王 威 胡于進(jìn) 凌 玲

華中科技大學(xué)，武漢，430074

0 引言

子結(jié)構(gòu)綜合方法在航天器設(shè)計(jì)、汽車NVH分析等復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性分析中有著廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)上把子結(jié)構(gòu)綜合方法分為兩大類［1］:基于模態(tài)的子結(jié)構(gòu)綜合(component－modesynthesis，CMS)［2］和基于頻響函數(shù)(frequencyresponse function，F(xiàn)RF)的子結(jié)構(gòu)綜合(FRF－basedsubstructuring，F(xiàn)BS)［3］。它們分別用于理論模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木C合，而工程中通常存在混合模型的綜合問題，即有限元建模的理論模型與試驗(yàn)測(cè)試獲得的試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木C合［4］。混合模型的綜合主要采用基于頻響函數(shù)的綜合，但基于頻響函數(shù)的綜合存在對(duì)整個(gè)子結(jié)構(gòu)頻響矩陣求逆運(yùn)算的問題，這導(dǎo)致計(jì)算效率和精度不高［5］。Jetmundersen等［6］發(fā)展了一種子結(jié)構(gòu)導(dǎo)納綜合方法(RC方法)，計(jì)算時(shí)只需對(duì)連接部分的頻響矩陣求逆，使計(jì)算精度和效率得到較大提高，但該方法僅適用于兩個(gè)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)之間的綜合。Ren等［7］在此基礎(chǔ)上發(fā)展出一種多子結(jié)構(gòu)綜合方法即GRC(generalizedreceptancecoupling)方法，能夠得到非獨(dú)立子結(jié)構(gòu)之間的綜合。值得指出的是，GRC方法只考慮了剛性連接特性的處理，而工程實(shí)際中結(jié)構(gòu)的連接基本都是柔性連接，為此，Liu等［8］提出了一種考慮彈性連接介質(zhì)的綜合方法，但該方法實(shí)質(zhì)上是把連接件當(dāng)作一個(gè)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行處理，連接件與被連接件之間仍為剛性連接，未將連接參數(shù)從子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中獨(dú)立出來，不便于使用和實(shí)際操作。對(duì)于一些常用的連接模型，如彈簧連接、軸套連接等，如何用特征參數(shù)來表達(dá)其連接剛度和阻尼等信息，使其與子結(jié)構(gòu)完全獨(dú)立，具有更明確的物理意義是一個(gè)有意義的研究課題。因此，本文以GRC方法為基礎(chǔ)，用統(tǒng)一的參數(shù)模型來實(shí)現(xiàn)連接部分的獨(dú)立化、模塊化處理，使子結(jié)構(gòu)之間的連接不再局限于剛性連接，實(shí)現(xiàn)了剛性連接和柔性連接的統(tǒng)一。同時(shí)，基于所提出方法，研發(fā)了多子結(jié)構(gòu)混合建模及綜合求解系統(tǒng)。

1 基于頻響的子結(jié)構(gòu)綜合方法

在GRC方法中，子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的定義為

通過引入剛性連接條件，得到整體結(jié)構(gòu)的頻響矩陣:

式中，下標(biāo)n、j分別表示綜合后整體結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自由度和界面自由度。

該方法在計(jì)算過程中涉及矩陣求逆，但只需對(duì)連接處的頻響矩陣求逆。采用奇異值分解方法(SVD)求逆［9］，可以有效降低測(cè)試誤差對(duì)綜合結(jié)果的影響。

2 考慮參數(shù)化連接特性的子結(jié)構(gòu)頻響綜合方法

2.1 子結(jié)構(gòu)之間的連接模型

參數(shù)化的連接模型是指一些常用的連接，如彈簧連接、軸套連接、螺栓連接等，其連接特性可以用剛度和阻尼表示。對(duì)于柔性連接，傳統(tǒng)上兩個(gè)子結(jié)構(gòu)間的連接可以用彈性元件和阻尼元件來模擬［10］，即每個(gè)連接自由度都用一個(gè)等效剛度和等效阻尼來表示其連接特性，如圖1所示。

圖1 柔性連接模型

根據(jù)連接部件的力平衡條件，子結(jié)構(gòu)A和B在連接處界面自由度的振動(dòng)位移和作用力滿足如下關(guān)系:

其中，ZC為連接部分的n×n階阻抗矩陣，ZC=［zij］n×n，矩陣 ZC中的任一項(xiàng)zij為連接阻抗，其物理意義為第i個(gè)連接自由度產(chǎn)生單位位移時(shí)第j個(gè)連接自由度上需要施加的作用力。當(dāng)不同連接自由度之間沒有耦合項(xiàng)時(shí)，ZC可以化為對(duì)角陣。

2.2 引入連接后的子結(jié)構(gòu)綜合

簡單起見，用b'、c'表示連接部件的界面自由度，用a、b和c表示連接后綜合結(jié)構(gòu)的自由度。原有子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)位移和力之間的關(guān)系如下:

根據(jù)式(4)的推論，連接處的阻抗矩陣計(jì)算公式為

引入連接處的位移協(xié)調(diào)和力平衡條件:

將式(5)～式(7)聯(lián)立，可得

將式(8)代入式(9)，得

將式(5)～(8)式聯(lián)立，得

將式(10)代入式(11)，可得綜合結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣:

從式(12)提取出中間項(xiàng)，可以證明得到

將式(13)代入式(12)，得到最終的綜合結(jié)果:

將式(14)與式(2)相比可以發(fā)現(xiàn)，二者在形式上相似，但式(14)的中間項(xiàng)在求逆時(shí)引入了連接處部件的阻抗矩陣。根據(jù)2.1節(jié)中子結(jié)構(gòu)之間的連接模型，當(dāng)連接點(diǎn)之間的剛度趨向于無窮大時(shí)，Z－1C趨向于零矩陣，退化為剛性連接。式(14)很好地實(shí)現(xiàn)了剛性連接和柔性連接的統(tǒng)一處理，且矩陣求逆的階次并未增加，可以應(yīng)用于不同連接類型的子結(jié)構(gòu)綜合。

3 考慮連接特性的子結(jié)構(gòu)頻響綜合方法實(shí)現(xiàn)

本文要實(shí)現(xiàn)的是多子結(jié)構(gòu)(包括試驗(yàn)?zāi)Ｐ秃屠碚撃Ｐ?在不同連接特性下的混合綜合，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可以按照功能劃分為輸入模塊、預(yù)處理模塊、綜合計(jì)算模塊和后處理模塊，實(shí)現(xiàn)流程如圖2所示。

圖2 子結(jié)構(gòu)頻響綜合整體流程

3.1 輸入模塊

輸入模塊包括以下三個(gè)部分:

(1)子結(jié)構(gòu)的定義。子結(jié)構(gòu)分為試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)和理論子結(jié)構(gòu)。試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)用試驗(yàn)得到的激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)之間的頻響函數(shù)數(shù)據(jù)表示，理論子結(jié)構(gòu)用有限元計(jì)算得到的模態(tài)或頻響數(shù)據(jù)表示。子結(jié)構(gòu)的定義如圖3所示。

圖3 子結(jié)構(gòu)定義模塊

(2)連接集和連接屬性的定義。連接集用來定義子結(jié)構(gòu)之間需要連接的節(jié)點(diǎn)編號(hào)和自由度。定義連接屬性時(shí)，需要預(yù)設(shè)不同的連接方式(剛性連接、彈簧連接、動(dòng)剛度連接等)，定義不同自由度之間的連接剛度和阻尼，為后續(xù)的連接阻抗計(jì)算做準(zhǔn)備。

(3)組裝結(jié)構(gòu)的定義。定義完所有的子結(jié)構(gòu)、連接集和連接屬性之后，根據(jù)計(jì)算要求將其引入相應(yīng)的組裝結(jié)構(gòu)中，就完成了組裝結(jié)構(gòu)的定義，可以進(jìn)行后續(xù)的處理和計(jì)算。

3.2 預(yù)處理模塊

預(yù)處理模塊包括連接集的預(yù)處理和子結(jié)構(gòu)的預(yù)處理。連接集的預(yù)處理主要用于調(diào)整個(gè)子結(jié)構(gòu)頻響矩陣的生成順序，為后續(xù)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體頻響矩陣組裝和結(jié)果矩陣中各頻響函數(shù)的定位做準(zhǔn)備。

對(duì)子結(jié)構(gòu)的預(yù)處理包括試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的預(yù)處理和理論子結(jié)構(gòu)的預(yù)處理。子結(jié)構(gòu)預(yù)處理的目的是為了得到各個(gè)子結(jié)構(gòu)在各離散頻率點(diǎn)的頻響函數(shù)矩陣，其預(yù)處理流程如圖4所示。

圖4 子結(jié)構(gòu)預(yù)處理模塊

在理論子結(jié)構(gòu)的預(yù)處理中，按照傳統(tǒng)的模態(tài)分析理論，可以根據(jù)結(jié)構(gòu)模態(tài)信息計(jì)算得到頻響函數(shù)矩陣［12］。由于計(jì)算過程涉及多重循環(huán)，運(yùn)算次數(shù)較多，在程序的內(nèi)層循環(huán)中用向量運(yùn)算代替浮點(diǎn)數(shù)之間的乘法運(yùn)算，同時(shí)，將運(yùn)算過程中的中間變量存儲(chǔ)下來，以空間換時(shí)間，運(yùn)算效率可以顯著提高。

3.3 綜合計(jì)算模塊

由于實(shí)驗(yàn)測(cè)試和理論計(jì)算所得的頻響函數(shù)數(shù)據(jù)通常是一系列離散頻率點(diǎn)的響應(yīng)值。同時(shí)，考慮到連接特性一般都含與頻率相關(guān)的阻尼項(xiàng)，因此，在綜合過程中，連接特性的阻抗矩陣計(jì)算和組裝結(jié)構(gòu)的綜合計(jì)算都必須在各自離散的頻率點(diǎn)進(jìn)行。綜合計(jì)算模塊具體過程由以下三個(gè)步驟來實(shí)現(xiàn):

(1)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)頻響矩陣的組裝。子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體頻響矩陣的組裝是一個(gè)繁瑣而復(fù)雜的工作，首先需要對(duì)每個(gè)子結(jié)構(gòu)按照內(nèi)部節(jié)點(diǎn)集和連接點(diǎn)集進(jìn)行分塊取值。分塊完畢后，在子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)頻響矩陣中，對(duì)所有子結(jié)構(gòu)的所有分塊矩陣進(jìn)行定位和組裝，最終形成式(1)的形式。

(2)連接部分阻抗矩陣的生成。在已定義的連接集和連接屬性中，根據(jù)預(yù)設(shè)的連接模型計(jì)算方法得到各連接自由度之間的連接阻抗。然后，按照連接點(diǎn)順序?qū)⑵浣M裝成矩陣，即可得到離散頻率處的阻抗矩陣。

(3)子結(jié)構(gòu)頻響綜合計(jì)算。用式(14)進(jìn)行理論計(jì)算。在式(14)中，需要對(duì)中間矩陣求逆，還要進(jìn)行數(shù)次矩陣乘法運(yùn)算，這樣的過程需要在每個(gè)離散頻率點(diǎn)進(jìn)行，矩陣運(yùn)算的次數(shù)將會(huì)很多。為了提高計(jì)算效率，在具體實(shí)現(xiàn)過程中，本文采用了Intel MKL數(shù)學(xué)計(jì)算庫，并用奇異值分解對(duì)矩陣求逆，提高了運(yùn)算結(jié)果的可靠性。

3.4 后處理模塊

后處理模塊主要從綜合計(jì)算所得的離散頻響矩陣序列中組裝形成不同激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)之間的頻響函數(shù)，并對(duì)每個(gè)頻響函數(shù)進(jìn)行定位，然后，根據(jù)需求進(jìn)行幅值、相位等處理，輸出幅頻、相頻曲線。

4 算例研究

4.1 模型描述

圖5所示模型為Esfandiari等［13］提供的一個(gè)桁架模型，本文將該桁架結(jié)構(gòu)分為兩個(gè)子結(jié)構(gòu)，子結(jié)構(gòu)之間用柔性連接處理。子結(jié)構(gòu)1左端鉸接，子結(jié)構(gòu)2右端簡支。所用桿單元的材料為鋼，彈性模量為20GPa，各桿的截面面積列于表1。子結(jié)構(gòu)1和子結(jié)構(gòu)2 的連接對(duì)為(1，8)、(7，11)，分別在X和Y方向用彈性單元連接，連接剛度為108N/m。

圖5 子結(jié)構(gòu)及組合結(jié)構(gòu)有限元模型

表1 桁架中各桿的截面面積

4.2 計(jì)算結(jié)果分析

首先建立子結(jié)構(gòu)1和子結(jié)構(gòu)2的有限元模型，得到模態(tài)計(jì)算結(jié)果。將兩個(gè)子結(jié)構(gòu)按照柔性連接進(jìn)行理論子結(jié)構(gòu)之間的頻響綜合，計(jì)算得到節(jié)點(diǎn)10X方向的激勵(lì)和響應(yīng)的頻響函數(shù)(在頻響計(jì)算中，通常用節(jié)點(diǎn)編號(hào)加自由度方向表示激勵(lì)和響應(yīng))。將子結(jié)構(gòu)綜合結(jié)果與整體模型頻響計(jì)算結(jié)果比較，幅頻曲線如圖6所示。從圖6可以看出，子結(jié)構(gòu)頻響綜合結(jié)果與整體結(jié)構(gòu)頻響計(jì)算結(jié)果幾乎完全一致，說明該方法有效。

我們通過對(duì)子結(jié)構(gòu)1計(jì)算得到的頻響函數(shù)分別施加5%和10%的隨機(jī)誤差(用來模擬試驗(yàn)數(shù)據(jù))。子結(jié)構(gòu)2仍然采用理論模態(tài)結(jié)果計(jì)算得到精確的頻響函數(shù)。沿用之前的柔性連接條件，計(jì)算得到模擬試驗(yàn)?zāi)Ｐ秃屠碚撃Ｐ偷念l響綜合結(jié)果，并與整體結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)比較，觀察綜合結(jié)果對(duì)誤差的敏感性。圖7、圖8分別表示子結(jié)構(gòu)1的頻響數(shù)據(jù)施加5%和10%的隨機(jī)誤差后的綜合結(jié)果。通過對(duì)圖7、圖8的比較可知，隨著模擬試驗(yàn)數(shù)據(jù)隨機(jī)誤差的增大，綜合結(jié)果與整體結(jié)果之間的誤差也會(huì)增大，但二者的整體趨勢(shì)仍然保持一致。說明當(dāng)試驗(yàn)誤差不是太大的時(shí)候，該方法在處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論模態(tài)混合綜合方面有效。

圖6 理論子結(jié)構(gòu)綜合結(jié)果

圖7 引入5%隨機(jī)誤差后的混合綜合結(jié)果

圖8 引入10%隨機(jī)誤差后的綜合結(jié)果

5 結(jié)語

本文在GRC方法基礎(chǔ)上，引入了子結(jié)構(gòu)之間參數(shù)化的連接特性，實(shí)現(xiàn)了子結(jié)構(gòu)頻響綜合過程中剛性連接和彈性連接的統(tǒng)一處理，且矩陣求逆的階次并未增加，可以應(yīng)用于不同連接類型的子結(jié)構(gòu)綜合。同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)和理論子結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一處理，即混合建模，并開發(fā)出相應(yīng)的混合建模求解系統(tǒng)。數(shù)值計(jì)算表明，在模擬試驗(yàn)數(shù)據(jù)加入一定隨機(jī)誤差的情況下，綜合結(jié)果與整體結(jié)果也有較好的適應(yīng)度。

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