朱 峰，楊曉鋮

(西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都610031)

0 引言

“電磁場(chǎng)”是電氣工程等專業(yè)的技術(shù)基礎(chǔ)課程。從經(jīng)典論著到現(xiàn)有的典型教科書［1～2］，關(guān)于內(nèi)自感和內(nèi)磁鏈的表述，往往讓人難以理解。例如取電流大小為I 的長(zhǎng)直通載流體的一段，可以利用安培環(huán)路定理得出磁場(chǎng)為

式中，ρ 表示為磁場(chǎng)路徑所包圍的圓半徑，I'表示磁場(chǎng)路徑所包圍的電流強(qiáng)度，J 表示導(dǎo)線中電流密度，R 為導(dǎo)線半徑。

則整個(gè)導(dǎo)線的內(nèi)磁通為

按照一般教科書的表述［2～3］，可得內(nèi)磁鏈與電流的交鏈微元為

根據(jù)Li=ψi/I，可得L 長(zhǎng)度的通電載流體的內(nèi)自感系數(shù)為

圖1 內(nèi)磁通、內(nèi)磁鏈?zhǔn)疽鈭D

上述推算中存在一個(gè)問(wèn)題，即由此得到的自感系數(shù)比直接用式(2)計(jì)算內(nèi)磁通所得的內(nèi)自感系數(shù)相比減小了一半。雖然文獻(xiàn)［3］用場(chǎng)能的方法得出了上式的正確性，但仍然不能夠物理上給出合理的解釋。文獻(xiàn)［4］談及了此問(wèn)題的復(fù)雜性，并用平均值法進(jìn)行了分析，相當(dāng)于加權(quán)平均，但很難理解問(wèn)題的本質(zhì)。筆者認(rèn)為有必要從本質(zhì)上理解必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推導(dǎo)和論證。

按照法拉第電磁感應(yīng)定律，當(dāng)電流看成環(huán)“線”，即忽略電流的橫截面積時(shí)，可直接利用磁通計(jì)算電感。例如，若環(huán)的外磁通為e，則外自感為

若以磁鏈的角度看問(wèn)題，每一根磁力線由于由閉合面內(nèi)傳出，在外形成閉合線，完全包圍了電流，故式(3)中的I'/I 一定為1，即

此時(shí)，磁鏈與磁通數(shù)值是相等的，這正是人們理解法拉第電磁感應(yīng)定律的基礎(chǔ)，由此而得到的自感系數(shù)一般被稱為外自感Le;當(dāng)載流體的橫截面積不能忽略時(shí)，由式(5)結(jié)果憑空產(chǎn)生的1/2 因子確實(shí)無(wú)法利用法拉第電磁感應(yīng)定律解釋，故本文將利用能量守恒定律對(duì)式(5)進(jìn)行理論分析，文獻(xiàn)［5 －6］用過(guò)類似的方法計(jì)算自感系數(shù)。

2 橫截面積不可忽略時(shí)的分析

下面對(duì)橫截面積不可忽略時(shí)載流回路的交鏈進(jìn)行分析:本文利用微元法將載流體中的電流看成由橫截面無(wú)窮小的一根根“線”載流閉合回流構(gòu)成，該“線”電流大小為δIi，穿過(guò)δIi構(gòu)成的閉合回路磁通為i，如圖2所示。如圖則有

圖2 無(wú)限長(zhǎng)閉合回路之有限段

可見(jiàn)，對(duì)于連續(xù)載流體，電感量只是一個(gè)等效量，描述的是宏觀因素將外部能量轉(zhuǎn)變?yōu)榇艌?chǎng)能量的能力，所以也稱為感抗。本文研究的是載流體回路的一部分，磁通量即所對(duì)應(yīng)的總磁通，包括內(nèi)外磁通兩個(gè)部分:①內(nèi)磁通i:該電流微元構(gòu)成的閉合環(huán)路所包圍的磁通，即圖中所示由ρ 到R;②外磁通e:電流所在導(dǎo)體的外邊緣構(gòu)成的閉合環(huán)路所包圍的磁通，即外磁通。

而本文針對(duì)的是內(nèi)自感，故僅考慮內(nèi)磁通，如圖所示電流微元所包圍的內(nèi)磁通的大小為

另外，以指向紙里為正參考方向時(shí)，根據(jù)

可知在導(dǎo)線中半徑為ρ 處的任何一個(gè)電流微元所包圍的內(nèi)磁通均是相等的?，F(xiàn)假設(shè)長(zhǎng)直載流體構(gòu)成的回路在無(wú)窮遠(yuǎn)處，忽略兩邊電流的耦合，故可對(duì)長(zhǎng)度為L(zhǎng)，電流大小為I 的因內(nèi)自感存在而具有的場(chǎng)能進(jìn)行如下計(jì)算。

式中，J=I/πR2?？傻秒娏髋c內(nèi)磁通的交鏈ψi以及內(nèi)自感Li為

由此我們得出了與式(5)相同的結(jié)論。通過(guò)以上證明可以看出，內(nèi)自感不能單純從自感本身意義去理解，而是等效概念，只能從能量角度去理解。

3 結(jié)論的一般性證明

以上證明是對(duì)長(zhǎng)直載流體中磁回路包圍電流環(huán)路與電流環(huán)路包圍磁回路兩種計(jì)算方法的等效，對(duì)于任意閉合線圈的證明如下。假設(shè)線圈無(wú)限長(zhǎng)、無(wú)限寬，各處電流不存在耦合。

1)電流環(huán)路包圍磁通角度

如圖3所示，設(shè)環(huán)虛線Γ 處的線電流微元的大小為dI，電流的橫截面大小為S'，穿過(guò)虛線Γ 的磁通包括內(nèi)磁通i 與外磁通e 兩部分組成，對(duì)應(yīng)的面積分別為S1與S2。

圖3 電流環(huán)示意圖

電流環(huán)路的內(nèi)磁通為

導(dǎo)線因電流內(nèi)自感所具有的能量為

其中，dS'表示在線電流微元dI 處所取面積微元，則dI 可以表示為該處電流密度與面元的乘積。

2)磁通包圍電流微元

至此，我們由式(14)和式(15)完成了兩種不同分析方法的等效推證。

4 結(jié)語(yǔ)

本文深入剖析了內(nèi)自感的兩種分析方法的等效性，結(jié)論表明，通過(guò)法拉第電磁感應(yīng)定律和能量守恒定律才能在真正意義上理解內(nèi)自感，而內(nèi)自感也只是一個(gè)等效量。本研究對(duì)于理解磁場(chǎng)能量的物理過(guò)程以及內(nèi)自感的本質(zhì)是大有裨益的。

［1］ J. A. Stratton. Electromagnetic Theory. ［M］. McGraw-Hill BOOK COMPANY，1941. 264 ～268.

［2］ Robert R. G. Yang. Electromagnetic Fields and Waves. ［M］.First Edition，Beijing:Higher Education Press. 2006. 185 ～189.

［3］ 馮慈璋. 電磁場(chǎng). (第二版).［M］. 北京:高等教育出版社.1980. 150 ～168.

［4］ 張之翔.電磁學(xué)教學(xué)札記. (第一版).［M］.北京:高等教育出版社. 1987. 59 ～162.

［5］ 江巨浪.有橫截面積的導(dǎo)體的自感系數(shù)［J］.安慶:安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2000，Vol.6

［6］ 閆偉，劉福平. 導(dǎo)體的內(nèi)自感［J］. 曲阜:曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào).1994，Vol.20