宋 芳 郝雙暉 郝明暉

1.上海工程技術大學，上海，201620 2.哈爾濱工業(yè)大學，哈爾濱，150001

0 引言

目前對參數曲線/曲面插補算法的研究多是基于Taylor展開發(fā)展起來的［1］。參數曲線的曲率是不斷變化的，如何將加減速控制集成到曲線插補計算中，并實現加速度指令及位置對時間更高階指令的連續(xù)，實現機床的高速、高精度加工，是數控技術研究者一直關注的重點和難點問題之一。

Yong等［2］提出了加速度控制的自適應插補算法，但該算法的加速度分布存在突變或跳躍，會給機床帶來較大的沖擊和振動，所以需考慮加加速度及更高階指令在插補過程中的影響。Nam等［3］對上述算法進行了改進，加入了對進給加速度的實時監(jiān)控，引入加速度控制，可以在一定程度上減小速度的波動。文獻［4-5］建立了加減速限制模塊，利用限制后的信息對曲線進行插補，但該算法只考慮了曲線的局部幾何特征，當曲線曲率變化較快時，機床還是有可能因為來不及調整進給速度而出現過切(殘留)現象。文獻［6-7］將濾波技術引入到數控系統算法中，提出了基于濾波技術的NURBS曲線插補算法，實現了整個過程的加減速連續(xù)，但該算法沒有考慮濾波處理后連接點及極值點的速度和位置會發(fā)生改變(這一改變將影響系統的加工精度)，并且該算法也未實現位置對時間更高階指令的連續(xù)。

本文在以上研究的基礎上，提出基于移動平均位置不變性的NURBS曲線插補算法。該算法通過對移動平均的位置不變性進行研究，推出位置不變性推論，并利用該推論得出對連接點和極值點的調整方法，使濾波前后的連接點及極值點的速度和位置不變，滿足了加工精度要求。并且該方法具有可擴展性，可實現加速度或位移對時間更高階指令的連續(xù)。

1 移動平均的位置不變性及推論

1.1 移動平均加減速控制算法基本原理

移動平均加減速控制算法的基本原理是，首先對直線加減速離散的速度進行移動平均處理，獲得移動平均加減速控制算法的實際輸出速度，然后對實際速度進行差分計算以獲得實際輸出加速度，最后利用梯形面積公式，求出實際輸出的位置。這種方法獲得的加速度曲線是連續(xù)變化的，可實現加減速階段速度的平滑過渡。通過對此算法進行擴展可實現指令解釋的高次可微分［8-9］。

1.2 位置不變性推論

位置不變性定理是指對直線加減速控制算法進行移動平均處理，處理前后的終點位置不變，該定理的證明參考文獻［10］。根據移動平均算法及位置不變性原理推導出位置不變性推論。

推論 若以某插補點為中心，前后(n－1)/2(n為移動平均步數，且為奇數)個點的速度均等于該插補點的速度，則對其進行移動平均處理后，該點仍為被插補點，且該點速度與移動平均前該點速度相等。

證明 假設某指定插補點的移動平均前后速度曲線如圖1所示。

圖1 指定插補點的移動平均前后速度曲線

則有

由上述證明可知，此推論成立。

或

2 基于位置不變性推論的NURBS曲線插補

2個G代碼之間的連接點和曲線的極值點(統稱為指定點)是在實際插補過程中必須通過的點，這在采用其他加減速控制算法時是易于實現的。但采用移動平均加減速控制算法實現對被加工曲線的加減速控制，是對已規(guī)劃好的直線加減速控制算法的速度進行移動平均處理，處理后的插補點將不通過指定點(不包括曲線的起始點和終點)。因此，利用位置不變性推論，對移動平均前的指定點附近插補點的速度、位置進行調整，可使移動平均處理后的插補點通過指定點，滿足實際加工的要求，而不影響系統插補精度，其處理步驟如下:

(1)在進行預插補前，首先對曲線的幾何特性進行分析，對影響進給速度的極值點曲率進行計算，并對進給速度進行分析。

(2)在對指定點附近插補點的進給速度和位置進行調整后，將曲線劃分為多個區(qū)間，對各區(qū)間的速度分布類型進行研究，再確定各減速區(qū)間的減速點。

(3)最后利用直線加減速控制算法完成對NURBS曲線的一次預插補，然后利用移動平均對預插補結果進行處理，可實現加速度指令或更高階指令的高次平滑及對NURBS曲線的高精度插補。

2.1 預插補處理

2.1.1 臨界曲率計算

首先利用臨界曲率［11］將曲率函數進行區(qū)間劃分，然后對大于臨界曲率的區(qū)間采用等間距節(jié)點矢量掃描方法，求取該區(qū)間的曲率極值點及其參數。具體實現步驟如下:

(2)曲率區(qū)間劃分。所提出的基于臨界曲率劃分求取極值點曲率的方法，對區(qū)間邊界參數的求解精度沒有嚴格要求，即在進行曲率區(qū)間劃分時，參數變化間距可以適當放大。

(3)求曲率區(qū)間的曲率極值點。由于對極值點曲率的求解精度有嚴格要求，因此采用等間距參數掃描方法求解時，為求得精確的極值點曲率，需要設置較小的參數變化間距。

2.1.2 進給速度分析

進給速度受弦高誤差、向心加速度和加速過程中切向加速度限制，需滿足以下條件:

(1)滿足插補精度的最大進給速度為

式中，ui為曲線的節(jié)點;ρ(ui)為節(jié)點ui的曲率。

(2)向心加速度許用的最大進給速度為

式中，km為當前曲率區(qū)間的曲率極大值。

(3)切向加速度許用的最大進給速度為

式中，aτm為最大切向加速度。

綜上所述，進給速度除滿足以上條件外，還需滿足系統給定最大進給速度vf的限制，故各插補點的最大進給速度為

2.1.3 指定點附近插補點的速度和位置調整

(1)沿加工方向的插補點處理。以連接點P為出發(fā)點，用vf進行預測，然后對最初的n2個點分別進行速度求解，所獲得的最小速度為vP2min。

為使實際插補經過連接點P，故對連接點附近的插補點進行速度和位置調整，如圖2所示。

一般來講，極值點處的進給速度vPmin為半移動平均步數n2范圍內插補點的最低速度，因此對這些插補點進行速度、位置的調整如圖3所示。

當進行多次移動平均處理實現指令解釋高次可微分時，預測步數n2為各階半移動平均步數之和。

利用各連接點或極值點附近勻速開始點的位置SPn2，將曲線劃分為多段，采用等間距參數掃描方法可分別計算出各段的弧長，此時NURBS曲線被劃分為Lseg1、Lseg2、Lseg3等多段，且各段的速度分布如圖4所示。至此即可初步獲取各區(qū)間的速度、位置及各區(qū)間終點的參數信息。

圖3 極值點附近插補點的速度和位置調整示意圖

圖4 調整后的速度分布圖

當vP1≤vP2時

當vP1＞vP2時

…

2.1.4 直線加減速控制的NURBS曲線預插補

通過以上處理，即可獲得預插補處理過程中需要的各區(qū)間信息。下面首先利用這些信息確定速度分布類型，然后根據速度的分布類型，利用直線加減速控制算法確定減速距離，判斷減速點，最后從減速點開始對速度分布進行進一步的精確計算，從而實現基于直線加減速的NURBS曲線預插補處理。

除勻速區(qū)域外，其他區(qū)域的起始速度和終點速度不一定相同，也就是說加速過程和減速過程不對稱。速度的分布類型主要由各區(qū)間的弧長決定，下面將利用各臨界狀態(tài)弧長與各區(qū)間實際弧長之間的關系確定速度分布類型。

臨界狀態(tài)弧長是指以起始速度vs加速到終止速度ve所需的位移Sref1，即Sref1=SOAFG，以及能夠達到指令進給速度所需要的最小位移Sref2，即Sref2=SOBEG+SBCDE，如圖5所示。

圖5 臨界狀態(tài)速度曲線圖

圖5中，假設起始速度vs小于終止速度ve，即vs＜ve≤vf，amax為系統允許的最大加速度，則臨界位移Sref1和Sref2的計算公式如下:

當ve≤vs≤vf時，速度曲線分布類型與vs＜ve≤vf情況的確定方式類似，本文不再贅述。

下面將通過各段弧長Lsegi與臨界位移Sref1和Sref2的關系確定速度曲線的分布狀態(tài)。

(1)Lsegi＞Sref2的情況。此時，速度可以達到系統的指令進給速度vf，因此速度曲線具有加速區(qū)、勻速區(qū)和減速區(qū)，具體情況如圖6所示。其中，Lsegi=SOBEG+SBHKE+SHIJK。利用直線加減速控制算法的處理方式，很容易確定減速點及加速階段的步數Na、勻速階段的步數Ne及減速階段的步數Nd，這里不再贅述。

圖6 達到指令進給速度v f時的速度曲線分布圖

(2)Sref1≤Lsegi≤Sref2的情況。此種情況不能達到系統的指令進給速度vf，因此速度曲線僅具有加速區(qū)和減速區(qū)，具體情況如圖7所示，其中，Lsegi=SOBNG+SBLMN。

圖7 未達到指令進給速度v f時的速度曲線分布圖

設能夠達到的最大進給速度為v'f，則有

下面同樣利用直線加減速控制算法的處理方式，很容易確定減速點及加速階段的步數Na和減速階段的步數Nd，這里不再對其進行贅述。

(3)Lsegi＜Sref1的情況。此種情況經過式(13)～式(15)的調整，已使Lsegi=Sref1，因此可按照情況2進行處理。

以上完成對速度分布類型的研究，再利用直線加減速計算公式可獲得各離散點的插補速度和位置，即完成對NURBS曲線的預插補。

2.2 基于移動平均的NURBS曲線實時插補

通過以上研究實現了基于直線加減速控制的NURBS曲線預插補處理，但所獲得的指令解釋不具有高次可微分性，故需對經過直線加減速處理后獲得的速度進行移動平均處理。

假設移動平均步數為N，前N－1個移動平均處理前的速度組成的數組為p［N－1］，將當前插補點移動平均處理前的速度vL(ui)代入到下式:

即可求得當前插補點移動平均處理后的速度vJ(ui)。

為實現指令解釋的高次可微分性，利用多次移動平均進行處理，在式(19)的基礎上對速度重復上述移動平均處理過程。則當前插補點移動平均后的加速度為

式中，vJ(ui－1)為上一插補點移動平均后的速度，m/s。

由于NURBS曲線在每一點處的弧長計算是非常復雜且耗時的，不適于在實時插補中使用，故采用將弧長近似為相鄰插補點間直線段距離累加的方式來獲取曲線起點至當前插補點之間的距離，其計算公式為

式中，ΔSJ(ui)為前一插補點與當前插補點之間的直線距離，m;LJ(ui－1)為曲線起點至前一插補點的距離，m;LJ(ui)為曲線起點至當前插補點的距離，m。

通過上述處理，即可實現基于移動平均的NURBS曲線實時插補，同時也完成了NURBS曲線指令解釋的高次可微分。

3 實驗驗證

下面將以一條三軸加工的NURBS曲線路徑為例，對所提出的NURBS曲線插補算法進行驗證，該曲線路徑如圖8所示。

圖8 NURBS曲線插補實例

曲線參數如下:控制點為(26.7，100.0，0)，(35.1，126.3，14.0)， (35.1，133.3，13.3)，(40.0，133.3，13.3)， (60.0，120.0，13.3)，(53.3，100.0，10.0)， (53.3，86.7，0)， (80.0，53.3，10.0)，(80.0，56.7，0)mm;節(jié)點矢量 U=(0，0，0，0，0.3，0.4，0.6，0.7，0.8，1.0，1.0，1.0，1.0);權值W=(1.0，4.0，0.5，1.0，3.0，0.8，2.0，6.0，4.0)。

取機床許用的最大加速度amax=5m/s2，T=60μs，vf=0.2m/s，δ=1μm，一次及二次移動平均步數n=n'=65。

3.1 直線加減速控制的預插補

對極值點附近插補點的位置、速度進行調整后，即可獲得直線加減速預處理的速度、加速度曲線和加加速度曲線，如圖9所示。

圖9 調整后的直線加減速預插補控制曲線圖

圖9a中，標記的Ⅰ～Ⅳ表示調整后的4個勻速區(qū)間，除此之外，其他各區(qū)域速度根據曲率變化自適應調整。但由圖9所獲得的直線加減速控制曲線中，加速度曲線不連續(xù)，速度變化時將會產生沖擊和振動。

3.2 二次移動平均處理實時插補

下面基于直線加減速預插補處理結果對離散后的速度進行二次移動平均處理，實現對NURBS曲線指令解釋的高次可微分。該條NURBS曲線的速度、加速度、加加速度、位移的4次微分及位移的5次微分仿真結果如圖10所示。

由圖10可知，二次移動平均處理能實現速度曲線平滑以及加速度、加加速度曲線的連續(xù)。更重要的是，可實現對NURBS曲線指令解釋的4次微分處理。

圖10 二次移動平均處理實時插補曲線圖

移動平均前后的速度及極值點附近速度放大圖，分別如圖11、圖12所示。

圖11 移動平均前后速度比較圖

由圖12可知，對極值點附近插補點的速度和位置調整處理后，移動平均前后的極值點速度沒有改變，將不會影響系統的插補精度。

圖12 極值點附近速度放大圖

4 結語

本文提出了移動平均位置不變性推論，利用該推論對移動平均指定點附近插補點的速度、位置進行調整，使移動平均處理后的插補點通過指定點，將進給速度加減速控制集成到曲線插補中，能實現加速度及更高階指令的連續(xù)。實例證明了所提出算法的可行性和有效性。

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