韓學(xué)輝,郭俊鑫,李峰弼,楊 龍,唐 俊

(1.中國石油大學(xué)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,山東青島 266580；2.新疆油田實(shí)驗(yàn)檢測研究院,新疆克拉瑪依 834000)

基于CCT模型的基底式膠結(jié)疏松砂巖聲波速度修正模型

韓學(xué)輝1,郭俊鑫1,李峰弼1,楊 龍2,唐 俊1

(1.中國石油大學(xué)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,山東青島 266580；2.新疆油田實(shí)驗(yàn)檢測研究院,新疆克拉瑪依 834000)

針對CCT(contact cement theory)模型中膠結(jié)物中心厚度為0的假設(shè)與基底式膠結(jié)疏松砂巖的地質(zhì)特征不符合的問題,重新推導(dǎo)得到基底式膠結(jié)疏松砂巖的膠結(jié)半徑表達(dá)式,給出基于CCT模型的基底式膠結(jié)疏松砂巖聲波速度修正模型及其統(tǒng)計(jì)近似式,并將人造基底式膠結(jié)疏松砂巖的縱、橫波速度的修正模型及近似式預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)測量值進(jìn)行比較。結(jié)果表明:利用新推導(dǎo)的膠結(jié)半徑表達(dá)式修正的CCT模型可應(yīng)用于基底式膠結(jié)的疏松砂巖；修正模型統(tǒng)計(jì)近似式有效地提高了計(jì)算效率；修正模型及其近似式相對原CCT模型能夠更好地預(yù)測基底式膠結(jié)的疏松砂巖聲波速度。

孔隙介質(zhì)聲學(xué)；聲波速度模型；CCT模型；膠結(jié)物中心厚度；基底式膠結(jié)疏松砂巖；模型統(tǒng)計(jì)近似

聲波測井和地震勘探作為重要的勘探手段,用于準(zhǔn)確求取孔隙度等地質(zhì)參數(shù)的前提是建立適用的聲波速度模型。當(dāng)前,疏松砂巖聲波速度模型主要分為兩大類。第一類針對非固結(jié)疏松砂巖,此類砂巖基本無膠結(jié)作用,主要靠巖石周圍的壓力將巖石顆粒聚合在一起,其主要模型有:Herz-Mindlin模型、Brandt模型、Digby模型和HMHS模型等[1-9]。第二類模型主要針對具有弱膠結(jié)作用的疏松砂巖,此類疏松砂巖膠結(jié)物模量通常很小(通常為泥質(zhì)膠結(jié)),膠結(jié)作用弱,同時(shí)其埋藏一般較淺,受壓實(shí)作用較弱,導(dǎo)致其巖石較為疏松,其對應(yīng)模型主要有CCT (contact cement theory)模型、恒量膠結(jié)模型等[5,10-15]。第一類模型種類較多,且在非固結(jié)疏松砂巖儲(chǔ)層中取得了較好的應(yīng)用[5],而第二類模型種類較少,且應(yīng)用范圍有很大局限性。例如:CCT只適用于孔隙式膠結(jié)的疏松砂巖[10],恒量膠結(jié)模型針對的是分布有分散顆粒的孔隙式膠結(jié)疏松砂巖儲(chǔ)層[12]。除了孔隙式膠結(jié),弱膠結(jié)的疏松砂巖中普遍存在著基底式膠結(jié),由于基底式膠結(jié)為雜基支撐,而孔隙式膠結(jié)為顆粒支撐[14],兩者支撐類型不同,其聲波傳播規(guī)律也不同。筆者在CCT模型的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步考慮膠結(jié)物中心厚度對疏松砂巖聲波速度的影響,通過修正膠結(jié)半徑表達(dá)式獲得基底式膠結(jié)疏松砂巖聲波速度模型和統(tǒng)計(jì)近似式,并考察其應(yīng)用效果。

1 CCT模型及其不足

Jack Dvorkin等[10]提出的CCT模型中考察了疏松砂巖的彈性特性和聲波速度。模型使用的顆粒與膠結(jié)物之間的接觸模型如圖1所示。圖1中,作用在顆粒上的力為F,顆粒半徑為R,顆粒的接觸處有膠結(jié)物分布,且接觸面積為圓形,半徑為a,膠結(jié)物的中心厚度為h,體積為V。

圖1 顆粒與膠結(jié)物之間的接觸模型Fig.1 Contact model between grain and cement

通過兩個(gè)砂巖顆粒以及膠結(jié)物之間的力學(xué)關(guān)系可得出法向接觸剛度Sn和切向接觸剛度Sτ的表達(dá)式:

式中,Gc為膠結(jié)物剪切模量；vc為膠結(jié)物的泊松比； kn和kτ分別正比于作用在顆粒上的法向力和切向力；Hn(t)和Hτ(t)分別為膠結(jié)物的法向和切向壓縮量；Δn和Δτ分別表示力所引起的顆粒的法向和切向壓縮量；ε為膠結(jié)物中心厚度h與顆粒半徑的比值(歸一化的膠結(jié)物中心厚度)；α為膠結(jié)半徑與顆粒半徑的比值(歸一化的膠結(jié)半徑)。

利用式(1)并結(jié)合等效介質(zhì)模型[2,16-18],可得疏松砂巖的體積模量Keff和剪切模量Geff:

式中,n為每個(gè)顆粒周圍與之接觸的顆粒數(shù)；φ0為臨界孔隙度。

式(1)中考慮了膠結(jié)物中心厚度h的影響,只要獲知?dú)w一化膠結(jié)半徑α的表達(dá)式,就可由式(1)、(2)求取顆粒直接接觸(孔隙式膠結(jié))和顆粒不直接接觸(基底式膠結(jié))兩種膠結(jié)模式下的疏松砂巖彈性模量和聲波速度。Jack Dvorkin等在假設(shè)“膠結(jié)物中心厚度為0”的前提下,對膠結(jié)物僅分布在顆粒接觸處(分布方式1)或均勻分布在顆粒的周圍(分布方式2)兩種分布形式推導(dǎo)出α的表達(dá)式[5]:

式中,φ為疏松砂巖孔隙度。

由于式(3)、(4)均是在h為0的假設(shè)前提下得到的,僅適用于顆粒直接接觸的孔隙式膠結(jié)疏松砂巖,對于基底式膠結(jié)的疏松砂巖,由于顆粒之間基本無直接接觸,即h不為0,所以無法用CCT模型準(zhǔn)確得到基底式膠結(jié)疏松砂巖的聲波速度。

2 CCT模型的修正

2.1 基底式膠結(jié)疏松砂巖模型

對于基底式膠結(jié)疏松砂巖,假設(shè)疏松砂巖由球狀顆粒堆積而成,膠結(jié)物中心厚度h不為0,顆粒之間無直接接觸,其膠結(jié)物存在兩種分布形式,其模型可用圖2中的(a)和(b)表示。

圖2中,球狀顆粒半徑為R,球狀巖石半徑為R1。根據(jù)圖2所示模型,可對原CCT模型中膠結(jié)半徑表達(dá)式進(jìn)行修正,推導(dǎo)考慮膠結(jié)物中心厚度的歸一化膠結(jié)半徑表達(dá)式,使改進(jìn)后的模型能夠應(yīng)用于基底式膠結(jié)的疏松砂巖。

圖2 基底式膠結(jié)疏松砂巖模型Fig.2 Models of basal cemented loose sandstone

2.2 歸一化膠結(jié)半徑α表達(dá)式修正

2.2.1 膠結(jié)物分布方式1

由圖1可得膠結(jié)物體積V的表達(dá)式如下:

由式(5)可知,單個(gè)顆粒上膠結(jié)物的體積為

式中,n為每個(gè)顆粒周圍的顆粒數(shù)。

設(shè)圖2(a)巖石中顆?？倲?shù)為m,則整個(gè)巖石的總的膠結(jié)物體積為

巖石的總體積為

巖石中的顆粒所占體積為

由臨界孔隙度[19-20]的定義可知,V3與V4存在如下關(guān)系:

式中,φ0表示巖石的臨界孔隙度。由式(8),(9),(10)可得

由式(7)、(8)、(11)可得膠結(jié)物在巖石中的體積分?jǐn)?shù)為

設(shè)巖石孔隙度為φ,則有

聯(lián)立式(12)和(13),可得

通過求解式(14)可得

若取ε=0,則式(15)可表示為

式(16)與式(3)相同,式(3)為膠結(jié)物中心厚度為0時(shí)式(15)的一個(gè)特例。

2.2.2 膠結(jié)物分布方式2

如圖2(b)所示,若膠結(jié)物均勻分布在顆粒上,則巖石顆粒上膠結(jié)物的厚度為

故巖石中膠結(jié)物的體積為

由式(8)、(11)、(18)可得膠結(jié)物在巖石中的體積分?jǐn)?shù)為

根據(jù)孔隙度與臨界孔隙度的定義有

聯(lián)立式(19)和(20),通過整理可得

由α＜1可知,α6?α4?α2,故可忽略α6和α4,由此可得歸一化膠結(jié)半徑如下:

式(22)與式(4)相同,說明膠結(jié)物中心厚度對第二種膠結(jié)物分布方式下的歸一化膠結(jié)半徑影響可以忽略。

在得到修正后的歸一化膠結(jié)半徑表達(dá)式(15)和(22)后,結(jié)合式(1)和(2)便可求取基底式膠結(jié)下(一般為泥質(zhì)膠結(jié))的疏松砂巖彈性模量和聲波速度。由于CCT模型的限制(膠結(jié)半徑不宜過大)[10],改進(jìn)模型適用性與CCT模型類似,主要受孔隙度控制。結(jié)合CCT模型適用范圍[11,21],并通過對改進(jìn)模型應(yīng)用效果進(jìn)行測試,認(rèn)為對于第一種分布方式的基底式膠結(jié)疏松砂巖,改進(jìn)模型的最佳應(yīng)用范圍為孔隙度大于25%,對于第二種分布方式的基底式膠結(jié)疏松砂巖,改進(jìn)模型的最佳應(yīng)用范圍為孔隙度大于15%。

3 改進(jìn)模型的統(tǒng)計(jì)近似式

利用改進(jìn)后的CCT模型求取基底式膠結(jié)的疏松砂巖的彈性模量,需要利用數(shù)值解法求解式(1)中的-kn/Δn和-kτ/Δτ[10],其編程復(fù)雜,計(jì)算速度慢,實(shí)際應(yīng)用困難。為了提高模型的計(jì)算速度,需要對模型進(jìn)行近似,在保證計(jì)算精度的前提下提高模型的計(jì)算效率。利用數(shù)值計(jì)算的結(jié)果,對其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)回歸分析,可得

在統(tǒng)計(jì)回歸范圍內(nèi),理論計(jì)算結(jié)果和統(tǒng)計(jì)近似式計(jì)算結(jié)果的相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.98以上,計(jì)算誤差小于3%(圖3)。

圖3 理論計(jì)算結(jié)果與近似式計(jì)算結(jié)果對比Fig.3 Comparison of theoretical results and approximation results

上述統(tǒng)計(jì)范圍對于一般疏松砂巖儲(chǔ)層都是適用的。故在改進(jìn)模型適用的孔隙度范圍內(nèi),都可利用式(23),并結(jié)合式(1)和(2),快速求出基底式膠結(jié)疏松砂巖的彈性模量和聲波速度。

4 模型應(yīng)用實(shí)例

為了考察修正模型的預(yù)測精度,制作了18 塊基底式膠結(jié)(第二種分布方式)的人造砂巖,圖4 為其中一塊巖樣的鑄體薄片(藍(lán)色為鑄體)。其中,砂巖骨架顆粒選為石英,體積模量為38 GPa,剪切模量44 GPa,密度2.65g/ cm3；膠結(jié)物為環(huán)氧樹脂和高嶺石的混合物,體積模量為2.24 GPa,剪切模量為1.57 GPa,密度1.38 g/cm3；根據(jù)砂巖顆粒體積(可由砂巖顆?？傎|(zhì)量和密度求出)及巖樣的總體積,求得巖心臨界孔隙度為40%；膠結(jié)物含量為臨界孔隙度與巖心孔隙度的差值；每個(gè)顆粒周圍的顆粒數(shù)約為8. 5；通過對鑄體薄片的測量得歸一化膠結(jié)物中心厚度約為0.03。

圖4 人造疏松砂巖鑄體薄片F(xiàn)ig.4 Thin section of man-made loose core sample

該批人工巖樣雖然孔隙度較小(平均孔隙度20%),但是膠結(jié)物模量很低,顆粒之間基本無直接接觸(由鑄體薄片可看出),導(dǎo)致巖石整體模量很小,測量的聲波速度很低(表1、表2),符合疏松砂巖的特點(diǎn),屬于基底式膠結(jié)的疏松砂巖。由于人工巖樣的最小孔隙度為14.7%,符合改進(jìn)模型的應(yīng)用條件,可利用改進(jìn)模型及其近似式進(jìn)行速度預(yù)測。巖樣聲波速度的測量使用中國石油大學(xué)(華東)研究制造的聲波多參數(shù)測量儀,儀器參數(shù)如下:縱/橫波晶片頻率為1.2 MHz/0.6 MHz,探頭縱/橫波頻率為0.25 MHz/0.12 MHz,縱/橫波探頭各自由多個(gè)晶片組合而成?？v波速度測量相對不確定度小于0.5%,橫波速度測量相對不確定度小于1%[22]。為保證試驗(yàn)精度,在常溫常壓下對試驗(yàn)樣品進(jìn)行了三次重復(fù)測量。試驗(yàn)測量結(jié)果與CCT模型、修正后的CCT模型以及修正模型的近似公式的縱、橫波速度預(yù)測結(jié)果如表1和表2所示。

表1 縱波試驗(yàn)測量值與模型預(yù)測值對比結(jié)果Table 1 Comparison of compressional wave velocities measured by experiments and those predicted by models

由表1和表2可得,利用CCT模型預(yù)測的縱波速度平均高出試驗(yàn)測量值27%以上,橫波速度平均高出試驗(yàn)測量值33%以上。這是因?yàn)樵寄Ｐ图僭O(shè)的是顆粒之間直接接觸,而實(shí)際巖樣中顆粒無直接接觸,導(dǎo)致原始模型估計(jì)的巖石模量過大,速度過高。而利用修正模型預(yù)測速度,考慮了膠結(jié)物中心厚度對砂巖模量的影響,可以得到更準(zhǔn)確的預(yù)測值。利用修正模型及其近似模型預(yù)測的縱波速度與試驗(yàn)結(jié)果比較表明,其偏差在10%以內(nèi),而橫波速度預(yù)測值與試驗(yàn)結(jié)果偏差在12%以內(nèi)。由此可見,較CCT模型,改進(jìn)后的模型能夠更好地預(yù)測基底式膠結(jié)的疏松砂巖的聲波速度。同時(shí),改進(jìn)模型近似式預(yù)測精度與改進(jìn)模型基本相當(dāng),說明改進(jìn)模型近似式是改進(jìn)模型的良好近似。

表2 橫波試驗(yàn)測量值與模型預(yù)測值對比結(jié)果Table 2 Comparison of shear wave velocities measured by experiments and those predicted by models

5 結(jié) 論

(1)當(dāng)膠結(jié)物僅分布在顆粒之間時(shí),CCT模型中的膠結(jié)半徑表達(dá)式是一般表達(dá)式在膠結(jié)物中心厚度為0下的特例；當(dāng)膠結(jié)物均勻分布在顆粒的周圍,膠結(jié)物中心厚度對歸一化膠結(jié)半徑的影響可以忽略,表達(dá)式與CCT模型相同。應(yīng)用膠結(jié)半徑的一般表達(dá)式,可將CCT模型應(yīng)用范圍擴(kuò)展到基底式膠結(jié)的疏松砂巖。

(2)改進(jìn)后的模型與原模型類似,需要通過數(shù)值方法求解積分方程求得疏松砂巖模量,過程復(fù)雜,計(jì)算效率低,實(shí)際應(yīng)用困難,通過統(tǒng)計(jì)近似得到了理論模型的統(tǒng)計(jì)近似模型,由其相關(guān)系數(shù)和誤差可知統(tǒng)計(jì)模型是理論模型的良好近似,故可在基本不降低計(jì)算精度的前提下,有效提高計(jì)算效率。

(3)對于基底式膠結(jié)疏松砂巖,由于基底式膠結(jié)疏松砂巖的膠結(jié)物中心厚度不為0,利用不考慮膠結(jié)物中心厚度的CCT模型將導(dǎo)致過大的速度和模量預(yù)測,而使用膠結(jié)半徑一般表達(dá)式修正的CCT模型及其近似式相對CCT模型能夠更好地預(yù)測基底式膠結(jié)的疏松砂巖聲波速度。

[1] MINDLIN R D.Compliance of elastic bodies in contact [J].Journal of Applied Mechanics,1949,17:259-268.

[2] WALTON K.The effective elastic moduli of a random packing of spheres[J].Mech Phys Solids,1987,35: 213-226.

[3] DIGBY P J.The effective elastic moduli of porous granular rocks[J].Appl Mech,1981,48:803-808.

[4] BRANDT H.A study of the speed of sound in porous granular media[J].Appl Mech,1955,22:479-486.

[5] DVORKIN J,NUR A.Elasticity of high-porosity sandstones:theory for two North Sea data sets[J].Geophysics,1996,61(5):1363-1370.

[6] BAHRAMI M,YOVANOVICH M M,CULHAM J R.A compact model for spherical rough contacts[J].Journal of Tribology,2005,127:884-889.

[7] 劉瑜,夏唐代.砂土顆粒粗糙度對剪切波速影響的試驗(yàn)研究[J].巖土工程學(xué)報(bào),2011,33(2):285-290.

LIU Yu,XIA Tang-dai.Experimental study on influence of particle roughness on shear wave velocity of sand[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2011,33 (2):285-290.

[8] 夏唐代,劉瑜,吳明,等.基于顆粒接觸理論的深層砂土剪切波速度[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2011,43 (4):99-103.

XIA Tang-dai,LIU Yu,WU Ming,et al.Shear wave velocity in deep buried sand based on spheres-contact theory [J].Journal of Harbin Institute of Technology,2011,43 (4):99-103.

[9] 鄧?yán)^新,韓德華,王尚旭.應(yīng)力松弛對顆粒物質(zhì)彈性性質(zhì)的影響及等效介質(zhì)模型校正研究[J].地球物理學(xué)報(bào),2011,54(4):1079-1089.

DENG Ji-xin,HAN De-hua,WANG Shang-xu.A study of the influence of stress relaxation on the elastic properties of granular materials and the calibration of effective media model[J].Chinese J Geophys,2011,54(4): 1079-1089.

[10] DVORKIN J,NUR A,YIN H Z.Effective properties of cemented granular materials[J].Mechanics of Materials,1994,18:351-366.

[11] DVORKIN J,BERRYMAN J,NUR A.Elastic moduli of cemented sphere packs[J].Mechanics of Materials, 1999,31:461-469.

[12] AVSETH P.Combining rock physics and sedimentology for seismic reservoir characterization of North Sea turbidite systems[D].Stanford:Stanford University,2000.

[13] 宋麗莉,葛洪魁,王寶善.疏松砂巖彈性波速模型的研究[J].石油大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,28(6): 38-40.

SONG Li-li,GE Hong-kui,WANG Bao-shan.Study of model for elastic wave velocity of unconsolidated sandstone[J].Journal of the University of Petroleum,China (Edition of Natural Science),2004,28(6):38-40.

[14] 姜在興.沉積學(xué)[M].北京:石油工業(yè)出版社,2003.

[15] DVORKIN J,YIN H Z.Contact laws for cemented grains:implications for grain and cement failure[J]. International Journal of Solids and Structures,1995,32 (17):2497-2510.

[16] WINKLER K W.Contact stiffness in granular and porous materials:comparison between theory and experiment[J].Geophysical Research Letters,1983,10: 1073-1076.

[17] 陳颙,黃庭芳.巖石物理學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2001.

[18] 葛瑞·馬沃可,塔潘·木克基,杰克德沃金.巖石物理手冊:孔隙介質(zhì)中地震分析工具[M].徐海濱,戴建春,譯.合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2008.

[19] NUR A.Critical porosity and the seismic velocities in rocks[J].Eos,Trans Am Geophys Union,1992,73: 43-66.

[20] 郭繼亮,牛濱華,孫春巖,等.基于臨界孔隙度模型的地震波傳播[J].地球物理學(xué)報(bào),2012,55(11):3813-3820.

GUO Ji-liang,NIU Bing-hua,SUN Chun-yan,et al. Seismic wave propagation based on critical porosity model[J].Chinese J Geophys,2012,55(11):3813-3820.

[21] AVSETH P,SKJEI N.Rock physics modeling of static and dynamic reservoir properties-a heuristic approach for cemented sandstone reservoirs[J].The Leading Edge, 2011,30(1):90-96.

[22] 韓學(xué)輝,李來林,楊龍,等.塔南凝灰質(zhì)火山碎屑巖儲(chǔ)層巖石物理試驗(yàn)研究[J].中國石油大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,36(3):69-75.

HAN Xue-hui,LI Lai-lin,YANG Long,et al.Petrophysical experimental research in Tanan tuffaceous pyroclastic rock reservoir[J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science),2012,36(3): 69-75.

(編輯 修榮榮)

Modified acoustic velocity model for basal cemented loose sandstone based on contact cement theory

HAN Xue-hui1,GUO Jun-xin1,LI Feng-bi1,YANG Long2,TANG Jun1
(1.School of Geosciences in China University of Petroleum,Qingdao 266580,China；
2.Research Institute of Experiment and Detection,Xinjiang Oilfield Company,Karamay 834000,China)

A modified acoustic velocity model and its approximation for basal cemented loose sandstone were proposed based on contact cement theory(CCT)model which was used for the pore basal cemented loose sandstone.The thickness of the cement layer?s center is set to be zero in the CCT model,which contradicts with characters of the basal cemented loose sandstone.To solve this problem,the expression of cementation radius of the basal cemented loose sandstone was re-derived considering the effect of the thickness of the cement layer?s center.Thus,the modified acoustic velocity model was developed and its approximation was then given.The man-made basal cemented loose sandstone samples were used to test the modified model and its approximation.The results show that the newly derived cementation radius expression is better than the original one.With the new expression,CCT model can be applied in the basal cemented loose sandstone.The approximation can improve the calculation efficiency effectively.The modified model and its approximation can predict both compressional and shear wave velocities better than the original CCT model.

porosity medium acoustics；acoustic velocity models；contact cement theory(CCT)model；thickness of cement layer?s center；basal cemented loose sandstone；approximation of model

P 584

A

1673-5005(2013)04-0076-07

10.3969/j.issn.1673-5005.2013.04.011

2013-01-20

國家油氣專項(xiàng)(2011ZX05009-003)；山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(Y2008E08)

韓學(xué)輝(1974-),男,副教授,博士,研究方向?yàn)閮?chǔ)層巖石物理。E-mail:hxhlogging@yahoo.com.cn。