林清英，黃龍光

(集美大學理學院，福建 廈門 361021)

0 引言

擬變分不等式最早是由Bensoussan等[1-2]提出的帶約束條件的變分不等式.經過四十余年的發(fā)展，擬變分不等式理論研究[3-5]已較深入，并廣泛應用于解決各種力學及經濟學問題[6-8].近年來，Dirtrich[9]及Fukushima[10]分別提出構造擬變分不等式間隙函數(shù)的方法，從而使利用擬變分不等式解決優(yōu)化問題得以突破.2011年，Aussel等[11]提出Rn空間中擬變分不等式誤差邊界以及存在唯一解條件，同時，他們還進一步給出擬變分不等式在廣義納什均衡問題中的應用.在文獻[11]的基礎上，本文進一步討論嚴格凸光滑賦范線性空間中集值擬變分不等式的間隙函數(shù)的有關性質.

1 預備知識

如無特別說明，本文中X為嚴格凸光滑賦范線性空間，Y是實賦范線性空間，X*是X的對偶空間，R表示實數(shù)集，映射T:X→2X*和S:X→2X為集值映射，D(S)，D(T)分別表示集值映射S，T的定義域.

如下問題稱為X的擬變分不等式QVI(T，S)問題:對任意的y∈S(x0)，找x0∈S(x0)及x0*∈T(x0)使〈x0*，y-x0〉≥0.

定義1[11]設D(S)?D(T)，若存在函數(shù)φ:D(S)×X→R滿足下列性質:1)對任意x∈D(S)，φ(x，·)在 D(S)上為嚴格凸映射;2)對任意 x∈D(S)，?2φ(x，x)=T(x)，則稱序對 (T，S)滿足假設H.

定義2[11]設μ〉0，若對任意x，y∈X，存在x*∈T(x)，使得〈x*，y-x〉〉0，那么對任意y*∈T(y)有則稱T為μ-強偽單調集值映射.

定義3[11]若 FP(S)? {x∈ D(S)|x∈S(x)}，Gr(S)?{(x，y)|x∈D(S)，y∈S(x)}，集值映射S滿足對任意x∈FP(S)有(S(x)，x)?Gr(S)，則稱S為對稱的集值映射，換言之，對任意x∈ FP(S)，y∈ S(x)有 x∈S(y).

定義4[11]設α〉0，若存在r〉0，L〉0使對任意則S稱為在點x∈D(S)上的局部α-H?lder集值映射.

定義5[12]設T是線性拓撲空間X到線性拓撲空間Y的映照．如果T把X中的每個有界集映為Y中的有界集，則稱映照T是保持有界集的.

2 構造集值擬變分不等式的間隙函數(shù)

基于文獻[11]在有限維線性空間中討論擬變分不等式的間隙函數(shù)的有關性質，本文將相關性質拓展到嚴格凸光滑賦范線性空間.嚴格凸光滑賦范線性空間有關性質可見文獻 [13].

定理1 設D(S)?D(T)，T為弱*緊凸值的，若對任意存在，那么對任意β〉0，可定義函數(shù)滿足假設H.

1)先證φβ(x，y)滿足定義1條件2)，因為X是光滑賦范線性空間，所以?2φβ(x，x)=?g(x).

下證:?g(x)=T(x).先證T(x)??g(x).首先，由T為弱*緊凸值的，可知T(x)為弱*緊凸集.其次，對任意z*∈ T(x)，有且從而g(y)-g(x)≥〈z*，y-x〉. 所以z*∈?g(x). 于是T(x)??g(x).再證?g(x)?T(x).對任意 u∈ ?g(x)，g(y)=g(y)-g(x)≥〈u，y-x〉且則對任意y，因此u∈T(x).否則假設u?T(x)，因為T(x)為弱*緊凸集，根據(jù)凸集分離定理，存在y0∈X使與式 (1)矛盾.于是?g(x)?T(x).綜上，?g(x)=T(x)，即φβ(x，y)滿足定義1條件2).

2)再證φβ(x，y)滿足定義1條件1).對任意y1，y2∈X(y1≠y2)及λ∈(0，1)，分兩種情況進行討論:ⅰ)當時，由X的嚴格凸性可知

推論1 若序對(T，S)滿足與函數(shù)φ有關的假設H，且φ是保持有界集的，則T為弱*緊凸值的.

證明 由定義1 性質2)可知，?φ2(x，x)=T(x)且 ?φ2(x，x)={v∈ X*|〈v，y-x〉≤ φ(x，y)-φ(x，x)，?y∈ X}. 對任意的可得〈λv1+(1-λ)v2，y-x〉≤φ(x，y)-φ(x，x). 故λv1+(1-λ)v2∈T(x)，即T(x)為凸集. 對任意T(x)中弱* 收斂于 u的序列 {uα}，有 φ(x，y)- φ(x，x)≥〈uα，y-x〉. 對 α 取極限，φ(x，y)- φ(x，x)≥〈u，yx〉，從而u∈?φ2(x，x)=T(x).因此，T(x)是弱*閉的.對任意u∈?φ2(x，x)=T(x)及y∈x+B(0，1)?X，有φ(x，y)-φ(x，x)≥〈u，y-x〉. 又由φ是保持有界集的，可知對任意y∈x+B(0，1)，存在M 〉0，使即對任意故T(x)為范數(shù)有界.由Banach-Alaoglu定理可知T(x)為弱*緊集，即T為弱*緊凸值的.

引理1 設序對(T，S)滿足與函數(shù)φ有關的假設H，D(S)?int(D(T))，S為凸值的，那么對任意x∈X，x為QVI(T，S)的解當且僅當x是φ(x，·)在S(x)上的全局最小值.

證明 充分性.因為x為QVI(T，S)的解，所以對任意y∈S(x)，存在x*∈T(x)使〈x*，y-x〉≥0. 又由 ?2φ(x，x)=T(x)得 φ(x，y)- φ(x，x)≥〈x*，y-x〉≥0．從而 φ(x，y)≥ φ(x，x)，即 x是φ(x，·)在S(x)上的全局最小值.

必要性. 因為x是 φ(x，·)在 S(x)上的全局最小值，所以0∈ ?2φ(x，x). 又由 ?2φ(x，x)=T(x)可知0∈T(x).于是對任意y∈S(x)，存在0∈T(x)使〈0，y-x〉≥0.故x為QVI(T，S)的解.

定理2 設序對(T，S)滿足與函數(shù)φ有關的假設H，D(S)?int(D(T))，S為凸值的，如果對任意x∈D(S)，函數(shù)φ滿足φ(x，x)=0，那么是在 FP(S)上擬變分不等式QVI(T，S)的間隙函數(shù)，即對任意x∈FP(S)有fφ(x)≥0，其中fφ(x)=0當且僅當x為QVI(T，S)的解.

3 集值擬變分不等式的誤差邊界

為引入集值擬變分不等式誤差邊界，本文將考慮由定理1描述的特殊二元函數(shù)φβ，于是間隙函數(shù)定義為對任意 β 〉 0，fβ:D(S)→R ，有其中φβ:D(S)×X→R是指對任意 (x，y)∈ D(S)× X 有

定理3 設T為μ-強偽單調集值映射且T為弱*緊值的，S在不動點處為對稱集值映射，D(S)?D(T)，若∈X是QVI(T，S)的解，那么對任意β〈μ，是QVI(T，S)在S(ˉx)上的唯一解且對任意x∈S)，

推論2設T為μ-強偽單調集值映射且T為弱*緊值的，K為X中非空凸集，設∈X是VI(T，K)的 (唯一)解，則對任意β〈μ和x∈K有其中間隙函數(shù)fβ(x)=

證明設任意x∈B(ˉx，η)∩S(ˉx)，z∈S(x)，且S為局部α-H?lder集值映射，則于 是，由T是弱*緊值的可知T(x)為弱*緊集，從而存在x*∈T(x)使即

推論3設T為μ-強偽單調集值映射且T是弱*緊值的，若ˉx∈D(T)，S為α〉2的局部α-H?lder集值映射，D(S)?D(T). 設實數(shù)η∈(0，min{r，1})滿足ρη= μ -LMηα-2-β-2βL-βL2〉0，其中那么是QVI(T，S)在上的唯一解，且對任意

4 廣義納什均衡問題上的應用

廣義納什均衡問題 (Generalized Nash Equilibrium Problem，GNEP)是每一個決策者都會依賴其他決策者的一種納什游戲.假設有p個決策者，決策者v的決策變量為yv∈X.記所有這些變量構成的向量y=(y1，y2，……，yp)，y-v表示除玩家v外其他決策者的決策變量按原順序構成的向量.有時為強調第v個決策者的變量，會用(yv，y-v)來代替y.注意(yv，y-v)仍然是向量y，而不是將分量塊yv移到首位.決策者v的策略屬于Yv(y-v)，這個集合明顯依賴于其他決策者的決策變量.給出決策yv的決策者目的是為選擇一種策略yv使得yv解決以下最優(yōu)化問題:存在yv∈Yv(y-v)使(Pv)min θv(yv，y-v)，其中θv(yv，y-v)表示當競爭者選擇策略yv時，決策者需要承受的損失.廣義納什均衡問題就是為了找到∈X使對任意當支付函數(shù)θv是凸的且關于第v個變量可微時，在特殊的情況下與擬變分不等式的有關內容已經被研究.2009年，Heusinger等指出在擬凸以及滿足Rosen定理的條件下用變分不等式表示廣義納什均衡問題的一種變形，即對任意的v，集合Yv(y-v)表示Yv(y-v):={yv∈X:(yv，y-v)∈X}.受文獻 [11]的啟發(fā)，利用擬變分不等式表示廣義納什均衡問題的一種變形，從而利用文中嚴格凸光滑賦范線性空間中間隙函數(shù)的結論得到有關GNEP的相關理論.

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