殷慰萍

(首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100048)

0 引 言

本文是數(shù)值解探討(二)，引言與(一)相同，為方便讀者依然保留，看過(一)的讀者可以直接跳過引言．?dāng)?shù)值解法屬于計(jì)算機(jī)科學(xué)范疇的一個(gè)研究方向，本文用多復(fù)分析的方法來進(jìn)行研究，因而本文是計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)科學(xué)的交叉，或者說是數(shù)值計(jì)算與多復(fù)分析的交叉．

由于在一些領(lǐng)域，如:微分幾何、變分法、最優(yōu)化問題及傳輸問題等中的重要作用，近年來，經(jīng)典的蒙日－安培方程及蒙日－安培型方程成為一個(gè)新的研究熱點(diǎn)．丘成桐認(rèn)為復(fù)蒙日－安培算子，是微分幾何中5個(gè)重要的微分算子之一．他的最有影響且最重要的工作，例如，卡拉比猜測(cè)的證明以及負(fù)定第一陳類的緊Kaehler流形上Kaehler－Einstein度量的存在性，都各自等價(jià)于一類復(fù)蒙日－安培(Monge－Amp è re)方程的可解性．因此研究蒙日－安培方程是相當(dāng)重要的．莫毅明，丘成桐和鄭紹遠(yuǎn)在上世紀(jì)80年代初期證明了在高維的復(fù)數(shù)空間Cn中的任何有界的擬凸域D存在唯一的完備Kaehler－Einstein度量［1，2］．事實(shí)上他們證明了如下復(fù)蒙日－安培方程Dirichlet問題的多重強(qiáng)次調(diào)和函數(shù)解g的存在和唯一性．

此處的多重強(qiáng)次調(diào)和函數(shù)解g生成了域D如下的完備Kaehler－Einstein度量:

多重次調(diào)和函數(shù)g稱為多重強(qiáng)次調(diào)和函數(shù)是g要滿足如下條件:

由于蒙日－安培方程是完全非線性的，其求解一直是一個(gè)困難的問題．上面提到的丘成桐等人的工作也是僅僅證明了相應(yīng)問題的解的存在性．他們從未給出解的表達(dá)式來，這比之于存在性的證明更為困難，因?yàn)閺氖挛⒎址匠萄芯抗ぷ鞯亩贾澜獾木唧w表達(dá)式在絕大多數(shù)的情況下根本是求不出來的．因此對(duì)于具體的復(fù)蒙日－安培方程Dirichlet問題的求解，只能寄希望于數(shù)值解法．作者請(qǐng)教了很多專家，他們認(rèn)為這問題很重要也很難，目前還沒有一個(gè)成熟的對(duì)復(fù)蒙日－安培方程的數(shù)值解法．

本文試圖對(duì)第二類Carten－Hartogs域上的復(fù)蒙日－安培方程的Dirichlet問題的數(shù)值解法作一個(gè)探討．作者不是探討該方程的數(shù)值方法的本身，而是把這個(gè)復(fù)蒙日－安培方程的Dirichlet問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非線性二階常微分方程的二點(diǎn)邊值問題，而后者的數(shù)值解法是有較為成熟的研究．這對(duì)純粹數(shù)學(xué)家而言，已經(jīng)達(dá)到了所謂數(shù)值解法探討的目的，而且在具體計(jì)算上也大大降低了計(jì)算的復(fù)雜性．同時(shí)在一些特殊的情況下，得到了該方程的Dirichlet問題解的分析表達(dá)式，它可以作為檢驗(yàn)該問題的數(shù)值解法的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)樣本．

第二類Cartan－Hargogs域的定義為:

其中RⅡ(p)是華羅庚研究過的第二類典型域，即

這里的Z是p階的對(duì)稱復(fù)矩陣，Z＞0表示矩陣Z是正定矩陣．珔Z，Zt分別表示矩陣Z的共軛和轉(zhuǎn)置．從YⅡ的Bergman核函數(shù)的顯表達(dá)式可知該核函數(shù)是Bergman窮竭的，因而YⅡ是一個(gè)有界擬凸域，所以下述問題(1)有解且惟一．本文探討如下的復(fù)蒙日－安培方程的Dirichlet問題的數(shù)值解:

Z1是把

中的元素zij按其上三角的元素次序排成一個(gè)具有個(gè)元素的向量，即

Z2是把 W 的元素排為(w1，w2，…，wN2)令

這樣，YⅡ中的點(diǎn)(Z，W)可以表示成具有N個(gè)元素的向量z=(Z1，Z2)．

本文首先把上述Dirichlet問題化為二階常微分方程的二點(diǎn)邊值問題，這樣就把問題(1)的數(shù)值解轉(zhuǎn)化為二階常微分方程的二點(diǎn)邊值問題的數(shù)值解，而后者是有較為成熟的研究的(參見［3］);其次，在一些特殊的情況下，得到了問題(1)的解的分析表達(dá)式．

1 準(zhǔn)備知識(shí)

(1)以下變換是YⅡ(N2，p，K)的全純自同構(gòu)，這些變換的集合記之為Aut(YⅡ):

這證明了上述變換是YⅡ(N2，p;K)的全純自同構(gòu)．也可參閱［4］．由［4］可知，YⅡ的Bergman核函數(shù)已經(jīng)求出，而且當(dāng)點(diǎn)從內(nèi)部趨向于邊界時(shí)，該核函數(shù)趨向于無窮，因而YⅡ是有界擬凸域．即總是(1)有解且惟一．

證．這可以直接計(jì)算而得，也可參閱［4］．因而任何以X為變量的函數(shù)F(X)都是在Aut(YⅡ)下不變．

就是域YⅡ的Kaehler－Einstein度量，由于該度量是不變度量，根據(jù)不變性，在(2)中的變換(Z*，W*)=F(Z，W)=F(z)下，就有

其中w*是z在F(z)下的像，也是復(fù)N維向量，即表示變換F的Jacobian矩陣，即

故

根據(jù)典型域熟知的理論［3］，我們有

這樣，當(dāng)Z=Z0時(shí)，(3)式就變成

這就是問題(1)中第一式的左端的表示式，它可以通過YⅡ的全純自同構(gòu)(2)而化為(4)式右端的形式．因此要計(jì)算(1)式的左端實(shí)質(zhì)上只要計(jì)算

若g是問題(1)的解，則(4)式右端應(yīng)當(dāng)?shù)扔趀(N+1)g，即

因此若取

則(6)式就等價(jià)于

由此可見，若(8)式左端能用X、G(X)及其導(dǎo)數(shù)表示，則(1)式中的蒙日－安培方程就等價(jià)于一個(gè)常微分方程了．答案是肯定的，詳見下節(jié)．

2 化蒙日－安培方程為常微分方程

為了方便計(jì)算，現(xiàn)在把(8)式左端的W*，w*改用W，z表示，計(jì)算完成后再恢復(fù)到原來情況．這樣就要計(jì)算

而

由(7)可知

因此(9)式變?yōu)?/p>

經(jīng)過過計(jì)算得到:

其中Iαβ為p×p矩陣，若α =β，則位于α行和β列交叉處的元素為1，其余元素為0;若α≠β，則位于α行β和列交叉處的元素為，而在α列和β行交叉處的元素也是，其余元素為0．

所以

因而(10)式就變?yōu)?/p>

恢復(fù)到原來變量，由于M，M'，M″都是不變函數(shù)，因而上式變?yōu)?/p>

上式等于

由于對(duì)任意向量α，總有

因此上式等于

注意到(11)，而且上式就是(8)式的左端，因此(8)式就化為

這表示(1)中的復(fù)蒙日－安培方程等價(jià)于上述的常微分方程．因此問題(1)就等價(jià)于下述二階常微分方程二點(diǎn)邊值問題

因此問題(1)的多重強(qiáng)次調(diào)和函數(shù)解就是

其中G=G(X)滿足

而且是問題(14)的解．

3 蒙日－安培方程Dirichlet問題的顯式解

在一些特殊情況下，可以求得(14)的顯式解．令

把它代入(14)式的常微分方程，然后定出常數(shù)A．經(jīng)計(jì)算，得到:

再計(jì)算得到:

因此有:

把(15)，(16)，(17)，(18)的結(jié)果代入(14)得到:

因此必須取

此時(shí)，滿足(14)中的第一個(gè)邊界條件，而且有

上式也就是

它是問題(1)的多重強(qiáng)次調(diào)和函數(shù)解，它顯然滿足問題(1)中的蒙日－安培方程而且．下面證明它也滿足邊界條件．為此，只要證明下面更一般的定理1就可以了．

是問題(1)的多重強(qiáng)次調(diào)和函數(shù)解．

證:首先，上述g顯然滿足(1)中的蒙日－安培方程，而且由．下面只須證明g也滿足(1)式中的邊界條件．

注1:在問題(14)中的條件“l(fā)imX→1G(X)=∞”對(duì)數(shù)值解而言是一個(gè)難點(diǎn)．但是可以用下述方法克服之．

注2:參考文獻(xiàn)［5］討論了當(dāng)N2=1時(shí)的問題(1)的解，本文研究了N2為一般情況時(shí)問題(1)的解，而且所出現(xiàn)的常微分方程也不同．

注3:這里的Cartan－Hartogs域是華羅庚域的一種，它共有5種［6，7］．它們有一個(gè)共同的特點(diǎn):設(shè)華羅庾域的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(W，Z)，那么總存在該域的全純自同構(gòu)把(W，Z)變成(W*，0)．抓住這個(gè)特點(diǎn)可以給華羅庚域一個(gè)更為廣泛的定義:

注4:本文“數(shù)值解探討(二)”是探討第二類Cartan－Hartogs域上的復(fù)蒙日－安培方程Dirichlet問題的數(shù)值解．關(guān)于第一類、第三類和第四類Cartan－Harogs域上的復(fù)蒙日－安培方程Dirichlet問題數(shù)值解的探討，將分別發(fā)表于《數(shù)學(xué)進(jìn)展》、《應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》中文版和《數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)》中文版，有興趣的讀者可以到上述刊物上查找．

這證明了g也滿足(1)式中的邊界條件．至此，定理1得證．這樣，再結(jié)合(19)到(20)的敘述，下述定理2成立:

定理2

由(8)可知G(X)必須取正值，所以是

完全確定的．這樣問題(14)就變成如下的問題:

華羅庚域的新定義:設(shè)域H是CM+N中的包含原點(diǎn)的不可約有界單連通域，H中的點(diǎn)記為(W，Z)，其中W∈CM，Z∈CN，而且(W，Z)∈H，那么(W，0)∈H．若對(duì)H中的任意一點(diǎn)(W0，Z0)，在H的全純自同構(gòu)群Aut(H)中存在一個(gè)元素F(W，Z)使得不是固定點(diǎn)，則稱H為華羅庚域．

這種華羅庚域也稱為分片齊性域，在個(gè)別情況下H是單片齊性域，即H本身就是齊性域，一般而言，齊性的片數(shù)有無窮多個(gè)，有時(shí)有連續(xù)統(tǒng)那么多．在極限情況M=0時(shí)，則華羅庚域的定義變成有界齊性域的定義了．因而華羅庚域可以看成是齊性域的推廣．

［1］Cheng S Y，Yau S T．On the existence of a complete K hler metric on noncompact complex manifolds and the regularity of Fefferman’s equation［J］．Comm．Pure App．Math，1980，33:507．

［2］Mok N，Yau S T．Completeness of the K hler－Einstein metric on bounded domain and the characterization of domain of holomorphy by curvature conditions［J］．Proc．Symposia Pure Math．，1983，39:41．

［3］Keller H B．Numberical Solution of Two－Point Boundary Value Problems［M］．Philadelphia:Society for Industrial and Applied Mathematics，1976．

［4］殷慰萍．第二類超Cartan域的Bergman核函數(shù)［J］．?dāng)?shù)學(xué)年刊，2000，21A(3):331－340．

［5］Zhao Xiaoxia，Yin Weiping，Zhang Liyou．Einstein－Kaehler metric on superCartan domain of the second type［J］．Progress in Natural Science，2004，14(3):201－212．

［6］殷慰萍．華羅庚域研究的綜述［J］．?dāng)?shù)學(xué)進(jìn)展，2007，36(2):129－152．

［7］殷慰萍，趙曉霞，張文娟．華羅庚域的創(chuàng)建與研究［A］．陸啟鏗，殷慰萍．多復(fù)變?cè)谥袊?guó)的研究與發(fā)展［C］．北京:中國(guó)科學(xué)出版社，2009．116－149．