李明陽 柏 鵬 王徐華 彭衛(wèi)東 盧 虎 林晉福

①(空軍工程大學(xué)綜合電子信息與電子對抗技術(shù)研究中心 西安 710051)

②(空軍工程大學(xué)理學(xué)院 西安 710051)

1 引言

精確同步技術(shù)在寬帶高速數(shù)據(jù)鏈、衛(wèi)星通信中的具有重要價(jià)值，偽隨機(jī)(Pseudo Noise, PN)序列因其具有良好的相關(guān)性和優(yōu)良的抗噪聲能力而被用于通信系統(tǒng)的同步過程中[1]。目前對于同步研究的重點(diǎn)主要放在協(xié)同通信[2]，多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output, MIMO)[3]系統(tǒng)，正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)[4]等系統(tǒng)中，這些方法都利用通信系統(tǒng)的特殊結(jié)構(gòu)，不具有通用意義且只能實(shí)現(xiàn)粗同步。PN序列的相位測量精度是影響同步性能的根本因素，因此很多文獻(xiàn)針對PN序列的相位測量進(jìn)行研究[5-8]。文獻(xiàn)[5]對偽碼相關(guān)函數(shù)在低信噪比、大多普勒頻移情況下主瓣展寬、峰值移位等現(xiàn)象，推導(dǎo)出相應(yīng)的偽碼相關(guān)函數(shù)。文獻(xiàn)[6]用兩點(diǎn)線性內(nèi)插法對相關(guān)值的最高峰和次高峰進(jìn)行處理，但該方法測量精度最大只能提高兩倍。文獻(xiàn)[7]在分析了頻偏對同步性能的影響，分析能夠忽略頻偏影響的PN序列最大長度，并提出了通過分段相關(guān)的方法來提高系統(tǒng)的抗頻偏能力，但是該方法沒有考慮如何提高同步精度。文獻(xiàn)[8]利用相關(guān)函數(shù)峰值附近3個(gè)數(shù)據(jù)擬合二次插值多項(xiàng)式，根據(jù)此多項(xiàng)式將極大值點(diǎn)確定為同步位置，這種方法能在一定程度上提高測量精度但是該方法在存在頻率偏移時(shí)性能急劇惡化[7]。文獻(xiàn)[9]利用新的自相關(guān)函數(shù)實(shí)現(xiàn)了衰落信道下的定時(shí)同步，但是該方法在性能最優(yōu)時(shí)只能精確到一個(gè)樣點(diǎn)。文獻(xiàn)[10]定量分析了任意通道非理想特性對于偽碼同步精度的影響，該研究對于實(shí)現(xiàn)精確同步方法具有一定指導(dǎo)意義，但是文中沒有提出消除這些影響的方法。文獻(xiàn)[11]根據(jù)貝葉斯遞推原理提出了一種衰減記憶高斯和濾波的同步方法，利用重采樣解決由于載波相位測量值不確定導(dǎo)致的算法復(fù)雜度增加的問題，但該方法無法顯著提高測量精度。文獻(xiàn)[12]提出了利用延遲鎖相環(huán)的S型鑒相曲線中間部分的直線特性，采用最小二乘法(Least Squares, LS)得到初始相位，該方法實(shí)現(xiàn)簡單，精度高，但是在初始相位較大時(shí)該方法失效。本文仿真表明當(dāng)初始相位超過± 1/3個(gè)碼片長度時(shí)該方法測量誤差已經(jīng)超過一個(gè)采樣點(diǎn)無法滿足精確同步的要求。

本文提出一種能夠有效對抗粗同步誤差和頻率偏移的基于迭代最小二乘法的精同步方法。文章首先分析了粗同步誤差在正負(fù)半個(gè)碼片范圍內(nèi)時(shí) LS算法的測量性能，表明在此范圍內(nèi)測量誤差有下降趨勢，據(jù)此提出了基于迭代最小二乘的測量方法，同時(shí)引入分段相關(guān)方法以消除頻偏影響；然后從分段相關(guān)以及最小二乘法等方面分析了該方法的抗噪性；最后通過仿真證明了本文方法在較大粗同步誤差以及低信噪比和頻率偏移的條件下能夠獲得較高的同步精度。

2 最小二乘同步方法

文獻(xiàn)[12]提出LS算法估計(jì)本地PN和接收PN的相位差的方法，其思想是利用擬合直線的方法化離散為連續(xù)，從而實(shí)現(xiàn)同步相位差在誤差平方和最小準(zhǔn)則下的最優(yōu)估計(jì)，該方法能夠獲得分?jǐn)?shù)倍采樣周期的測量精度。理想條件下PN序列相關(guān)曲線和鑒相曲線如圖1所示，其中τ為碼元周期的相對值。

圖1 理想條件下的PN序列相關(guān)曲線和鑒相曲線

圖1中鑒相曲線橫坐標(biāo)的0點(diǎn)就是需要估計(jì)的實(shí)際同步相位。假設(shè)在一個(gè)碼片范圍內(nèi)對接收 PN序列進(jìn)行Ns點(diǎn)采樣，利用本地PN碼分別左右移位n＜Ns個(gè)采樣點(diǎn)構(gòu)成超前滯后相關(guān)器，只要本地移位后的PN序列和輸入PN序列相位差不超過 ±Tc/2，則這些超前滯后相關(guān)器輸出值構(gòu)成圖1的相關(guān)曲線和鑒相曲線。在存在高斯白噪聲條件下利用最小二乘法將鑒相曲線-Tc/2＜τ0＜Tc/2范圍內(nèi)的點(diǎn)擬合成直線，設(shè)得到的直線方程為y=bx+a，那么本地和接收的PN序列的相位差[12,13]：

3 分段迭代最小二乘法

文獻(xiàn)[12]提出的基于LS算法的精確同步方法對粗同步有較高的要求，在粗同步誤差大于Ns-n個(gè)樣點(diǎn)時(shí)，擬合直線的數(shù)據(jù)部分來自鑒相曲線中間部分以外，該方法不再適用。以粗同步誤差向后偏移為例，此時(shí)鑒相曲線也相應(yīng)后移，當(dāng)偏移τ0＜Tc/2時(shí)鑒相曲線如圖2所示，其中τ為碼元周期的相對值。

如果粗同步誤差在一定范圍內(nèi)時(shí)采用式(1)方法得到的估計(jì)值的絕對值總小于實(shí)際誤差，那么在此范圍內(nèi)采用迭代的方法不斷修正粗同步誤差可以最終獲得精確值。假設(shè)在0＜τ≤Tc/2范圍內(nèi)進(jìn)行η點(diǎn)采樣，即Tc/2=ηTs，且這些點(diǎn)全部用于擬合鑒相曲線，也即n=Ns=2η+1。為簡化起見，假設(shè)τ0=mTs, 0＜m＜η，此時(shí)x和y滿足式(2)。

圖2 存在同步偏移時(shí)的鑒相曲線

其中R(0)=1-1/(2η+1)。

當(dāng)粗同步誤差為0時(shí)，理想情況下最小二乘法估計(jì)相位也為0。當(dāng)存在右移移位0＜τ0＜Tc/2時(shí)，LS算法表示為式(3)的形式。

其中K=2η(2η+1)(4η+1)/3。

當(dāng) 0＜i＜m時(shí)滿足(i-η)(m-i)＜ 0和(m-i)＞0 ，所以式(3)估計(jì)的相位滿足不等式(4)。

不等式(4)最后一項(xiàng)相當(dāng)于粗同步誤差為0時(shí)鑒相曲線直線部分下移bm，相應(yīng)地，等效于于此直線右移m。所以由式(4)可知在右移半個(gè)碼片范圍內(nèi)LS算法得到的估計(jì)值在零點(diǎn)和實(shí)際值之間。同理，當(dāng)移位-Tc/2＜τ0＜ 0 時(shí)，估計(jì)值在實(shí)際值和零點(diǎn)之間。根據(jù)此性質(zhì)，本文提出采用迭代LS算法的精同步方法，該方法在每次迭代過程中將前次估計(jì)值作為新的零點(diǎn)，直到前后兩次估計(jì)值誤差絕對值小于ε時(shí)停止迭代，其中ε為設(shè)置的誤差容忍度。該方法實(shí)現(xiàn)流程如表1所示。

根據(jù)文獻(xiàn)[7]同步序列的長度不大于 2.3311/Δw時(shí)相關(guān)函數(shù)基本不受頻偏的影響。因?yàn)殍b相曲線由相關(guān)函數(shù)唯一決定，所以此時(shí)鑒相曲線也能很大程度上消除頻偏的影響。設(shè)發(fā)送信號(hào)為x(i)=C(i)，碼片周期為Tc，碼長為M，過采樣率為Ns,fs為采樣頻率，相應(yīng)的采樣周期為Ts，假設(shè)載波初始相位為0,n(i)為高斯白噪聲，Nc為分的段數(shù)，分段相關(guān)函數(shù)表達(dá)式為

表1 迭代最小二乘法同步方法流程

4 抗噪聲性能分析

基于迭代 LS算法的精確同步方法對抗噪性能主要取決于兩項(xiàng)內(nèi)容：偽碼分段相關(guān)取模的抗噪聲能力和LS算法的抗噪聲能力。噪聲主要體現(xiàn)在對原信號(hào)期望和方差的影響上，本節(jié)將從這兩個(gè)方面進(jìn)行具體分析。

4.1 偽碼相關(guān)抗噪性能

式(5)的互相關(guān)函數(shù)可以表示為理想互相關(guān)函數(shù)和噪聲項(xiàng)兩部分，分別為(iTs)中信號(hào)和噪聲與本地偽碼的相關(guān)函數(shù)。因?yàn)閿M合直線利用鑒相曲線零點(diǎn)附近數(shù)值，此時(shí)R(τ≈0)≈MNs，噪聲項(xiàng)服從N(0,MNsδ2)。相關(guān)函數(shù)的SNR為MNsδ2，可見相關(guān)函數(shù)將SNR變?yōu)樵旁氡鹊腗Ns倍，所以選擇長的偽碼可以起到很強(qiáng)的降噪的作用。原最小二乘同步方法，在初始相位較大時(shí)，R(τ＞0)＜＜MNs，相關(guān)函數(shù)將 SNR 變?yōu)樵旁氡鹊腞(τ)倍，隨著初始相位τ的增大這種降噪能力越來越弱。

分段對相關(guān)函數(shù)分別在τ=0和τ≠0時(shí)引入的方差表示為式(6)[7]。

式(6)中兩式隨Nc增加而增大，隨L的增大而減小，所以在滿足抗頻偏性能要求時(shí)需盡可能地加大L。當(dāng)L和δ2都較大時(shí)，式(6)可以近似為兩個(gè)定值，相當(dāng)于引入了固定的噪聲功率，并且因?yàn)長較大所以這兩個(gè)定值都很小。綜上可知，相關(guān)函數(shù)具有消除噪聲影響的能力，分段雖然引入額外誤差，但是在L和δ2都較大時(shí)其影響相對于高斯噪聲的影響較小，對抗噪性能減弱程度不大。

4.2 LS算法抗噪性能

假設(shè)xi=i-η,yi=Di+ni，其中Di為鑒相曲線的某個(gè)數(shù)據(jù)，ni為獨(dú)立同分布的高斯白噪聲滿足ni～N(0,δ2)，其中δ2為噪聲功率。結(jié)合式(1)和式(2)得到估計(jì)值如式(7)。

綜上，本文方法中偽碼相關(guān)函數(shù)和LS算法都有降噪的作用，降噪能力隨序列長度M，過采樣數(shù)Ns和擬合直線的點(diǎn)數(shù)n=2η+1的增大而增強(qiáng)，分段引入額外方差，此方差值在L較大時(shí)為很小的定值。

5 數(shù)值仿真分析

5.1 不同初始相位下迭代誤差仿真

選擇長度為M=511的PN碼，其生成多項(xiàng)式g(x)，設(shè)置相對采樣頻率歸一化頻偏Δw，初始相位Δτ，容忍度ε，信噪比SNR，如表2所示。

表2 仿真參數(shù)

對本文方法收斂速度進(jìn)行仿真，該方法在 1-7次迭代過程中的誤差曲線如圖3所示。

圖3 迭代收斂曲線

由圖3可以看出在初始誤差小于4個(gè)采樣周期的情況下，經(jīng)過迭代測量誤差最終都能收斂到半個(gè)采樣周期以內(nèi)，并且迭代5次以后都能夠得到收斂。同時(shí)可以看出隨著初始相位的增大，需要更多的迭代次數(shù)才能達(dá)到收斂，并且收斂后誤差也較大，但是大多數(shù)情況下，粗同步能夠?qū)⒍〞r(shí)誤差控制在1-2個(gè)采樣周期內(nèi)，此時(shí)本文方法能夠獲得很高的測量精度。同時(shí)看到可以設(shè)置固定的迭代次數(shù)，以避免設(shè)置不恰當(dāng)?shù)牡K止誤差容忍度，當(dāng)達(dá)到一定迭代次數(shù)后誤差都會(huì)收斂到較小的范圍。

5.2 不同初始相位同步精度仿真

設(shè)置參數(shù)，設(shè)置 PN 碼初始相位為0≤Δτ≤5Ts，其他參數(shù)同表2，本文方法與文獻(xiàn)[6]，文獻(xiàn)[8]及文獻(xiàn)[12]方法的相對Ts歸一化測量誤差如表3所示。

由表3可以看出文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[8]同步方法測量性能基本一致，且在初始相位為1個(gè)樣點(diǎn)時(shí)能達(dá)到1/2個(gè)采樣周期的測量精度。在初始相位較小時(shí) 4種算法都能獲得不錯(cuò)的測量性能，但是隨著初始相位的增大，超過2個(gè)樣點(diǎn)之后前3種算法測量誤差急劇增加。文獻(xiàn)[12]同步方法當(dāng)初始相位超過3個(gè)樣點(diǎn)即1/3個(gè)碼片長度時(shí)測量誤差已經(jīng)超過一個(gè)采樣點(diǎn)，無法滿足精確同步的要求。而本文算法在初始相位為4個(gè)樣點(diǎn)時(shí)依然能夠獲得分?jǐn)?shù)倍采樣周期的定時(shí)精度，性能最優(yōu)。在初始相位超過1/2碼片長度時(shí)，本文方法有放大誤差的作用，這是因?yàn)榇藭r(shí)最小二乘法估計(jì)值朝誤差放大的方向，迭代次數(shù)越多性能越差。粗同步通?？梢詫⒄`差控制在正負(fù)半個(gè)碼片范圍內(nèi)，在此范圍內(nèi)本文方法可以獲得良好的性能。

表3 不同初始相位測量誤差對比

在實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度方面，文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[8]方法需要(3/2)Nslog2Ns+Ns次乘法運(yùn)算，以及 3Nslog2Ns次加法運(yùn)算。根據(jù)式(1)可知本文方法單次迭代需要3Ns次乘加運(yùn)算和 1次除法運(yùn)算，以及迭代終止判決的1次減法運(yùn)算?？梢姳疚姆椒ㄔ趩未芜\(yùn)算中只比最小二乘法多1次減法，而總體運(yùn)算復(fù)雜度為單次運(yùn)算復(fù)雜度和迭代次數(shù)的乘積，本文方法復(fù)雜度顯著低于前兩種方法，更有利于工程實(shí)現(xiàn)。

5.3 不同信噪比同步精度仿真

設(shè)置參數(shù)，設(shè)置 PN碼的初始相位為 Δτ=1.5Ts，信噪比SNR=-16～8 dB，其他參數(shù)同表2。本文方法與文獻(xiàn)[6]，文獻(xiàn)[8]以及文獻(xiàn)[12]方法在不同信噪比條件下的相對Ts歸一化測量誤差如表 4所示。

表4 不同信噪比下測量誤差對比

設(shè)置參數(shù)，設(shè)置初始相位為0≤Δτ≤5Ts，信噪比SNR=-10 dB，頻偏 Δw=1×10-3～4×10-3，其他參數(shù)同表2。本文方法的歸一化測量誤差如表5所示。

由表4可以看出沒有頻偏時(shí)文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[8]同步方法測量誤差隨信噪比變化不大，文獻(xiàn)[12]方法整體性能優(yōu)于前兩種方法，并隨SNR增大性能有所提升。本文方法和文獻(xiàn)[12]方法測量誤差具有相同的趨勢，且在高信噪比條件下性能一致，但是在低信噪比條件下本文方法性能更優(yōu)，可見本文方法具有更強(qiáng)的抗噪聲能力。

5.4 不同多普勒頻偏同步精度仿真

由表5可以看出頻偏幾乎不對本文方法測量精度造成影響，這是因?yàn)榧词箽w一化頻偏Δw=4×10-3，選擇的分段長度L=511/4」=128＜2.3311/Δw」=582，滿足鑒相曲線函數(shù)近似不變的條件。其中，分別表示向上取整和向下取整。

表5 不同Δw和初始相位本文方法的測量誤差

6 結(jié)束語

本文提出一種基于迭代最小二乘法的抗頻偏精確同步方法。該方法對粗同步精度有較低的要求，相對于原最小二乘測量方法具有更寬的適用范圍。文章引入分段相關(guān)取模抗頻偏的策略，在分段長度滿足一定條件時(shí)，測量性能幾乎可以不受頻偏的影響。分析和仿真都表明該方法具有很強(qiáng)的抗噪聲能力，在低信噪比和較大初始相位條件下依然能獲得很高的同步精度。該方法適用于衛(wèi)星通信和軍用通信等工作在低信噪比和大多普勒頻移的通信系統(tǒng)中，并且能夠很好地滿足其對同步精確的需求。

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