韓國(guó)有，徐恒斌，宋玉杰，陳德海

（東北石油大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江大慶 163318）＊

單螺桿泵與其他人工舉升設(shè)備相比具有很多的優(yōu)點(diǎn)，例如投資少、設(shè)備結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、操作方便、節(jié)能效果明顯以及適應(yīng)性強(qiáng)等。隨著國(guó)內(nèi)外各大油田開發(fā)進(jìn)程的日益加快，油田開發(fā)的難度不斷增加，部分油井呈現(xiàn)含水量高、含砂多等特點(diǎn)。單螺桿泵憑借其所特有的優(yōu)越性能，在油田的應(yīng)用數(shù)量呈明顯上升趨勢(shì)，并有望成為油田主要的機(jī)采方式之一。

但是，單螺桿泵在國(guó)內(nèi)外油田的使用過程中也受到了諸多條件的限制，例如排量、揚(yáng)程、工作溫度、應(yīng)用條件和管理經(jīng)驗(yàn)等方面的限制，這些局限性嚴(yán)重制約著螺桿泵采油技術(shù)的推廣和普及。

為此筆者結(jié)合文獻(xiàn)［1］，在對(duì)短幅內(nèi)擺線型采油用單螺桿泵轉(zhuǎn)子和定子線型進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，對(duì)其排量進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，得出了螺桿泵中定子螺距、定子橡膠外徑和定子橡膠的最小壁厚（雙邊）之間的最佳匹配關(guān)系。

1 線型分析

螺桿泵轉(zhuǎn)子和定子的線型有很多種，本文僅討論短幅內(nèi)擺線的線型，即定子線型是短幅內(nèi)擺線等距曲線，而轉(zhuǎn)子線型則是由定子線型按外滾法運(yùn)動(dòng)所得的內(nèi)包絡(luò)線（比定子曲線少1頭）［2－5］。

1.1 定子骨線方程

半徑為R2的圓沿半徑為R1的圓做相對(duì)純滾動(dòng)，則R2圓平面上任意點(diǎn)M 在R1圓平面上的軌跡稱為擺線。如圖1所示，該任意點(diǎn)M 稱為發(fā)生點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn)，R2圓稱為滾圓，R1圓稱為導(dǎo)圓。發(fā)生點(diǎn)到滾圓圓心的距離稱為動(dòng)點(diǎn)距，常用d 表示，導(dǎo)圓圓心到滾圓圓心的距離O1O2稱為中心距。變幅系數(shù)K＝d／R2，R1／R2＝N，N為自然數(shù)，即周期為N，等效動(dòng)點(diǎn)為1。M 點(diǎn)的軌跡必為N 頭單循環(huán)內(nèi)擺線。

圖1 內(nèi)擺線的形成

以導(dǎo)圓滾角θ為參量，當(dāng)形成θ時(shí)，通過矢量關(guān)系推導(dǎo)可得內(nèi)擺線的復(fù)矢量方程為

上式中n＝N－1，0≤θ≤2π，0＜K＜1，括號(hào)內(nèi)的部分反映內(nèi)擺線的形狀特征，R2反映尺寸的影響。當(dāng)R2取不同值時(shí)，可得到一族相似的內(nèi)擺線，若令

它是R2＝1時(shí)的內(nèi)擺線，稱為單位擺線，借助單位擺線可使分析問題和運(yùn)算簡(jiǎn)化。

1.2 轉(zhuǎn)子骨線方程

轉(zhuǎn)子骨線的形成原理如圖2所示，以半徑為（NK）的圓作動(dòng)瞬心圓，攜帶R0（θ）沿定瞬心圓（nK）外側(cè)作純滾動(dòng)。它相當(dāng)于定子骨線R0（θ）繞自身形心O2做自傳，自轉(zhuǎn)角為φ／n，同時(shí)自身形心O2繞定坐標(biāo)系O1作半徑為偏心距E的公轉(zhuǎn)，其公轉(zhuǎn)角為Nφ／n。

圖2 定子骨線的運(yùn)動(dòng)

則定子骨線運(yùn)動(dòng)的復(fù)矢量方程為

2 優(yōu)化設(shè)計(jì)

目前，采油用單螺桿泵的最大排量＜400m3／d，這就導(dǎo)致其在對(duì)排量要求較高的大儲(chǔ)量油田中的使用受到限制。因此，本文利用拉格朗日乘數(shù)法對(duì)采油用單螺桿泵的排量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，確定螺桿泵中定子螺距、定子橡膠外徑和定子橡膠的最小壁厚（雙邊）之間的最佳關(guān)系。

2.1 設(shè)計(jì)變量

本著用最少的設(shè)計(jì)變量反映最主要的特性，同時(shí)考慮各變量間相互獨(dú)立的原則，本文選取了螺桿泵定子橡膠外徑Dp和定子螺距ph為設(shè)計(jì)變量。記為X，即

2.2 目標(biāo)函數(shù)

螺桿泵的排量表達(dá)式為［6］

式中：i為定轉(zhuǎn)子頭數(shù)比；ph為定子螺距，mm；Dp為定子橡膠外徑，mm；th為定子橡膠的最小壁厚（雙邊），mm；ω為轉(zhuǎn)子角速度，rad／min。

當(dāng)忽略二次流動(dòng)時(shí)，采油單螺桿泵傳送的流體介質(zhì)中1個(gè)流體粒子的流動(dòng)速度表達(dá)式為［3］

式中：n為轉(zhuǎn)子頭數(shù)。

下面以短幅內(nèi)擺線型采油用單螺桿泵轉(zhuǎn)子和定子的骨線方程為優(yōu)化問題的幾何描述，用拉格朗日乘數(shù)法求式（4）在約束條件式（5）下的極值，進(jìn)而對(duì)螺桿泵的排量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，得出螺桿泵中定子螺距、定子橡膠外徑和定子橡膠的最小壁厚（雙邊）之間的最佳關(guān)系。

拉格朗日函數(shù)表達(dá)式為

式中：λ稱為拉格朗日常數(shù)。

式（6）就是對(duì)采油單螺桿泵的排量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)。

2.3 設(shè)計(jì)計(jì)算

對(duì)式（6）中Dp、ph求偏導(dǎo)數(shù)，并且令其等于零。得

由式（7）可以得到λ的表達(dá)式為

將式（9）代入式（8）并簡(jiǎn)化可得

式（10）即為螺桿泵中定子螺距與定子橡膠外徑及定子橡膠的最小壁厚（雙邊）之間的最佳關(guān)系式。

式（10）經(jīng)過變形可得

式（11）反映了th／ph與Dp／ph之間的函數(shù)關(guān)系，繪制成曲線如圖3所示。由圖3可以看出：th／ph與Dp／ph之間呈線性關(guān)系，且當(dāng)Dp／ph取值為0.45時(shí)，th／ph等于0；只有當(dāng)Dp／ph之比取值大于0.45時(shí)，th／ph才能大于零。即只有當(dāng)采油用單螺桿泵中定子橡膠外徑與定子螺距之比＞0.45時(shí)，采油用單螺桿泵才具有現(xiàn)實(shí)意義。

圖3 th／ph與Dp／ph關(guān)系曲線

2.4 螺旋角優(yōu)化設(shè)計(jì)

定子螺旋角的計(jì)算公式為

式中：Dh為定子橡膠內(nèi)徑（如圖4所示），mm。

圖4 定子橫截面示意

將式（13）代入式（10）可得

將式（14）代入式（12）可得

即定子的最優(yōu)螺旋角等于35.26°。

3 結(jié)果分析

將式（10）代入式（4）并簡(jiǎn)化，可得到采油用單螺桿泵排量的優(yōu)化設(shè)計(jì)表達(dá)式為

假設(shè)Dh和ω是常量，則排量與定轉(zhuǎn)子頭數(shù)比的關(guān)系曲線如圖5所示。排量與轉(zhuǎn)子頭數(shù)的關(guān)系曲線如圖6所示。

圖5 定子和轉(zhuǎn)子頭數(shù)比與排量關(guān)系曲線

圖6 轉(zhuǎn)子頭數(shù)與排量的關(guān)系曲線

由圖5～6可以看出：在定子的直徑Dh和轉(zhuǎn)子的角速度ω保持不變的情況下，隨著螺桿泵的頭數(shù)比i的取值逐漸增大，螺桿泵的排量Q 呈現(xiàn)逐漸上升的趨勢(shì)，且上升的趨勢(shì)逐漸加快；隨著采油單螺桿泵的轉(zhuǎn)子頭數(shù)的取值逐漸增大，螺桿泵的排量Q 也呈現(xiàn)逐漸上升的趨勢(shì)，但上升的趨勢(shì)逐漸減慢。因此，轉(zhuǎn)子頭數(shù)的取值并不是越大越好，筆者認(rèn)為在6左右為最佳。

4 結(jié)論

1）采用拉格朗日乘數(shù)法對(duì)采油用單螺桿泵的排量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，得出了采油用單螺桿泵的定子螺距、定子橡膠外徑和定子橡膠的最小壁厚（雙邊）之間的最佳關(guān)系。

2）在確定采油用單螺桿泵的定子螺距、定子橡膠外徑和定子橡膠的最小壁厚（雙邊）之間的最佳關(guān)系的基礎(chǔ)上，得出了定子的最優(yōu)螺旋角是35.26°。并且得到了采油用單螺桿泵排量的優(yōu)化設(shè)計(jì)表達(dá)式。

3）得出了采油用單螺桿泵的排量與定轉(zhuǎn)子頭數(shù)比及轉(zhuǎn)子頭數(shù)之間的關(guān)系曲線。表明轉(zhuǎn)子頭數(shù)的取值并不是越大越好，認(rèn)為轉(zhuǎn)子頭數(shù)取6左右為最佳。

［1］Robello Samuel G，Ken J Saveth.Optimal design of Progressing Cavity Pumps［J］.Journal of Energy Resources Technology，2006，128（4）：275－278.

［2］韓國(guó)有，宋玉杰，杜秀華，等.采油螺桿泵舉升性能檢測(cè)技術(shù)［M］.哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)出版社，2011.

［3］杜秀華，任斌，韓國(guó)有.雙頭單螺桿泵的線型設(shè)計(jì)及虛擬建模［J］.石油礦場(chǎng)機(jī)械，2007，36（1）：33－35.

［4］宋玉杰.單螺桿泵螺桿－襯套副型線研究［D］.大慶：大慶石油學(xué)院，2008.

［5］韓國(guó)有，姜長(zhǎng)鑫，杜秀華.普通內(nèi)擺線型雙頭螺桿泵的建模及運(yùn)動(dòng)仿真［J］.石油礦場(chǎng)機(jī)械，2011，40（1）：1－4.

［6］Robello Samuel G.Mathematical Modeling and Design Analysis of the Power Section of a Positive Displacement Motor（PDM）［D］.University of Tulsa，1997.