王玉文，金家善，陳硯橋，魏曙寰

(海軍工程大學(xué)動力工程學(xué)院，湖北武漢430033)

最小平均等待時間約束下的備件庫存優(yōu)化模型

王玉文，金家善，陳硯橋，魏曙寰

(海軍工程大學(xué)動力工程學(xué)院，湖北武漢430033)

應(yīng)用裝備平均等待備件時間與備件的延期交貨量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，構(gòu)建以裝備平均等待備件時間為約束條件的庫存優(yōu)化模型。然后運(yùn)用邊際效應(yīng)分析方法描述了備件庫存優(yōu)化流程。最后以算例的形式，對備件庫存量進(jìn)行預(yù)測，驗證優(yōu)化模型的可信性。

平均等待備件時間;延期交貨量;邊際效應(yīng);優(yōu)化

0 引言

備件數(shù)量的確定是裝備綜合保障的一個重要組成部分，它直接決定裝備的戰(zhàn)備完好和任務(wù)的持續(xù)能力。制定科學(xué)的備件存儲模型，確定合理的備件儲備數(shù)量，既能滿足裝備的使用要求，又能大幅度降低備件的全壽命周期費用。為了確定可更換部件最優(yōu)的儲備數(shù)量，需要建立備件數(shù)量與系統(tǒng)性能的關(guān)聯(lián)關(guān)系。目前，國內(nèi)外對備件庫存模型作了大量研究。文獻(xiàn)［1－3］研究了備件保障概率約束下的備件數(shù)量模型。文獻(xiàn)［4］論述了以裝備可用度為約束條件的備件庫存優(yōu)化算法。但是，這些模型并沒有建立裝備因等待備件而導(dǎo)致的停機(jī)時間與備件庫存量之間的關(guān)系。

在影響裝備可用度的3種主要停機(jī)時間要素中，等待備件所造成的停機(jī)時間已經(jīng)超過了修復(fù)性維修停機(jī)時間和預(yù)防性維修停機(jī)時間［5］。因此，非常有必要對裝備等待備件的時間加以約束。本文以費用作為優(yōu)化目標(biāo)，選取裝備的平均等待備件時間作為約束條件。針對壽命分布服從指數(shù)分布的備件，運(yùn)用邊際效應(yīng)分析方法，計算裝備系統(tǒng)中不同類型備件最優(yōu)的儲備數(shù)量。

1 模型約束條件

在一個供貨周期內(nèi)，裝備對某種類型備件產(chǎn)生的需求量超過該種備件的庫存數(shù)量和已修復(fù)的備件數(shù)量之和時，超出的備件需求得不到滿足就會導(dǎo)致延期交貨。考慮到只有存在延期交貨，才會出現(xiàn)裝備等待備件的情況，因此平均等待備件的時間和備件的延期交貨量有直接關(guān)系。要想得到平均等待備件的時間，必須首先計算備件的延期交貨量。備件的延期交貨量是指當(dāng)裝備產(chǎn)生備件需求時，沒有被立即滿足的備件的數(shù)量，而這些備件需求要等待一段時間后才能被滿足。

備件的延期交貨量EBO的計算公式為

式中：p(x)為部件有x個單元處于維修(再供應(yīng))過程的穩(wěn)態(tài)概率;s為備件的庫存數(shù)量。

當(dāng)備件的故障間隔時間服從指數(shù)分布且其均值為常數(shù)時，則備件的壽命分布服從均值為λt的泊松分布，可由下式表示：

式中：λ為備件需求率;t為備件周轉(zhuǎn)時間。將式(2)代入式(1)，可得：

平均等待備件的時間T就等于備件延期交貨量與備件需求率的比值，可由下式表示［6］：

若裝備系統(tǒng)由n種不同類型的備件構(gòu)成，則由式(4)可得系統(tǒng)中第i種備件在庫存量為si時平均等待備件時間Ti(si)的計算公式為

式中：si為系統(tǒng)中第i種備件的庫存數(shù)量;λi為第i種備件的需求率;EBOi(si)為第i種備件在庫存數(shù)量為si時的延期交貨量。

裝備平均等待備件時間T的計算公式為［6］：

式中：SDTi(si)表示編號為i的備件平均等待時間。

2 備件庫存數(shù)學(xué)模型

選取費用作為優(yōu)化目標(biāo)，在保證裝備系統(tǒng)平均等待備件時間低于某一固定值Tm的前提下，使系統(tǒng)級的備件費用最低。數(shù)學(xué)規(guī)劃公式如下：

式中ci為系統(tǒng)中第i種備件的單價。

3 邊際效應(yīng)分析方法

邊際效應(yīng)分析是一種漸進(jìn)的優(yōu)化算法，用于分配短缺資源來獲取最大的效益。在設(shè)定的約束條件下依次進(jìn)行迭代，直到滿足系統(tǒng)最終的目標(biāo)值為止。邊際效應(yīng)分析方法的思想就是，每種備件的數(shù)量每次只增加1個，比較增加哪種備件所帶來的優(yōu)化效益與該備件費用的比值最大，即購買該備件的效費比最高。用邊際效應(yīng)分析方法求解本問題的步驟如下：

1)確定裝備系統(tǒng)中備件的品種和最初的儲備數(shù)量，初始的控制變量si(i=1，2，…，n)的值全部設(shè)置為0。

2)確定需要調(diào)整的控制變量，尋找最大的邊際效應(yīng)ΔPi(si)/ci，其計算公式為：

3)分別計算n類備件的ΔPi(si)/ci的值，將最大值對應(yīng)的備件數(shù)量加1。

4)根據(jù)所有備件的庫存量si，計算相應(yīng)的備件延期交貨量，進(jìn)而計算系統(tǒng)的平均等待備件時間，若小于等于目標(biāo)值Tm，則迭代完成，否則，進(jìn)入步驟2繼續(xù)迭代。

用邊際效應(yīng)分析所建立的數(shù)學(xué)模型流程圖如圖1所示。

圖1 邊際效應(yīng)分析流程圖Fig.1 Margin utility analysis flow chart

4 實例分析

某裝備系統(tǒng)由 LRU1，LRU2，LRU3，LRU4，LRU5，LRU6和LRU7共7種類型的備件構(gòu)成，備件的各項參數(shù)如表1所示。

表1 備件相關(guān)數(shù)據(jù)Tab.1 Relative data of the spare parts

運(yùn)用邊際效應(yīng)分析方法對備件的庫存數(shù)量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，分析過程如表2所示。在進(jìn)行了28輪迭代 之 后， LRU1， LRU2， LRU3， LRU4， LRU5，LRU6和LRU7的庫存數(shù)量分別為4，4，3，6，3，5，3，計算得到的系統(tǒng)平均等待備件時間為0.902天，小于設(shè)定值1天。

通過邊際效應(yīng)分析方法，由備件的需求率、周轉(zhuǎn)時間和單價等已知信息，在裝備最小平均等待備件時間的約束下，確定了不同種類的備件各自的庫存量。

表2 邊際效應(yīng)分析過程數(shù)據(jù)表Tab.2 Margin utility analysis of process data sheet

5 結(jié)語

本文分析了裝備平均等待備件時間與備件的庫存量和備件需求率之間的函數(shù)關(guān)系，構(gòu)建了以裝備平均等待備件時間為約束的庫存優(yōu)化模型，并運(yùn)用邊際效應(yīng)分析方法對備件的庫存量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，具有重要指導(dǎo)意義。本文沒有考慮裝備因等待備件而導(dǎo)致的停機(jī)所造成的損失，在今后的工作中會做進(jìn)一步研究。

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An optimization model for inventory sapares under the minimum average time for waiting spares

WANG Yu-wen，JIN Jia-shan，CHEN Yan-qiao，WEI Shu-huan
(Power Engineering College，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)

It expounds the mathematical relationship between the minimum average time for waiting spares and the expected number of backorders in this article．Then，the inventory optimization model is created under the minimum average time for waiting spares of the equipment．Then，optimization approach of spares inventory is described with margin analysis．Finally，predict the number of spares inventory through particular case applying，validate the credibility of the optimization model．

minimum average time for waiting spares;expected number of backorders;margin utility;optimization

TP391．9

A

1672－7649(2013)12－0132－03

10.3404/j.issn.1672－7649.2013.12.027

2013－03－28;

2013－05－08

王玉文(1991－)，男，碩士研究生，研究方向為艦船綜合保障工程。