)變換可推導(dǎo)出包含螺旋角β和錐角δ兩個基本參數(shù)的產(chǎn)形齒條端面方程;②從產(chǎn)形齒條端面齒廓方程入手，經(jīng)坐標(biāo)變換建立嚙合方程，得出了漸開線變厚斜齒輪的齒面方程;③借助Matlab、Imageware、UG等軟件建立了漸開線變厚斜齒輪副的實體模型和裝配模型，結(jié)果顯示該相交軸變厚斜齒輪副嚙合狀況良好。

［1］ Brauer J.Analytical Geometry of Straight Conical Involute Gears［J］.Mechanism and Machine Theory，2002，37(1):127-141.

［2］ 林 超，魏沛堂，朱才朝，等.變齒厚斜齒輪的齒面生成研究［J］.機(jī)械傳動，2010，34(4):1-5.

［3］ 宋朝省，朱才朝，劉立斌，等.交錯軸漸開線變厚齒輪傳動節(jié)圓錐設(shè)計［J］.重慶大學(xué)學(xué)報，2012，35(8):48-53.

［4］ 宋朝省，朱才朝，Lim T C，等.小角度空間交錯軸變厚齒輪傳動嚙合動態(tài)特性研究［J］.振動與沖擊，2012，31(8):153-157.

［5］ 舒長生.變齒厚齒輪基圓螺旋角的計算［J］.傳動技術(shù)，2001(3):5-9.

［6］ 沈永鶴，孫 融.變齒厚漸開線齒輪的應(yīng)用和加工［J］.機(jī)械設(shè)計與研究，2003，19(3):83-84.

［7］ 李華敏，韓元瑩，王知行.漸開線齒輪的幾何原理與計算［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1985.

［8］ 趙加元.漸開線齒輪輪齒的修形設(shè)計［J］.機(jī)械，2011(10):67-72.