☉湖北省陽新縣高級(jí)中學(xué) 鄒生書

從這道預(yù)賽試題筆者很快聯(lián)想到如下兩道經(jīng)典考題：

而上述兩道考題分別基于如下兩個(gè)重要結(jié)論：

結(jié)論1：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值（不為1）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做阿波羅尼斯圓.

對(duì)于上述兩題的研究文章頗多，解法也較多，本賽題就是這兩道試題或上述兩個(gè)結(jié)論的富有創(chuàng)造性的完美結(jié)合，因此解法也較多，本文筆者用向量、均值不等式和軌跡與方程給出一個(gè)優(yōu)雅的解法以饗讀者.

解：如圖1，延長AG交BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為邊BC之中點(diǎn).

圖1

圖2

由此可見命題者真可謂匠心獨(dú)運(yùn)，以三角形重心和阿波羅尼斯圓為背景，通過“求四邊形MNCB的面積的最大值”這一問題將希望杯競賽題和江蘇高考題巧妙地合二為一，對(duì)接得天衣無縫、渾然一體，用雙動(dòng)態(tài)、雙最值求面積最大值，使得問題不僅上檔次綜合性強(qiáng)，而且有文化背景，能演繹數(shù)學(xué)精彩、體現(xiàn)數(shù)學(xué)美，本文解法也可算是優(yōu)美而高雅.

1.王建榮，吳芳.解讀二十二屆希望杯高二第一試的一道最小值問題［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)（上），2011（9）.

2.阮靈東.也談二十二屆希望杯的一道競賽題［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)（上），2012（7）.

3.曾曉陽.再談一道二十二屆希望杯賽題.中學(xué)生數(shù)學(xué)（上），2013（4）.

4.徐勇.江蘇卷理科第13題［J］.數(shù)理天地（高中版），2008（10）.

5.於升賢，等.2008年江蘇卷理科第13題的兩種解法［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)（上），2009（11）.