葉曉峰，王騰飛，胡媛媛，王 蒙

（華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，江西南昌330013）

算子在加權(quán)Lebesgue空間Lp(w)有界問(wèn)題可以追溯到1972年Muckenhoupt在1972年文[1]中對(duì)Har?dy-Littlewood極大算子的討論。文中提出了Ap權(quán)的概念，由此順利解決了極大算子的加權(quán)有界性，并且使得加權(quán)理論如今成為調(diào)和分析的主要分支之一。2009年，Komori和Shirai在文[2]中首次提出了加權(quán)Mor?rey空間的概念，他們?cè)谖闹杏懻摿藰O大算子以及Calderón-Zygmund奇異積分算子、分?jǐn)?shù)次積分算子及其交換子在加權(quán)Morrey空間中的有界性。最近出現(xiàn)了很多這方面的結(jié)果，具體參見(jiàn)文獻(xiàn)[3-8]。另外加權(quán)Morrey空間在偏微分方程中的應(yīng)用，也得到了相應(yīng)的推廣，詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)[9]。

奇異積分算子尤其是Calderón-Zygmund奇異積分算子在各種函數(shù)空間中的有界性的討論是當(dāng)代調(diào)和分析研究的主要問(wèn)題。1952年，Calderón和Zygmund將這一算子推廣到了Rn上，他們運(yùn)用實(shí)變方法解決了算子在Lebesgue空間Lp(Rn)的有界性問(wèn)題從而使調(diào)和分析在高維空間中有了新的發(fā)展。1985年，Yabuta在文[10]中首次提出了θ型奇異積分算子，并得到了Lp有界性， 1＜p＜∞。最近文[11]討論了θ型奇異積分算子Lipschitz有界性的一個(gè)等價(jià)條件。另一方面，Hyt?nen在文[12]得到了θ型Calderón-Zygmund奇異積分算子在加權(quán)Lebesgue空間中的L2(w)有界性，并指出其最優(yōu)上界為C(n，T，2)[w]A2。

2 定理及其證明

首先，我們來(lái)介紹加權(quán)Morrey空間的定義

定義1設(shè)1＜p＜∞，0＜κ＜1，w是權(quán)函數(shù)，對(duì)于Rn中的局部可積函數(shù)f(x)若滿足，則稱f(x)屬于加權(quán)Morrey空間，并記其范數(shù)為

注意到當(dāng)κ=0時(shí)，Lp，0(w)=Lp(w)是對(duì)經(jīng)典的加權(quán)Lebesgue空間的推廣。下面給出Ap權(quán)的如下定義

定義2設(shè)1＜p＜∞，若存在常數(shù)C≥1使得對(duì)于任意的正方體Q有

為了介紹θ型Calderón-Zygmund奇異積分算子，先給出連續(xù)模的定義。

定義3設(shè)θ(0)=0，稱θ:[0，∞)→[0，∞)是一個(gè)連續(xù)模，若θ是次可加的，即θ(t+u)≤θ(t)+θ(u)，并且單調(diào)遞增。

從而可以定義θ型Calderón-Zygmund奇異積分算子為

定義4設(shè)θ(t)滿足Dini條件，T是帶有核K(x，y)且L2(Rn)有界的線性算子，滿足：

2）對(duì)于任意的 ||x-y＞2 ||x-x'＞0有

則K稱為θ型Calderón-Zygmund核，稱為θ型Calderón-Zygmund奇異積分算子。

因此，得到本文主要定理：

定理1設(shè)1＜p＜∞，w∈Ap，θ是連續(xù)模，并且T是θ型Calderón-Zygmund奇異積分算子，則T是Lp，κ(w)→Lp，κ(w)有界的。

為了證明該定理，需要如下引理。

引理1設(shè)w∈A2，函數(shù)θ是連續(xù)模，T是帶有核K(x，y)的θ型Calderón-Zygmund奇異積分算子，則有

根據(jù)上面的結(jié)果，我們就可以通過(guò)外推法得到T的Lp(w)有界性，因此有必要介紹這一重要的定理，其證明可參考文獻(xiàn)[13-14]。

引理2設(shè)T是次線性算子，滿足存在p0:1＜p0＜∞使得對(duì)于任意的w∈Ap0有，則對(duì)任意的p:1＜p＜∞以及w∈Ap有

3 定理的證明

證明在方體3Q上考慮算子T的分解

其中：χ3Q和χ(3Q)c為特征函數(shù)。

由引理1和引理2有

至于I2，取Rn中的范數(shù)為：，設(shè)Q的邊長(zhǎng)為l，x0為Q的中心，由幾何關(guān)系知，對(duì)于任意的x∈Q以及y∈(3Q)c有。估計(jì)

對(duì)于任意的p＞1，取p0使得1＜p0＜p。由于存在，且，使得

從而由H?lder不等式、Ap權(quán)定義有

結(jié)合前面I1的部分，從而有

因此結(jié)論成立。

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