☉湖北省浠水縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 程賢清 占巧月

2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽湖北省預(yù)賽試卷分高一年級(jí)卷和高二年級(jí)卷，每份試卷均設(shè)計(jì)10道填空題和3道解答題.命題組提供的參考答案對(duì)填空題只給出結(jié)果，未做詳解.為了幫助同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)、研究中有所啟發(fā)和參照，本文對(duì)高二試卷中所有填空題做出詳解分析和點(diǎn)評(píng).

分析：由集合C中代表元素為a+b，且a∈A，b∈B，可用列舉法寫出集合C={3，5，7，9，11，13，15，19，21，23，25，27}，從而集合C的所有元素之和為（3+5+7+…+27）-17=195-17=178.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了考生對(duì)集合概念的本質(zhì)理解及計(jì)算的靈活性.易錯(cuò)點(diǎn)有：①未去掉生成集合C時(shí)的重復(fù)元素；②不會(huì)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和.

2.已知數(shù)列{an}滿足：a0=0，a1=1，且a2n=an，a2n+1=an+1（n∈N*），則a2013=_________.

分析：由遞推關(guān)系可知，無(wú)論下標(biāo)為奇數(shù)還是偶數(shù)，都可以迅速將下標(biāo)縮小.據(jù)此，反復(fù)使用遞推關(guān)系，即可求得結(jié)果.a2013=a1006+1=a503+1=a251+2=a125+3=a62+4=a31+4=a15+5=a7+6=a3+7=a1+8=9.

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化思想和解題方法的選擇判斷能力.本題易錯(cuò)點(diǎn)有：①欲求出通項(xiàng)，思路受阻；②平時(shí)訓(xùn)練過(guò)此類題，大多是周期數(shù)列，因而部分考生很想求出該數(shù)列的周期，但由于此題無(wú)法求出周期（本不是周期數(shù)列）而出現(xiàn)思路中斷；③不了解a0這個(gè)條件怎么用，產(chǎn)生畏懼心理.實(shí)際上這里a0是數(shù)列的首項(xiàng)，a1是數(shù)列的第二項(xiàng).設(shè)置a0的目的是考查考生解題的抗干擾能力.事實(shí)上本題去掉a0=0這個(gè)條件，不影響解題結(jié)果.

分析：由已知得F（1，0）.設(shè)P（x，y），M（x0，y0），則過(guò)點(diǎn)M的切線方程為集為_________.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)的概念，指數(shù)、對(duì)數(shù)、絕對(duì)值的運(yùn)算及分類討論思想.本題易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)數(shù)及其絕對(duì)值的運(yùn)算.

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)有同角三角函數(shù)關(guān)系，二倍角公式，正弦函數(shù)有界性，二元均值不等式.考查的方法是利用均值不等式及正弦函數(shù)的有界性進(jìn)行連續(xù)放縮.該法能夠成功的關(guān)鍵在于多次放縮時(shí)，等號(hào)能同時(shí)成立.本題易錯(cuò)點(diǎn)是不能合理分組進(jìn)行連續(xù)放縮.

有P=2cos2x-2cos2y-4cosx+4cosy

=2（cosx-1）2-2cos2y+4cosy-2

≥-2cos2y+4cosy-2=2cosy（2-cosy）-2＞-2.

又有P=2（cosx+cosy-2）（cosx-cosy）＜0.

綜上所述，有P∈（-2，0）.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查余弦函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角恒等變換、放縮變換的能力.解題難點(diǎn)是所求范圍的兩個(gè)界點(diǎn)需要用兩種不同的思路進(jìn)行求解.本題易錯(cuò)點(diǎn)是不能準(zhǔn)確求出兩個(gè)界點(diǎn)值，導(dǎo)致所求范圍擴(kuò)大.

圖1

①-②×4得（x0-4）（x-4）=0.又-2≤x0≤2，

故x-4=0，即x=4為所求點(diǎn)P的軌跡方程.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的切線方程、向量的數(shù)量積等知識(shí)以及代數(shù)的消元變形能力.易錯(cuò)點(diǎn)是列出相關(guān)條件方程后不知如何變形運(yùn)算.

7.從集合A={1，2，3，…，30}中取出5個(gè)不同的數(shù)，使這5個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則可以得到不同的等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為_____________.

分析：按公差分別為1，2，3，…，7進(jìn)行分類（先考慮公差為正數(shù)的個(gè)數(shù)）：

公差為1的等差數(shù)列有1，2，3，4，5；2，3，4，5，6；…；26，27，28，29，30.共26個(gè).

公差為2的等差數(shù)列有1，3，5，7，9；2，4，6，8，10；…；22，24，26，28，30.共22個(gè).

……

公差為7的等差數(shù)列有1，8，15，22，29；2，9，16，23，30.共2個(gè).

故構(gòu)成公差為正數(shù)的不同等差數(shù)列的總個(gè)數(shù)為26+22+18+…+6+2=98.

又公差為負(fù)數(shù)的不同等差數(shù)列的個(gè)數(shù)也為98.

故所求不同的等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為98×2=196.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合及等差數(shù)列的概念，數(shù)列求和等知識(shí)和分類討論的策略和意識(shí).本題易錯(cuò)點(diǎn)是易漏掉計(jì)算公差為負(fù)數(shù)的情形.

8.四面體P-ABC的體積為1，G和K分別是△ABC和△PBC的重心，過(guò)G作直線分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，那么四棱錐K-MNCB的體積的最大值為__________.

分析：如圖2，連接PK并延長(zhǎng)交BC于Q，過(guò)P作PO⊥面ABC，垂足為O，連接OQ.由PO⊥面ABC知面POQ⊥面ABC，過(guò)K作KR⊥OQ于R，則KR⊥面MNCB，KR為四棱錐K-MNCB的高.記四面體P-ABC的底面積為S，高PO=h.

圖2

點(diǎn)評(píng)：本題是一道立體幾何綜合題.重點(diǎn)考查了空間問(wèn)題平面化策略以及運(yùn)動(dòng)變化思想的應(yīng)用.涉及的幾何知識(shí)有：重心概念及重心定理，相似三角形的有關(guān)性質(zhì)，棱錐的體積公式.本題易錯(cuò)點(diǎn)有：①不能準(zhǔn)確畫出空間圖形或畫出的圖形粗糙，線條重疊，妨礙思考；②不善于運(yùn)用平面化的策略及運(yùn)動(dòng)變化思想對(duì)問(wèn)題進(jìn)行逐步簡(jiǎn)化.

9.已知互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，且logca，logb c，logab構(gòu) 成 公 差 為d的 等 差 數(shù) 列 ， 則d=__________.

分析：因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以b2=ac，兩邊同取以b為底的對(duì)數(shù)得：

①代入②整理得2x3-9x2+9x-2=0.

點(diǎn)評(píng)：本題是高一試卷中的解答題12題，此處最后兩步運(yùn)用整體思想處理較命題組參考答案的解法更為簡(jiǎn)捷，有效地避免了直接解方程再分類討論的煩瑣運(yùn)算.

本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，換底公式等知識(shí)，還考查了換元（簡(jiǎn)化）轉(zhuǎn)化，整體代入等重要數(shù)學(xué)思想方法.結(jié)合式的運(yùn)算對(duì)考生思維能力和運(yùn)算技巧的結(jié)合進(jìn)行了深刻考查.試題設(shè)計(jì)精巧，下手易，深入難.解決本題的關(guān)鍵有：①是對(duì)b2=ac兩邊取對(duì)數(shù)；②是對(duì)已知對(duì)數(shù)式換元.本題易錯(cuò)點(diǎn)是根據(jù)已知條件直譯列出方程后不知如何運(yùn)算，換元轉(zhuǎn)化意識(shí)不強(qiáng).

10.已知a，b，c，d∈［-1，+∞），且a+b+c+d=0，則ab+bc+cd的最大值為_______.

分析：本題為多變?cè)笞钪祮?wèn)題，可嘗試逐步消元（減元）.比如，消去d得，ab+bc+cd=ab+bc-c（a+b+c）=abac-c2=a（b-c）-c2.為便于放縮，繼續(xù)消元，可對(duì)b，c的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論.

（1）若b≤c，則由a≥-1，b-c≤0知a（b-c）≤-（b-c）有

由d≥-1，c-b≤0知d（c-b）≤-（c-b），

點(diǎn)評(píng)：本題是一道區(qū)分度較大的難題，競(jìng)賽味濃.著重考查考生的代數(shù)推理能力 （尤其是不等式的放縮變形能力）.本題易錯(cuò)點(diǎn)是放縮變形方向不明.本題的放縮技巧很值得我們思考與回味.