張揚(yáng)名，劉國(guó)榮，2

1.湘潭大學(xué) 信息工程學(xué)院，湖南 湘潭 411105

2.湖南工程學(xué)院，湖南 湘潭 411101

一種新型的移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制方法

張揚(yáng)名1，劉國(guó)榮1，2

1.湘潭大學(xué) 信息工程學(xué)院，湖南 湘潭 411105

2.湖南工程學(xué)院，湖南 湘潭 411101

1 引言

近年來，隨著移動(dòng)機(jī)器人的廣泛應(yīng)用，移動(dòng)機(jī)器人吸引了眾多科研人員的目光。移動(dòng)機(jī)器人是執(zhí)行未知環(huán)境探索的主體，深受人們的關(guān)注。跟蹤控制作為移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制的主要部分，其目標(biāo)就是要通過調(diào)節(jié)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)速度和運(yùn)動(dòng)方向，使機(jī)器人沿期望的無碰撞的軌跡運(yùn)動(dòng)。在現(xiàn)實(shí)中，要減少移動(dòng)機(jī)器人實(shí)際軌跡與期望軌跡之間的誤差并不是一件容易的事情，移動(dòng)機(jī)器人具有時(shí)變、非線性的動(dòng)力學(xué)特征，由于驅(qū)動(dòng)輪存在滑動(dòng)和傳感器測(cè)量的誤差，再加上內(nèi)部和外部的干擾和噪聲的影響，移動(dòng)機(jī)器人很難實(shí)現(xiàn)有效、精確地跟蹤。滑模變結(jié)構(gòu)控制作為一類非常特殊的非線性控制，對(duì)在預(yù)定的滑模區(qū)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)，與對(duì)象的參數(shù)和擾動(dòng)無關(guān)，這種控制方法具有快速響應(yīng)、對(duì)參數(shù)變化及擾動(dòng)不靈敏、無需系統(tǒng)在線辨識(shí)、物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)[1]，在機(jī)器人的控制領(lǐng)域很受歡迎。20世紀(jì)90年代，Kanayama Y、Kimura Y和Miyazaki F提出了一種基于自動(dòng)移動(dòng)機(jī)器人的穩(wěn)定跟蹤控制方法[2]，并成功地應(yīng)用于機(jī)器人Yamabico-1I，加快了滑模變結(jié)構(gòu)在機(jī)器人控制領(lǐng)域中的應(yīng)用；2004年，葉濤等人[3]設(shè)計(jì)了一種全局漸近穩(wěn)定性的滑模跟蹤控制器，開創(chuàng)了采用反演設(shè)計(jì)思想設(shè)計(jì)滑模切函數(shù)的先河。

本文主要是在一種新的運(yùn)動(dòng)模型的基礎(chǔ)上，采用分步反演設(shè)計(jì)技術(shù)和改進(jìn)的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，對(duì)非完整約束下的移動(dòng)機(jī)器人全局跟蹤問題進(jìn)行了研究，證明了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并通過與各種已經(jīng)存在的控制方法相結(jié)合，提高了跟蹤的精確度，加快了算法收斂速度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了其有效性和正確性。

2 問題描述

2.1 研究對(duì)象

移動(dòng)機(jī)器人要實(shí)現(xiàn)有效跟蹤圓軌跡，其運(yùn)動(dòng)必須滿足非完整約束的條件。圖1所示的移動(dòng)機(jī)器人為輪式移動(dòng)機(jī)器人，該機(jī)器人兩個(gè)較大的前輪為驅(qū)動(dòng)輪，一個(gè)較小的后輪為從動(dòng)輪。左右兩個(gè)前輪各由一個(gè)電機(jī)來驅(qū)動(dòng)，如果兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)速不同，從而可實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的轉(zhuǎn)彎。如圖1中，假設(shè)移動(dòng)機(jī)器人兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪的軸中心點(diǎn)為M，點(diǎn)M在坐標(biāo)系的位置為(x，y)及方向角為θ，v和w分別為移動(dòng)機(jī)器人的線速度和角速度。設(shè)移動(dòng)人左右輪軸的距離為B，則移動(dòng)機(jī)器人左輪速度為vR=v+(wB/2)和右輪速度為vL=v-(wB/2)[4]。

圖1 移動(dòng)機(jī)器人位姿誤差表示

在移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中，考慮在實(shí)際中的應(yīng)用，為了防止因輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的速度太快而產(chǎn)生滑動(dòng)的問題，限制移動(dòng)機(jī)器人的速度，要求角速度和線速度是有界的。此外，移動(dòng)機(jī)器人的非完整約束條件可以用下面式子表示：

令 pT=(x y θ)，移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

2.2 軌跡跟蹤問題描述

移動(dòng)機(jī)器人從位姿 pT=(x y θ)移動(dòng)到位姿移動(dòng)機(jī)器人在新坐標(biāo)系 Xe-Ye中的坐標(biāo)為pe=(xeye，其中 xe表示駕駛方向誤差，ye表示橫向誤差，θe表示方向誤差。通過坐標(biāo)變換，可以把移動(dòng)機(jī)器人位姿誤差方程描述為：

kx、ky、kθ是常量。在每一個(gè)速度中，第一項(xiàng)前饋部分用uf=(vfwf)T表示，第二項(xiàng)反饋部分用ub=(vb表示，從而可以把式（6）變換成：

3 移動(dòng)機(jī)器人跟蹤控制器的設(shè)計(jì)

對(duì)于跟蹤控制器的設(shè)計(jì)，主要是根據(jù)式（7）分成前饋和反饋兩個(gè)部分來考慮。前饋部分uf=(vf主要通過滑模變結(jié)構(gòu)的方法來設(shè)計(jì)，采用改進(jìn)的切換函數(shù)和趨近律，從而提高了跟蹤精確度。

3.1 前饋部分設(shè)計(jì)

引理1[3]對(duì)于任意x∈R且|x|?∞，有?(x)=xsin(arctan x)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)“=”成立。

滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法一般包含兩個(gè)相互獨(dú)立的步驟：

（1）根據(jù)引理1，可設(shè)計(jì)基于反演設(shè)計(jì)的滑模切換函數(shù)如下：

通過設(shè)計(jì)滑?？刂破?，使s1→0，s2→0，即實(shí)現(xiàn)xe收斂到 ye且 θe收斂到 -arctan(vrye)，從而實(shí)現(xiàn) ye→0和xe→0，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)θe→0。

證明 考察Lyapunov函數(shù)：

由引理1可知vryesin(arctan(vrye))≥0（當(dāng)且僅當(dāng)vrye=0時(shí)“=”式成立）。

又wf為移動(dòng)機(jī)器人的角速度，所以wf≥0，則≤0。

（2）取指數(shù)趨近律，其表示為：

3.2 反饋部分設(shè)計(jì)

圖2 圓軌跡的位置跟蹤1

ub=(vb主要是基于Lyapunov函數(shù)來設(shè)計(jì)，在文獻(xiàn)[2]中，提出一種穩(wěn)定性很好的控制律如式（6），這種控制方法適用于參考路徑和移動(dòng)機(jī)器人實(shí)際位姿已知的情況下，可以實(shí)現(xiàn)高精度的位置跟蹤控制，并在機(jī)器人上成功應(yīng)用。本文通過對(duì)這種控制方法的研究和分析，可以發(fā)現(xiàn)這種跟蹤控制方法的反饋部分為：

在式（15）的基礎(chǔ)上，Samson提出了一種新的控制律[6]：

由于式（14）和式（16）就可以得到移動(dòng)機(jī)器人跟蹤控制的一種含有前饋和反饋這兩個(gè)部分的新型控制器如下所示：

4 Simulink實(shí)驗(yàn)及其分析

對(duì)以上提出的移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制算法，本文通過移動(dòng)機(jī)器人跟蹤圓軌跡來仿真驗(yàn)證。假設(shè)跟蹤線速度vr和角速度wr均為勻速運(yùn)動(dòng)，取wr=1.0，vr=1.0，則=0，半徑為，期望位姿為=( xryrθr)為：

取ε1=ε2=0.02，k1=k2=ky=8.0，kx=kθ=6.0，移動(dòng)機(jī)器人位姿誤差初始值為[ ] 3 0 0，為了進(jìn)行對(duì)照，首先只采用滑?？刂坡墒剑?4），仿真結(jié)果如圖2～5所示。

采用具有前饋部分和反饋部分的控制律式（17），仿真結(jié)果如圖6～9所示。

圖3 X軸方向誤差1

從仿真的結(jié)果可以看出，參數(shù)能很快收斂到最優(yōu)值。這種方法與其他的方法相比，有以下優(yōu)勢(shì)：（1）使用了滑模變結(jié)構(gòu)的方法設(shè)計(jì)前饋部分，使控制器具有了良好的適用性和魯棒性，通過用S函數(shù)來替換符號(hào)函數(shù)，有效地提高了計(jì)算機(jī)仿真的效率，改善了滑?？刂破鞯亩秳?dòng)問題。（2）通過Lyapunov設(shè)計(jì)的反饋控制器和前饋部分的結(jié)合，提高了跟蹤控制的精確度，實(shí)現(xiàn)了移動(dòng)機(jī)器人的有效跟蹤。

圖4 Y軸方向誤差1

圖5 航向角度方向誤差1

圖6 圓軌跡的位置跟蹤2

圖8 Y軸方向誤差2

圖7 X軸方向誤差2

圖9 航向角度方向誤差2

5 結(jié)論

軌跡跟蹤控制是移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制的重要問題，本文通過在一種新的移動(dòng)機(jī)器人誤差微分模型的基礎(chǔ)上，提出了一種具有反饋環(huán)節(jié)的滑?？刂聘櫰?。這種控制算法，充分發(fā)揮了滑模變結(jié)構(gòu)控制方法和反饋控制方法的優(yōu)點(diǎn)，計(jì)算簡(jiǎn)單，收斂速度快，具有強(qiáng)魯棒性和很好的穩(wěn)定性，能夠有效地跟蹤參考軌跡，仿真結(jié)果驗(yàn)證了這種控制理論的正確性。但是對(duì)于算法中含有的參數(shù)優(yōu)化問題，還有待于進(jìn)一步研究。

[1]劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)MATLAB仿真[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

[2]Kanayama Y，Kimura Y，Miyazaki F，et al.A stable tracking controlmethod foran autonomousmobilerobot[C]//Proc of IEEE International Conference on Robotics and Automation.USA：IEEE Press，1990：384-389.

[3]葉濤，侯增廣，譚民，等.移動(dòng)機(jī)器人的滑模軌跡跟蹤控制[J].高技術(shù)通訊，2004（1）：71-74.

[4]Ni?ulescu M.Controlling a mobile robot along planned trajectories[J].Romania，2005，7（2）：18-24.

[5]侯銳，曹泰斌.基于LCL濾波的STATCOM改進(jìn)滑?？刂撇呗匝芯縖J].電測(cè)與儀表，2010，47（535）：30-33.

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[7]高為炳.變結(jié)構(gòu)控制理論基礎(chǔ)[M].北京：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，1990.

[8]Jiang Zhong-Ping，Lefeber E，Nijmeijer H.Saturated stabilization and tracking of a nonholonomic mobile robot[J].Systems&Control Letters，2001，42：327-332.

ZHANG Yangming1,LIU Guorong1，2

1.College of Information Engineering,Xiangtan University,Xiangtan,Hunan 411105,China
2.Hunan Institute of Engineering,Xiangtan,Hunan 411101,China

This paper is mainly to study trajectory tracking control method for nonholonomic mobile robot which is based on kinematic model,with global asymptotic stability.The nonlinear control method is made up of feedforward signal and feedback signal.A feedforward part is variable structure control.Switch function of variable structure control is designed based on the backstepping method.In order to weaken chattering,the exponential rate reaching rule is used in the sliding mode variable structure control.The first method of Lyapunov is used to analyse the stability of control system,and prove that the sliding mode tracking controller is stable.A feedback part is a controller which is developed based on a Lyapunov approach.Through the interaction of the feedforward part and the feedback part,the precision for mobile robot trajectory tracking control is improved.The experimental results show that the control effect is improved obviously compared with the common method,the tracking error can be in a relatively short period of convergence.The control method has the very good anti-disturbance performances.

mobile robot;sliding mode variable structure;trajectory tracking;Lyapunov;backstepping;kinematic model

主要是對(duì)非完整約束下移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制進(jìn)行了研究，提出了一種新型的基于移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模型、具有全局漸近穩(wěn)定性的跟蹤控制方法。這種非線性控制方法主要分為前饋和反饋兩個(gè)部分：前饋部分是一種滑模控制器，它是基于反演設(shè)計(jì)的思想設(shè)計(jì)了切換函數(shù)，采用指數(shù)趨近律，減少了滑模變結(jié)構(gòu)控制的抖動(dòng)，并使用Lyapunov第一法對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析，證明了滑模跟蹤控制器是穩(wěn)定的；反饋部分是基于Lyapunov函數(shù)的方法設(shè)計(jì)的反饋控制器。通過前饋部分和反饋部分的相互作用，提高了移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制的精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明與一般的跟蹤控制方法相比，控制效果明顯改善，跟蹤誤差能在較短時(shí)間內(nèi)收斂，具有很好的抗干擾性能。

移動(dòng)機(jī)器人；滑模變結(jié)構(gòu)；軌跡跟蹤；Lyapunov；反演設(shè)計(jì)；運(yùn)動(dòng)模型

A

TP393

10.3778/j.issn.1002-8331.1202-0225

ZHANG Yangming,LIU Guorong.Novel trajectory-tracking control method for mobile robots.Computer Engineering and Applications,2013,49（23）：257-260.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.51177040，No.61104072）；湖南省自然科學(xué)湘潭市聯(lián)合基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目（No.09jj8006）。

張揚(yáng)名（1987—），男，通訊作者，碩士研究生，主要研究領(lǐng)域：移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制；劉國(guó)榮（1957—），男，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域：智能控制理論與應(yīng)用、交流電機(jī)控制。E-mail：ymz716@126.com

2012-02-13

2012-03-19

1002-8331（2013）23-0257-04

CNKI出版日期：2012-06-15 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120615.1726.037.html