無錫市城市燃氣管理辦公室 顏國棟 張劍

同濟大學土木工程學院 劉威

0 引言

2007年，李杰、劉威提出了網(wǎng)絡可靠度分析最小路遞推分解算法，該方法充分利用了網(wǎng)絡分解過程中的信息，實現(xiàn)了網(wǎng)絡的快速簡化，大幅度地降低了分解出來的的子網(wǎng)的復雜程度，極大地減少了系統(tǒng)不交最小路和不交最小割的數(shù)量。劉威提出了改進最小割遞推分解算法，該方法在最小割遞推分解算法的基礎(chǔ)上，充分利用了網(wǎng)絡分解過程中的信息，進一步簡化了分解出來的網(wǎng)絡，使得分解出來的不交最小割(路)可能為原始網(wǎng)絡幾條不交最小割(路)的并，從而大大減少了分解出來的網(wǎng)絡不交最小割和不交最小路的數(shù)量，加快了計算速度。實例分析表明，改進最小割遞推分解算法是一種高效的大型生命線工程網(wǎng)絡抗震可靠性分析算法。

本文運用管網(wǎng)抗震可靠性分析的最小割遞推分解算法，對現(xiàn)有燃氣管網(wǎng)從系統(tǒng)整體考慮，求出兩種狀態(tài)震作用下系統(tǒng)各節(jié)點連通可靠度結(jié)果，并進行相關(guān)分析。

1 基本概念

從系統(tǒng)抗震功能層次上分析，供氣管網(wǎng)震后功能主要與網(wǎng)絡的連通可靠性有關(guān)。因此，對供氣管網(wǎng)的震害預測，應該在供氣管網(wǎng)中管線的震害概率評價基礎(chǔ)上，進一步研究網(wǎng)絡系統(tǒng)的連通可靠性。

將供氣系統(tǒng)抽象為一個網(wǎng)絡。其中煤氣廠、天然氣門站、調(diào)壓器、管線交匯處等抽象為頂點，其中煤氣廠和天然氣門站記作煤氣系統(tǒng)的源點，用戶端記為匯點，管線抽象為圖的邊，管線地震破壞概率定義為邊的權(quán)重(邊權(quán))。供氣管網(wǎng)的連通可靠性，即指在地震作用下，各個匯點與源點保持連通的能力。

2 最小割遞推分解算法

定義1:定義f'(G)為網(wǎng)絡G的互補結(jié)構(gòu)函數(shù)，也即:

系統(tǒng)互補結(jié)構(gòu)函數(shù)為:

式中:Dk—系統(tǒng)的第k條最小割。

將與源點相連的邊全部選擇出來，并進行多余邊的刪除，其必然為系統(tǒng)的一條最小割，這條最小割中的各條邊必然都是與源點相連的。根據(jù)布爾代數(shù)中的吸收率有:

根據(jù)不交和公式對上式進行變換，有:

根據(jù)德?摩根定律及不交和公式，有:

將上式代入式(3)，可以得到:

式中:G1i—將G中的邊a1i改為不可去邊，同時去掉邊a1i(j=1，2，…，i-1)后的系統(tǒng)子圖。

由于系統(tǒng)的通路子圖對于系統(tǒng)失效概率的貢獻為零，因此可以將其從f'(G)中刪除，則有:

式中:E1i(i=1，2，…，m1c)為公式(5)中非通路子圖前面的系數(shù)。

對于非通路子圖G1i，由于存在不可去邊，故此時要得到G1i的一條不交最小割需要采用如下方法:除原先的源點外，令與不可去邊相連的節(jié)點也為源點，則與源點相連的全部邊去除多余邊后可形成G1i的一條最小割D1i。然后按照前述的做法，一一分解出二級子圖。這些二級子圖中通路子圖前的對應系數(shù)同樣是原圖G的不交最小路，從而可給出f(G)的進一步公式:

顯然，余項Q2包含的不交最小路少于余項Q1包含的不交最小路，即P(Q2)

式中:D2i—G1i(i=1，2，…，m1c)的一條最小割；

E2il—D2i根據(jù)公式(4)分解出來的一項；

G2il—G1i分解得到的二級非通路子圖。

對上面的二級非通路子圖繼續(xù)進行分解，每次分解記錄得到的不交最小路，并刪除通路子圖，直到分解結(jié)束，這樣就可以得到網(wǎng)絡系統(tǒng)的全部最小割和全部不交最小路，此時網(wǎng)絡的失效結(jié)構(gòu)函數(shù)可以表示為:

式中:Ei—吸收歸并后的系數(shù)；

Di—為總體排序后的第i個非通路子圖的一個最小割；

mnc+1—系統(tǒng)分解出來的所有非通路子圖個數(shù)。

令C1=D1、Ci+1=EiDi(i=1，2，…，mnc)，則可將上式寫為:

式中:Ci—系統(tǒng)的第i條不交最小割；

與此同時，在上面的遞推分解過程中，得到的所有通路子圖前面的系數(shù)構(gòu)成了網(wǎng)絡系統(tǒng)的全部不交最小路。因此有:

式中:Lj—系統(tǒng)第j條不交最小路；

K—所有的不交最小路的數(shù)目。

在求出了系統(tǒng)的全部最小割以后，網(wǎng)絡系統(tǒng)的失效概率為:

而網(wǎng)絡的連通可靠度為:

同樣，對于大型網(wǎng)絡系統(tǒng)，試圖求出系統(tǒng)完備不交最小割集和完備不交最小路集是不現(xiàn)實的。最小割遞推分解算法可以同時得到系統(tǒng)的部分不交最小割和部分不交最小路，故同樣可以采用概率不等式來控制計算時間。也就是當系統(tǒng)失效概率的上下界差值不大于設(shè)定的誤差限δ時結(jié)束計算，即下式成立時結(jié)束計算:

式中:Ks—系統(tǒng)部分不交最小路數(shù)，其中Ks≤K；

Mf—系統(tǒng)部分不交最小割數(shù)，其中Mf≤M。此時系統(tǒng)失效概率可以用點估計的方式給出其近似值:

利用相關(guān)定理，式(9)可以改寫為:

式中:G'1i—G中刪除邊a1j(j=1，2，…，i-1)，并且將與ai相連的節(jié)點合并到源點后得到的系統(tǒng)子圖。

在得到式(16)后，同樣，對得到的系統(tǒng)子圖進行并聯(lián)邊的合并以及刪除兩邊都是源點的邊的操作，然后可以按照上述公式進行分解得到網(wǎng)絡的可靠度，只是要指出的是這時分解出來的一條不交最小割(路)可能為原系統(tǒng)的幾條不交最小割(路)的并。對于大型網(wǎng)絡，也可以同樣按照式(15)獲得系統(tǒng)滿足一定精度的結(jié)果。

3 無錫市太湖新城燃氣管網(wǎng)系統(tǒng)連通可靠性分析

無錫市太湖新城主干中壓供氣管網(wǎng)共有D219×6鋼管58 km；D325×6鋼管24 km。共有119條管線，113個節(jié)點(包含4個源點)。計算時不考慮四個源點，故計算節(jié)點109個。

采用遞推分解算法，在各管段失效相互獨立的假設(shè)下，計算分析管網(wǎng)系統(tǒng)中各節(jié)點分別在7度基本設(shè)防烈度、7度罕遇地震狀態(tài)下的可靠度。根據(jù)可靠度大小，按表1劃分系統(tǒng)中節(jié)點的狀態(tài)評價等級。

表1 系統(tǒng)節(jié)點狀態(tài)評價

表2為兩種狀態(tài)地震作用下系統(tǒng)各節(jié)點可靠度統(tǒng)計結(jié)果。研究結(jié)果表明，在7度基本設(shè)防烈度地震作用下，天然氣管網(wǎng)系統(tǒng)抗震性能良好，全部節(jié)點都處于可靠狀態(tài)；7度罕遇地震作用下性能較差，高達87.16%的節(jié)點處于斷氣狀態(tài)，見圖1。

表2 地震作用下燃氣管網(wǎng)系統(tǒng)抗震連通可靠性分析結(jié)果

圖1 太湖新城主干中壓供氣管網(wǎng)系統(tǒng)連通可靠性

4 結(jié)論

供氣系統(tǒng)抗震連通可靠性分析是進行供氣系統(tǒng)震后功能評價，進行抗震改造的基礎(chǔ)。本文介紹了網(wǎng)絡抗震連通可靠性分析的最小割遞推分解算法，并利用此原理對太湖新城燃氣管網(wǎng)進行了連通可靠性分析，結(jié)果表明此方法具有較強實用價值。