華玲玲 楊 陽

（1華北科技學(xué)院 基礎(chǔ)部，北京 101601）

（2華北科技學(xué)院 計(jì)算機(jī)系，北京 101601）

1 引言

光柵衍射是大學(xué)物理課程中比較復(fù)雜的問題，也是學(xué)生不易理解的問題.首先，計(jì)算光柵衍射的光強(qiáng)分布需利用菲涅耳-惠更斯原理［1］對(duì)復(fù)函數(shù)積分，通常很難得到解析解.由于菲涅耳衍射積分的復(fù)雜性，在目前的大學(xué)物理教材中，通常都是直接從原理上解釋光柵衍射是由單縫衍射與多縫干涉共同作用的結(jié)果，然后直接給出光強(qiáng)分布公式，這難免使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中似懂非懂.其次，由于受光柵常數(shù)d、總縫數(shù)N、透光縫寬a、入射光波長λ、透鏡焦距f、入射方向等多種因素的影響，光柵衍射譜線特征變化豐富.傳統(tǒng)的光學(xué)演示實(shí)驗(yàn)對(duì)實(shí)驗(yàn)環(huán)境要求苛刻，很難引入課堂教學(xué)，而且也難以充分展示光柵衍射所有譜線特征.因此如何讓學(xué)生充分地理解光柵衍射原理又能直觀地觀察譜線特征成為了教學(xué)的難點(diǎn).

本文提出一種依據(jù)惠更斯-菲涅耳原理，用實(shí)函數(shù)積分直接導(dǎo)出光柵衍射在光屏上任一點(diǎn)的合振動(dòng)的表達(dá)式以及光強(qiáng)分布函數(shù)的方法，無須采用復(fù)函數(shù)，也無須采用矢量合成法［2］.同時(shí)，利用Matlab提供的圖形用戶界面（GUI）來設(shè)計(jì)光柵衍射仿真界面.此方法構(gòu)建的仿真平臺(tái)具有界面友好、操作簡單、可擴(kuò)展性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，用戶不需要懂得Matlab語言，只要點(diǎn)擊相應(yīng)按鈕，改變相應(yīng)參數(shù)，就可直觀、形象地展示光柵衍射過程.對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，總結(jié)實(shí)驗(yàn)規(guī)律，輔助教學(xué)等有顯著效果.

2 理論分析

2.1 光柵衍射光強(qiáng)計(jì)算

衍射現(xiàn)象通常分為兩類：菲涅耳衍射（近場衍射）和夫瑯禾費(fèi)衍射（遠(yuǎn)場衍射）.本文以夫瑯禾費(fèi)透射光柵為例，實(shí)驗(yàn)光路見圖1.設(shè)透射光柵有N條狹縫，透光部分寬度為a，不透光部分寬度為b，光柵常數(shù)為d＝a＋b，θ為衍射角，f為透鏡焦距.

圖1 夫瑯禾費(fèi)光柵衍射光路圖

光柵衍射光強(qiáng)可以用惠更斯-菲涅耳原理來進(jìn)行定量計(jì)算［3］.第一個(gè)單縫的計(jì)算如圖2所示，其他單縫的計(jì)算與此相似.

圖2 第一個(gè)單縫的計(jì)算用圖

為了便于利用惠更斯-菲涅耳原理來具體計(jì)算P點(diǎn)的光振動(dòng)表達(dá)式，我們將單縫A1A2之間的波陣面（面積為al的長方形平面）分割成一個(gè)個(gè)與單縫上邊平行的橫條形面元，其中任一個(gè)面元與A1端的距離為x，寬度為dx，面積為dS＝ldx，該面元到P點(diǎn)的光程為

其中，r表示波陣面A1C上各點(diǎn)到P點(diǎn)的光程，從該面元上發(fā)射的子波在P點(diǎn)的振幅可以表示為

其中，A0是單位面積的振幅.按照惠更斯-菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表示式，從第一個(gè)單縫發(fā)射的次波在P點(diǎn)的合振動(dòng)為如下積分

其他單縫發(fā)射的次波在P點(diǎn)的合振動(dòng)與此積分相似，只是積分的上下限不同.光柵衍射在P點(diǎn)的合振動(dòng)為N個(gè)分段積分之和，即

對(duì)于任一個(gè)單縫，設(shè)其起點(diǎn)的x坐標(biāo)為B1、終點(diǎn)的x坐標(biāo)為B2，（B2-B1＝a），可導(dǎo)出如下積分公式

將式（4）代入式（3）得到

其中VN是N個(gè)等振幅等相位差的簡諧振動(dòng)的合成.依據(jù)合成公式，有

其中φ是合振動(dòng)的初相位，與光強(qiáng)分布無關(guān).故得到光柵衍射在P點(diǎn)的合振動(dòng)的振幅為

式中，Ⅰ0為入射光強(qiáng)，通常稱為單縫衍射因子為多縫干涉因子.

2.2 條紋缺級(jí)現(xiàn)象

由公式（8）可知，光柵衍射的強(qiáng)度分布受到單縫衍射因子和多縫干涉因子的共同作用.當(dāng)多光束干涉主極大的位置恰與單縫衍射的零點(diǎn)重合時(shí)，該級(jí)主極大消失，這種現(xiàn)象稱為缺級(jí).

光柵干涉主極大

單縫衍射極小

當(dāng)θ角位置同時(shí)滿足式（9）、（10）時(shí)，可將這一位置看成是光強(qiáng)度為零“干涉加強(qiáng)”.即本應(yīng)出現(xiàn)某k級(jí)明條紋的位置，實(shí)際上卻是暗條紋，k級(jí)明條紋不出現(xiàn).缺級(jí)條件如下：

3 光柵衍射Matlab仿真

本仿真實(shí)驗(yàn)利用Matlab語言編寫源程序?qū)崿F(xiàn).Matlab是具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算與可視化功能的軟件，利用該軟件實(shí)現(xiàn)光學(xué)實(shí)驗(yàn)可視化形象教學(xué)的案例［5］已有很多.與這些案例相比，本文所實(shí)現(xiàn)的仿真實(shí)驗(yàn)更突出了知識(shí)的綜合性與操作的便捷性.本文利用Matlab提供的圖形用戶界面［6］（GUI）來設(shè)計(jì)光柵衍射仿真界面，即通過圖形用戶界面把程序封裝起來，讓學(xué)生不用直接面對(duì)枯燥的程序代碼就可以實(shí)現(xiàn)各種仿真的操作.

3.1 圖形用戶界面設(shè)計(jì)

在Matlab命令窗口鍵入guide命令，得到如圖3所示的設(shè)計(jì)窗口，其中右側(cè)的窗口區(qū)域就是要設(shè)計(jì)窗口的雛形.在該界面的右側(cè)工具欄中，提供了各種各樣的控件，單擊鼠標(biāo)左鍵選中其中一個(gè)控件，這樣就可以在左側(cè)的雛形窗口中繪制出這個(gè)控件，并可以通過拖動(dòng)網(wǎng)格區(qū)域的右下角來改變窗口和控件的大小.

圖3 GUI窗口界面

用上述方法在雛形窗口中繪制出各種控件，實(shí)現(xiàn)所需圖形用戶界面的設(shè)計(jì)，各個(gè)控件的擺放如圖4所示.文本框用于標(biāo)注相應(yīng)控件的提示，編輯框用于獲得系統(tǒng)的參數(shù)，按鈕用于執(zhí)行由回調(diào)字符串所定義的動(dòng)作，坐標(biāo)軸用來顯示光強(qiáng)分布和仿真條紋.雙擊各個(gè)控件，設(shè)置控件的屬性.比如設(shè)置各控件的標(biāo)志（Tag），標(biāo)簽文字（String），顏色（Color），字體（Fontsize）等.

圖4 界面設(shè)計(jì)

3.2 編寫 M函數(shù)

點(diǎn)擊工具欄中的運(yùn)行界面按鈕，可自動(dòng)生成M文件.在原有程序的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)代碼，關(guān)鍵是初始界面函數(shù)（OpeningFcn）和控件的回調(diào)函數(shù)（Callback）代碼的設(shè)計(jì).初始界面函數(shù)即設(shè)定各參數(shù)的初始值，可根據(jù)實(shí)際情況設(shè)定.回調(diào)函數(shù)是核心，是對(duì)界面控件觸發(fā)時(shí)的事件響應(yīng)函數(shù).光學(xué)實(shí)驗(yàn)仿真界面“運(yùn)行”控件的回調(diào)函數(shù)設(shè)計(jì)流程如圖5所示.

3.3 光柵衍射仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

保存設(shè)計(jì)后“運(yùn)行”控件的回調(diào)函數(shù)的代碼，在界面上的相應(yīng)編輯框輸入?yún)?shù)，點(diǎn)擊OK控件調(diào)用其Callback函數(shù)，可得到光柵衍射實(shí)驗(yàn)仿真設(shè)計(jì)結(jié)果.當(dāng)輸入?yún)?shù)分別為λ＝600×10-9m，a＝2×10-6m，f＝0.64m，d＝3a（m），N＝4時(shí)，仿真結(jié)果如圖6所示.

圖5 “運(yùn)行”控件的回調(diào)函數(shù)設(shè)計(jì)流程

圖6 光柵衍射仿真實(shí)驗(yàn)

輸入新的參數(shù)后，可點(diǎn)擊“重置”控件刪除圖像，重新點(diǎn)擊OK控件可得到更新后的圖像.結(jié)束時(shí)，點(diǎn)擊CLOSE控件調(diào)用其Callback函數(shù)，結(jié)束程序關(guān)閉圖形.此方法構(gòu)建的仿真平臺(tái)具有界面友好、操作簡單、可擴(kuò)展性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，用戶不需要懂得Matlab語言，只要點(diǎn)擊相應(yīng)按鈕，改變相應(yīng)參數(shù)，就可直觀、形象地展示光柵衍射過程.

4 仿真結(jié)果分析

本仿真實(shí)驗(yàn)在設(shè)計(jì)時(shí)將單縫衍射、多縫干涉和光柵衍射放在同一個(gè)界面，有利于對(duì)比學(xué)習(xí).通過控制界面右側(cè)的參數(shù)，既可以同時(shí)觀察三個(gè)實(shí)驗(yàn)的光強(qiáng)和條紋變化特征，又可以通過對(duì)比觀察，對(duì)光柵衍射條紋的產(chǎn)生機(jī)理有更深刻的理解，即通過光柵不同縫的光要發(fā)生干涉，而每個(gè)單縫又都有衍射，所以光柵衍射條紋應(yīng)是同一單縫衍射因子調(diào)制下的N條縫的干涉條紋.

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過本仿真實(shí)驗(yàn)得到了光柵衍射分布有如下特點(diǎn)：① 多縫干涉圖樣與單縫衍射圖樣相比，出現(xiàn)了一系列新的強(qiáng)度最大值和最小值，其中那些較強(qiáng)的亮線叫主極大，較弱的亮線叫次極大；② 相鄰主極大之間有N-1條暗紋（極小）和N-2條次極大，但因?yàn)榇螛O大相比主極大來說強(qiáng)度很小，所以和暗紋連成一片形成暗區(qū)；③ 光強(qiáng)分布中都保留了單縫衍射的痕跡，即曲線的包絡(luò)（外部輪廓）與單縫衍射強(qiáng)度曲線的形狀一致.

5個(gè)參數(shù)的變化對(duì)光柵的衍射條紋、相對(duì)光強(qiáng)分布的影響，如表1所示，此結(jié)果與理論分析結(jié)果是一致的.

表1 參數(shù)變化對(duì)條紋的影響

4.2 觀察缺級(jí)現(xiàn)象

缺級(jí)現(xiàn)象是光柵衍射所特有的現(xiàn)象，通常的光學(xué)實(shí)驗(yàn)很難觀察到這一現(xiàn)象.本仿真實(shí)驗(yàn)通過改變d／a的比值，可清楚演示缺級(jí)現(xiàn)象.比如，令光柵總縫數(shù)N＝4，d／a＝3時(shí)，得到仿真結(jié)果如圖7所示，這與理論分析得到的缺級(jí)出現(xiàn)在±3，±6，…結(jié)果一致.

4.3 干涉和衍射仿真比較

點(diǎn)擊圖6中“干涉和衍射比較”控件，可得子界面，如圖8所示.當(dāng)令光柵縫數(shù)N＝2時(shí)，可以比較雙縫衍射和雙縫干涉實(shí)驗(yàn)結(jié)果.楊氏雙縫干涉的條紋是明暗相間的等間距等光強(qiáng)的條紋，而雙縫衍射的條紋雖然也是等間距，但隨著級(jí)數(shù)增大光強(qiáng)將減弱.理論分析表明，在楊氏雙縫干涉中，認(rèn)為a?λ，單縫衍射因子的影響可以忽略，光柵衍射變?yōu)槎喙馐缮?在實(shí)際的楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，因?yàn)橥腹饪p寬a不可能做到無限窄，干涉和衍射同時(shí)存在，因此，實(shí)際實(shí)驗(yàn)觀察到的現(xiàn)象其實(shí)是雙縫衍射的結(jié)果.

圖7 N＝4，d／a＝3時(shí)光柵缺級(jí)現(xiàn)象

圖8 楊氏雙縫干涉和光柵衍射比較

由此可見，光的干涉和衍射本質(zhì)上是統(tǒng)一的，實(shí)際上都是光波的疊加，但在形成條件、分布規(guī)律以及數(shù)學(xué)處理方法上略有不同.

5 結(jié)論

光柵衍射是大學(xué)物理教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn).本文介紹了一種依據(jù)惠更斯-菲涅耳原理用實(shí)函數(shù)積分直接導(dǎo)出光柵衍射光強(qiáng)分布函數(shù)的方法，無須采用復(fù)函數(shù)，也無須采用矢量合成法.同時(shí)，利用Matlab提供的圖形用戶界面（GUI）設(shè)計(jì)了光柵衍射仿真界面，不僅可以逼真地顯示干涉和衍射的圖像，而且解決了真實(shí)的光學(xué)實(shí)驗(yàn)因環(huán)境限制而不能進(jìn)入課堂的難題.通過改變相應(yīng)參數(shù)不僅可以觀察光柵衍射豐富的譜線變化特征，而且還可模擬單縫衍射、雙縫衍射、雙縫干涉、多縫干涉等多種實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，實(shí)現(xiàn)了一個(gè)程序仿真多個(gè)實(shí)驗(yàn)，有利于相互參照對(duì)比，加深對(duì)衍射和干涉原理的理解.用同樣的方法還可以模擬其他光學(xué)現(xiàn)象以及電磁學(xué)、力學(xué)、熱學(xué)等現(xiàn)象，因此在物理教學(xué)中具有重要的意義.

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