趙宏強

(海軍航空工程學院 青島校區(qū)，山東 青島 266041)

頻譜分析是信號處理中最常用的方法，傳統(tǒng)的頻譜分析方法一般采用快速傅里葉變換(FFT)，F(xiàn)FT 得到的是整個折疊頻率上的粗略的“全景頻譜”，而在實際應用中，往往需要對感興趣的窄帶頻譜區(qū)間進行細微觀察和分析，這就需要較高的頻率分辨率。FFT 算法中頻率分辨率和采樣點數(shù)成反比，在采樣頻率不變的前提下，要提高頻率分辨率，就必須增加采樣點數(shù)，但增加采樣點數(shù)就會增加FFT 的計算量。因此，F(xiàn)FT 的頻率分辨率和計算量是相互矛盾的，這也在一定程度上限制了FFT 的應用。

為了解決對窄帶頻譜區(qū)間進行細致觀測的問題，提出了頻譜細化的概念，其基本思路是對信號頻譜中的某一頻段進行局部放大，實現(xiàn)選帶分析。頻譜細化技術(shù)近年來發(fā)展迅速，常見算法有:FFT-FS 算法、ZOOM-FFT(以下簡稱ZFFT)算法和線性調(diào)頻Z 變換(Chirp-Z 變換，以下簡稱CZT)算法。本文主要對上述三種頻譜細化算法的原理進行比較，通過仿真分析總結(jié)各自的應用特點，并從頻率分辨率的角度對三種算法的實質(zhì)進行了分析研究。

1 頻譜細化算法的原理

設采樣序列為x(n)，n =0，1，…，N-1，采樣頻率為fs，需要進行細化的頻帶為f1～f2，對信號進行N 點FFT 變換。因此，

信號初始的頻率分辨率為Δf=fs/N，選帶的中心頻率為f0=(f1+f2)/2，帶寬為fW=f2-f1。

1.1 FFT-FS 頻譜細化原理

序列x(n)的傅立葉系數(shù):

式(1)中，k=0，1，…，N/2。

頻率kΔf 處幅值譜矢量表達式為ak-jbk，即ak和bk分別對應頻譜幅值的實部和虛部。由采樣定理知，序列x(n)中包含著0 ～fs/2 的頻段信息，所以如果用連續(xù)的傅立葉變換對頻譜進行計算，把頻譜曲線看成是連續(xù)的，即把式(1)中的k 看作區(qū)間(0≤k≤N/2)內(nèi)連續(xù)變化的實變量f(0≤f≤fs/2)，則可將式(1)變成:

于是，利用式(2)便可得連續(xù)的頻譜曲線，從而使頻率分辨率不再受采樣點數(shù)N 的限制，f 是一個連續(xù)的頻率。這便是FFT-FS 頻譜細化算法的基本原理［1］。

在實際運用中，在定義域f∈［f1，f2］內(nèi)，直接采用式(2)進行計算，然后根據(jù)所需的頻率分辨率Δf '來設定選頻帶內(nèi)的取樣點數(shù)M，兩者之間的關(guān)系為Δf ' =fW/(M-1)。

1.2 CZT 頻譜細化原理

N 點FFT 計算的頻譜實際上是z 平面單位圓上的N 點等間隔取樣，CZT 計算的則是z 平面螺旋線周線上Z 變換的等間隔取樣，這些取樣在螺旋線的某一部分上按等角度分布。X(z)表示序列x(n)的Z 變換，利用CZT 算法，可以計算下列給定點zk上的X(zk)。

式(3)中A=A0e-jθ0，W=W0e-jφ0，A0和θ0分別表示起始抽樣點z0的矢量半徑長度和相角，W0表示螺旋線的伸展率，φ0表示兩相鄰抽樣點之間的角度差，M 為所要分析復頻譜的抽樣點數(shù)，不一定等于N。按式(3)給定的zk值，經(jīng)過推導，可得X(zk):

令

則

式(7)中，

以上便是CZT 頻譜細化算法的基本原理［2-5］，其計算流程如圖1 所示。

圖1 CZT 的計算流程

在實際運用中，首先根據(jù)所需的頻率分辨率Δf '來設定選頻帶內(nèi)的取樣點數(shù)M，兩者之間的關(guān)系為Δ f ' =fW/(M-1)，然后根據(jù)選頻帶f1～f2確定CZT 的相關(guān)參數(shù)，因為希望得到的是信號的頻譜分析，故應該在單位圓上去實現(xiàn)CZT，所以取A0=W0=1，θ0=2πf1/fs，φ0=2πΔf '/fs，最后根據(jù)圖1的計算流程進行CZT 計算。

1.3 ZFFT 頻譜細化原理

ZFFT 頻譜細化算法的基本原理可歸納為［6-8］:將初始信號與單位復指數(shù)信號exp(-2πnf0/fs)相乘進行復調(diào)制，將實序列變?yōu)閺托蛄?，利用傅里葉變換的移頻性質(zhì)把選頻段的中心頻率移至零頻，再通過低通抗混疊濾波和整數(shù)倍抽取，最后對抽取后的信號做FFT 分析和頻率調(diào)整，便可以得到選頻段的細化頻譜。ZFFT 的計算流程如圖2 所示。

在實際運用中，首先根據(jù)所需的頻率分辨率Δf ＇來設定重采樣的細化倍數(shù)D，兩者之間的關(guān)系為Δf ' = fs/DN =Δf/D，假設要進行N 點FFT 變換，信號的長度為L，則D 的取值范圍應滿足DN≤L;然后根據(jù)選頻帶f1～f2確定低通濾波器的參數(shù)，濾波器的截止頻率fd的取值范圍應滿足fd≤fs/2D;最后再根據(jù)圖2 的計算流程進行計算即可。

圖2 ZFFT 的計算流程

2 仿真算例分析

2.1 仿真算例1

設仿真信號為:x(t)=cos(2π×203t)+cos(2π ×203.9t+π/3)，信號的采樣頻率為1 024 Hz，采樣點數(shù)為1 024 點，頻率分辨率為Δf=1 Hz。分別采用基帶FFT、ZFFT、FFT-FS和CZT 對信號進行分析，分析結(jié)果如圖3 所示。

在由基帶FFT 得到的全景頻譜中，無法分辨出信號中的兩個頻率成分，通過局部放大FFT 頻譜，盡管可以得到兩個極大值，但由于兩頻率成分間隔為0.9 Hz ＜Δf，所以不能確定信號是單頻信號還是多頻信號。通過設定參數(shù)，對頻帶200 ～205 Hz 進行細化，使三種頻譜細化算法的頻率分辨率都為0.1 Hz，三種算法都能看到兩個明顯的峰值，可以確定信號是由兩個頻率構(gòu)成的多頻信號。從而驗證了三種頻譜細化算法的有效性。

圖3 基帶FFT、FFT-FS、CZT 和ZFFT 的分析對比

盡管FFT-FS 與CZT 頻譜細化的算法不同，但是由圖3可以看出兩者的細化結(jié)果非常接近，為了進一步研究，分別對抽樣點M 為11、21 和51，即頻率分辨率分別為0.5 Hz、0.25 Hz 和0.1 Hz 三種情況下對上述仿真信號進行了分析，兩者頻譜幅值絕對誤差的數(shù)量級都為10-13，如圖4 所示。因此，F(xiàn)FT-FS 與CZT 的仿真結(jié)果可以認為是一致的，在下面的仿真中僅以FFT-FS 作為代表進行分析。

當多頻信號中頻率間隔較小時，兩頻率之間會產(chǎn)生干涉現(xiàn)象，上述仿真條件不變，F(xiàn)FT-FS 與ZFFT 的頻率分辨率都為Δf ＇1=0.1 Hz，改變信號兩頻率的大小進行分析。當頻率間隔為5Δf ＇1時，分析結(jié)果如圖5(a)所示，F(xiàn)FT-FS 仍能分辨出兩個頻率，但發(fā)生了峰值漂移，有了相互排斥的現(xiàn)象，幅值衰減達20%;當頻率間隔為2Δf ＇1時，分析結(jié)果如圖5(b)所示，F(xiàn)FT-FS 已經(jīng)不能分辨出兩個頻率，即使增加抽樣點數(shù)M也無濟于事，由于兩頻率的疊加使幅值增加30%;但是在這兩種情況下，ZFFT 都能正確分辨出信號中的兩個頻率，并且頻率和幅值估計值幾乎沒有誤差。盡管兩次仿真的頻率間隔都大于FFT-FS 細化后的頻率分辨率，但是FFT-FS 對于密集多頻信號間的干涉無能為力，不能有效分辨密集多頻信號，而ZFFT 卻可以有效抑制信號間的干涉，高精度地分辨密集多頻信號。

ZFFT 之所以有很高的分辨精度，并能抑制頻率間的干涉，主要是因為進行ZFFT 仿真時，所需的數(shù)據(jù)長度是FFTFS 的D 倍(D 為細化倍數(shù))，它的高分辨率是以增加數(shù)據(jù)長度來實現(xiàn)的。實際上，ZFFT 的性能與對原數(shù)據(jù)做DN 點FFT后，在選頻帶內(nèi)的局部放大的效果相近。

以上的仿真都是在沒有噪聲干擾的情況下進行的，下面將在不同信噪比(SNR)下，對DN 點的FFT、ZFFT、FFT-FS 和CZT 4 種算法的性能及特點進行比較。

圖4 FFT-FS 與CZT 頻譜幅值的絕對誤差

圖5 FFT-FS 與ZFFT 的分析對比圖

2.2 仿真算例2

設仿真信號:x1 = 2cos(2π × 203t + 10π/180)，x2 =cos(2π×203.85t+20π/180)，x3 =2cos(2π ×203.7t +10π/180)，x4 =cos(2π×203.83t+20π/180)

s(n)為加性高斯白噪聲，信號的采樣頻率為1 024 Hz，采樣點數(shù)為1 024 點，初始頻率分辨率為1 Hz，令ZFFT 中的D=20，F(xiàn)FT-FS 和CZT 中的M=51，選頻帶為200 ～205 Hz，從而保證3 種算法細化后的頻率分辨率都為Δf ＇2=0.05 Hz。算例(A-C)分別是在SNR =-10，0，10 三種情況下對信號x1 +x2 +s(n)進行的仿真，算例(D-F)是在SNR =10 的情況下分別對信號x2 +x3 +s(n)、x1 +x4 +s(n)、x4 +s(n)進行的仿真，所有的仿真結(jié)果都是在進行了1 000 次蒙特卡洛仿真后取的平均值，如表1 所示。

1)上述所有情況下的仿真都表明，DN 點的FFT 和ZFFT 的性能是接近的，F(xiàn)FT-FS 和CZT 的性能是接近的，一般情況下可認為彼此是一致的，下面僅以ZFFT 和FFT-FS 兩種方法為代表進行比較;

2)由算例(A-C)可得，隨著SNR 的增加，ZFFT 的性能得到提高，頻率、幅值和相位三者的誤差都變小;FFT-FS 只有相位誤差變小，而頻率和幅值誤差變化不大;盡管隨著SNR 的增加ZFFT 和FFT-FS 的性能都得到一定程度的改善，但改善程度較小，因此，兩種方法的抗噪性都較好;

3)算例(F)是一個單頻信號，而算例(E)比(F)多了一個頻率接近的信號，但仿真結(jié)果顯示FFT-FS 的幅值誤差和相位誤差在(F)中比在(E)都小了一個數(shù)量級，頻率誤差也小了一倍，性能得到明顯提高;而ZFFT 性能變化不大。說明了FFT-FS 比較適合于單頻信號的頻譜細化，否則精度將受到影響;

4)算例(D)與(C)相比，只是縮小了兩頻率間的頻率間隔，但FFT-FS 的頻率、幅值和相位誤差分別為10Δf ＇2，43.2893%和24.560 1 度，信號已經(jīng)完全失真，而ZFFT 的性能卻幾乎沒有受到任何影響。證明了FFT-FS 不適用于頻率間隔較小的密集多頻信號，而ZFFT 卻可以有效抑制頻率間的干涉;

5)算例(D)和(E)相比，只是其中一個信號的頻率成分由203.85 Hz 改為了203.83 Hz，但仿真結(jié)果顯示ZFFT 在(E)中的幅值誤差達25%，相位誤差近75 度，信號完全失真;算例(F)中對頻率為203.83 Hz 的單頻信號進行分析，ZFFT 在(F)中的誤差和(E)接近，并沒有得到改善。這主要是由于203.85 Hz 是整周期采樣(Δf ＇2=0.05Hz)，而203.83 Hz 不是整周期采樣。因此，ZFFT 僅適用于整周期采樣的信號，其估計精度較高，對非整周期采樣的信號分析其復制和相位就會完全失真，算例(F)也說明即使是對單頻非整周期采樣信號也無能為力。比較而言，F(xiàn)FT-FS 對于信號是否是整周期采樣影響不大。

表1 各種頻譜細化方法的性能比較

3 頻譜細化算法的本質(zhì)分析

頻譜細化算法之所以能夠?qū)x頻段的頻譜進行細化，根本原因在于頻率分辨率的提高，下面從頻率分辨率的含義入手，對頻譜細化算法的本質(zhì)就行分析。

文獻［3］對頻率分辨率進行了較詳細的闡述，給出了物理分辨率Δfp=fs/L 和計算分辨率Δfc=fs/N 兩個概念，其中fs為采樣頻率，L 為信號長度，N 為FFT 的變換點數(shù)。計算分辨率是靠計算得出的，它并不能反映真實信號的頻率分辨能力，而真正反映信號頻率分辨能力的是物理分辨率，在采樣頻率不變的前提下，要提高信號的分辨能力，只能通過增加數(shù)據(jù)的實際長度來實現(xiàn)。

FFT-FS 和CZT 頻譜細化算法本質(zhì)上是相同的。就是在不增加數(shù)據(jù)長度的前提下，用不同的數(shù)學處理方式在選頻帶內(nèi)通過插值，增加FFT 的變換點數(shù)，從而提高信號的計算分辨率，實現(xiàn)對局部頻段的細化，但不能提高物理分辨率，因而不能改善信號的頻率分辨能力。

ZFFT 頻譜細化算法通過濾波重采樣使采樣頻率fs降低D 倍，因而物理分辨率變?yōu)閒s/DL，進而提高頻率分辨能力，但該過程隱含的條件是對原始數(shù)據(jù)長度增加D 倍后進行的重采樣，實際數(shù)據(jù)長度為DL，信號最初的物理分辨率也為fs/DL。因此，ZFFT 并不能提高信號的物理分辨率，它只是在假定信號長度為L 不變的錯誤前提下，通過一系列數(shù)學變換使得選頻帶內(nèi)物理分辨率貌似從fs/L 提高到了fs/DL，得到了提高頻率分辨能力的假象，而信號的物理分辨率在整個過程中并沒有改變，通過ZFFT 得到的改善頻率分辨能力的結(jié)果，并不是通過ZFFT 算法實現(xiàn)的，根本原因在于信號數(shù)據(jù)長度的增加。ZFFT 的實際效果和對信號直接進行DN 點FFT變換是一致的。綜上可得，ZFFT 本質(zhì)上并不能真正實現(xiàn)頻譜細化，它只是一種節(jié)省運算量的快速算法。

4 結(jié)論

介紹了當前三種頻譜細化算法的原理，通過大量的仿真對各種算法的特點進行研究，最后通過頻率分辨率的概念對各種算法的本質(zhì)進行了分析。

1)ZFFT 和DN 點FFT 變換是一致的，它并不能真正實現(xiàn)頻譜細化，它只是一種節(jié)省運算量的快速算法。ZFFT 可以改善信號的頻率分辨能力，但以增加數(shù)據(jù)長度為代價。ZFFT 對整周期采樣信號進行分析，在SNR=-10 dB 的情況下，頻率誤差為0，幅值誤差約為4%，相位誤差小于3 度;但對于非整周期采樣，即使在SNR=10 dB 的情況下，幅值誤差達25%，相位誤差近75 度。因此，ZFFT 僅適用于整周期采樣的信號分析，精度較高。

2)FFT-FS 和CZT 在本質(zhì)上是一致的，靈活性較好，可以對選頻帶進行任意倍數(shù)的細化，不受信號長度的影響，但不能改善信號的頻率分辨能力，不適用于密集信號的分析。在SNR=10 dB 的情況下，當頻率間隔為3Δfc 時，頻率誤差為10Δfc，幅值誤差約為45%，相位誤差大于20°。FFT-FS 對單頻信號分析精度較高，對多頻信號分析，頻率和相位誤差都較大，不如ZFFT 效果好。但FFT-FS 的估計精度不受信號是否為整周期采樣的影響，適用范圍更廣。

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