謝莎莎，黃振坤

(集美大學理學院，福建 廈門 361021)

0 引言

Wilson-Cowan模型是由著名學者Wilson和Cowan于1972年提出[1]，它是用于描述神經網絡不同特性神經元群體動力演化的方程.該模型由兩個非線性微分方程組成，代表相互作用產生興奮和抑制的兩種神經元群體之間的關系.Wilson-Cowan網絡受到許多學者的關注，如文獻 [2]通過選擇適當?shù)碾p曲函數(shù)并分析參數(shù)的取值范圍，獲得漸近穩(wěn)定極限環(huán)的存在性;文獻[3]利用對稱特性和龐加萊映射找到周期振動區(qū)域的參數(shù)空間，證明Wilson-Cowan存在三個或多個周期吸引子;文獻[4]研究Wilson-Cowan網絡中神經元相互作用產生興奮或抑制行為，且在周期性輸入下對神經元有完全不同的激活或抑制影響.然而對Wilson-Cowan網絡在概周期環(huán)境下解的存在性和穩(wěn)定性還沒有相關的報道.近年來，Wilson-Cowan神經網絡模型在圖像處理和聯(lián)想記憶方面的應用非常廣泛，研究其內在動力學性質在神經網絡的設計和應用領域具有重要意義.在概周期信號激勵下[5-8]，它是否具有唯一的周期或概周期編碼，值得探討.本文應用與文獻[6]類似的技巧，利用壓縮不動點定理以及Lyapunov泛函方法，給出了一些Wilson-Cowan網絡存在唯一概周期解及其指數(shù)型穩(wěn)定的充分條件.

1 預備知識

考慮如下Wilson-Cowan神經網絡

其中:x(t)，y(t)分別表示單位時間內神經元興奮和抑制所占比例，假設x(t)，y(t)是連續(xù)的變量，它們取值表示神經元群體處理信息的編碼，即狀態(tài)變量;a(t)，d(t)分別表示興奮神經元和抑制神經元群體隨著時間自然衰變的函數(shù);rx(t)，ry(t)分別表示興奮和抑制神經元的不響應期;w(t)，b(t)，c(t)，e(t)表示不同神經元群體之間聯(lián)結的強度，w(t)是自興奮聯(lián)結權重，b(t)是從y到x的聯(lián)結權重，c(t)是從x到y(tǒng)的聯(lián)結權重，e(t)是自抑制聯(lián)結權重;I(t)，J(t)表示外部刺激對神經元群體產生興奮或抑制輸入;S(·)表示神經元雙曲型的激活響應函數(shù).

進一步，令a(t)，d(t)，rx(t)，ry(t)，w(t)，c(t)，b(t)，e(t)，I(t)，J(t):R→R+是概周期函數(shù)，并且滿足:

定義1[9]連續(xù)函數(shù)x(t):R→Rn稱為概周期函數(shù)，如果對任給的ε〉0，存在一個實數(shù)l=l(ε)〉0，使得在每個長度為l(ε)的區(qū)間內至少有一個δ=δ(ε)，使得

定義2 設x*(t)=(x(t)，y(t))T是系統(tǒng) (1)的一個具有初始條件φ*=(x*0，y*0)T的概周期解，如果存在常數(shù)λ〉0和M≥1，對于系統(tǒng) (1)的具有初始條件φ=(x0，y0)的每一個解x(t)=(x(t)，y(t))T滿足則稱x*(t)是全局指數(shù)穩(wěn)定的．

定義3[9]設Q(t)是定義在R上的n×n連續(xù)矩陣函數(shù)．線性系統(tǒng)˙x=Q(t)x(t)稱為在R上是容許指數(shù)二分的，如果存在常數(shù)k，l〉0投影算子P以及基礎解矩陣X(t)滿足

引理1[9]如果線性系統(tǒng)˙x(t)=Q(t)x(t)是容許指數(shù)二分的，則概周期系統(tǒng)˙x(t)=Q(t)x(t)+g(t)有唯一的概周期解

引理2[9]假設ci(t)是R上的一個概周期函數(shù)，并且n，則線性系統(tǒng)˙x(t)=C(t)x(t)是容許指數(shù)二分的，其中C(t)=diag(-c1(t)，-c2(t)，…，-cn(t))．

2 概周期解的存在性與唯一性

首先給出一些本文需要的假設．1)存在常數(shù)L〉0，使得雙曲激活函數(shù)S∈C(R，R)滿足:

證明 任取φ =(φ1，φ2)T∈B*，考慮系統(tǒng)

由 a(t)≥ a⊥〉 0，d(t)≥ d⊥〉 0，有根據引理1和引理2，系統(tǒng) (2)存在唯一概周期解

定義映射 F:B*→B，F(xiàn)=(F1(φ)，F(xiàn)2(φ))，其中 F1(φ(t))=xφ(t)，F(xiàn)2(φ(t))=yφ(t)，?(φ1，φ2)T∈B*．顯然是B的閉凸子集．

下面首先證明F將B*映射到B*，結合假設1)，2)，獲得

注意到，0〈R〈1，這意味著F是一個壓縮映射．據不動點定理，則存在唯一的不動點φ*∈B*，使得Fφ*=φ*．故φ*是系統(tǒng) (1)在B*中唯一的概周期解，定理1證畢．

3 概周期解的指數(shù)穩(wěn)定性

定理2 若條件1)、2)成立，則系統(tǒng) (1)在B*中存在唯一全局指數(shù)型穩(wěn)定的概周期解．

證明 由定理1，系統(tǒng) (1)存在唯一的概周期解(x*(t)，y*(t))T∈B*．令(x(t)，y(t))T是系統(tǒng) (1)具有初始條件ψ=(x0，y0)T的解．令X(t)=x(t)-x*(t)，Y(t)=y(t)-y*(t)，則

構造兩個輔助函數(shù)

由Γ1(ξ)、Γ2(ξ)是[0，+∞)上的連續(xù)函數(shù)，可得，

當 ξ→ +∞，可以選擇一個正常數(shù) λ ∈[0，λ0]，λ0=min{λ1，λ2}，Γ(λ1)〈 0，Γ(λ2)〈 0，使得

[1]WILSON H R，COWAN J D.Excitatory and inhibitory interactions in localized populations of model neurons[J].Biophys，1972，12(1):1-24.

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[4]NOONBURG V W，BENARDETE D，POLLINA B.A periodically forced Wilson-Cowan system [J].SIAM J Appl Math，2003，63(5):1585-1603.

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