董 瑾

(華北電力大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京102206)

0 引 言

應(yīng)力松弛或彈性衰退是各種材料，特別是金屬材料在服役時(shí)出現(xiàn)的一種物理現(xiàn)象，是各種螺栓、彈簧等零部件的主要失效形式。汽輪機(jī)螺栓工作環(huán)境惡劣，在運(yùn)行中受到溫度、應(yīng)力和環(huán)境介質(zhì)的聯(lián)合作用，緊固螺栓在長(zhǎng)期高溫和應(yīng)力的作用下，內(nèi)部將發(fā)生與時(shí)間相關(guān)的塑性變形，由于總變形恒定，在塑性變形增加的同時(shí)，將引起彈性變形量的減少，使壓緊力下降。這種在恒定變形條件下，材料內(nèi)部的變形由彈性向非彈性的轉(zhuǎn)變，引起應(yīng)力隨時(shí)間下降的現(xiàn)象就是應(yīng)力松弛。金屬在高溫下抵抗松弛的能力是材料重要的高溫強(qiáng)度性能指標(biāo)，在零件的設(shè)計(jì)中松弛性能是選材依據(jù)之一，為了保證設(shè)備安全運(yùn)行，研究金屬的應(yīng)力松弛行為有很重要的意義，而且“應(yīng)力松弛及彈性衰退”也是材料科學(xué)與工程中基礎(chǔ)理論研究的一個(gè)重要課題。然而，為了獲取高溫金屬材料的應(yīng)力松弛性能參數(shù)，必須進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的松弛試驗(yàn)，因此研究一種普遍的簡(jiǎn)便可行而不失科學(xué)性的高溫設(shè)計(jì)方法來表征應(yīng)力松弛行為和預(yù)測(cè)長(zhǎng)時(shí)剩余應(yīng)力成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)［1～3］。

本文以應(yīng)力松弛的基本特性為基礎(chǔ)，依據(jù)松弛第一、第二定律，提出一種用以預(yù)測(cè)應(yīng)力松弛行為過程的動(dòng)力學(xué)方程式。該數(shù)學(xué)表達(dá)式可以完整地反映出松弛初期和長(zhǎng)時(shí)間以后的松弛行為，可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)確定出相同溫度下、不同初應(yīng)力時(shí)的應(yīng)力松弛曲線，從而避免了長(zhǎng)時(shí)的應(yīng)力松弛試驗(yàn) (一般需105h)，具有很大的工程實(shí)際意義。

1 應(yīng)力松弛的動(dòng)力學(xué)

1.1 典型應(yīng)力松弛曲線分析

應(yīng)力松弛動(dòng)力學(xué)主要研究該過程的速度快慢及松弛到何種程度的影響因素，它對(duì)零部件的生產(chǎn)和應(yīng)用有重要意義。應(yīng)力松弛的基本機(jī)理目前尚不十分清楚，但其應(yīng)力松弛行為，從典型松弛曲線可以看出通常具有以下基本特征:松弛初期，試樣內(nèi)的剩余應(yīng)力急劇降低，但隨時(shí)間增加，松弛速度逐漸減緩;松弛速度隨初應(yīng)力增加而增加，長(zhǎng)時(shí)間后的不同初應(yīng)力下的剩余應(yīng)力將相互接近，并以松弛極限σr為其漸近值，即初應(yīng)力的大小對(duì)剩余應(yīng)力的影響在松弛初期顯著，而對(duì)長(zhǎng)時(shí)間后逐漸減弱［3，4］。

1.2 應(yīng)力松弛第一、第二定律

在任一時(shí)間t，不同初應(yīng)力σ0和σ′0所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力下降量Δσ 和Δσ′ 之間具有簡(jiǎn)單的關(guān)系，即遵從松弛第一定律［3］:

式中:σt和σ′t是所選擇時(shí)間間隔內(nèi)的剩余應(yīng)力，σr為材料的松弛極限。根據(jù)這個(gè)定律即可由一條松弛曲線作出相同溫度下，任何初應(yīng)力的松弛曲線。

若對(duì)所有時(shí)間，式 (1)的比例關(guān)系保持不變，則初應(yīng)力為σ0的應(yīng)力松弛速率νr(即單位時(shí)間內(nèi)應(yīng)力松弛的幅度和初應(yīng)力為σ′0的松弛率ν′r一定與Δσ 和Δσ′ 成比例:

式 (2)稱為松弛第二定律。當(dāng)σr等于零時(shí)，式(1)和 (2)變?yōu)?/p>

即在任何時(shí)間，應(yīng)力下降量和松弛速率都與初應(yīng)力成比例。

2 應(yīng)力松弛動(dòng)力學(xué)方程式的建立

大量金屬材料的松弛實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制的應(yīng)力松弛曲線和回歸分析表明，松弛曲線可用回歸方程表示其規(guī)律性變化［5，6］:

式中:σ 為松弛t 時(shí)間的剩余應(yīng)力，MPa;a 為該直線方程與縱坐標(biāo)軸的交點(diǎn);b 為應(yīng)力松弛率，即該直線段的斜率;t 為松弛時(shí)間，h。

a、b 數(shù)值為與材料試驗(yàn)初始應(yīng)力σ0及試驗(yàn)溫度T 有關(guān)的常數(shù)。由式 (5)可知，從曲線或從回歸方程中確定了a、b 值，則任意時(shí)間t 下的剩余應(yīng)力σ 便可確定。上述應(yīng)力松弛動(dòng)力學(xué)對(duì)數(shù)方程式，對(duì)于松弛Ⅰ、Ⅱ階段均適用。對(duì)于松弛Ⅰ階段的松弛時(shí)間較短，其松弛過程主要體現(xiàn)為第Ⅱ階段，采用該方程更為方便。

松弛極限σr一般很難得到，因?yàn)閷?duì)于大多數(shù)金屬材料來講，其值較小，通常并不直接用松弛極限來評(píng)定材料的抗松弛性能。Cr-Mo 鋼和Cr-Mo-W 鋼研究表明，在經(jīng)過相當(dāng)長(zhǎng)的實(shí)驗(yàn)時(shí)間，應(yīng)力持續(xù)明顯下降，且仍然看不到松弛的下限應(yīng)力［4］。

對(duì)于汽輪機(jī)螺栓Cr-Mo-V 熱強(qiáng)鋼，當(dāng)忽略松弛極限時(shí)，式 (3)可變?yōu)?/p>

將式 (5)帶入式 (6)，可得:

式 (7)即是借助于松弛的經(jīng)驗(yàn)公式和松弛第一、二定律本文提出的應(yīng)力松弛動(dòng)力學(xué)方程式。使用該方程式即可由某初應(yīng)力下的松弛曲線，通過回歸確定各材料常數(shù)，來預(yù)測(cè)相同溫度下不同初應(yīng)力時(shí)的松弛行為以及對(duì)短時(shí)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行外推。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果的擬合及分析

為證明式 (5)和 (7)的合理性與正確性以及是否適用于汽輪機(jī)螺栓材料，現(xiàn)利用實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行擬合。圖 1 為 20Cr1Mo1VTiB 螺栓鋼538 ℃下的應(yīng)力松弛曲線，圖中有初應(yīng)力309 MPa 和226 MPa 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果［7］。由式 (5)對(duì)初應(yīng)力309 MPa 松弛實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行擬合，通過回歸分析確定材料常數(shù)a 和b 值分別為320.47 和12.80，從圖中可以看出，式 (5)用于松弛行為的描述具有很高的精度，與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好。然后把a(bǔ)、b 值代入式 (7)，利用該方程式作出初應(yīng)力226 MPa 的預(yù)測(cè)曲線，從圖中可以看出，與實(shí)際的應(yīng)力松弛試驗(yàn)結(jié)果有較好的吻合度，其相對(duì)誤差小于3 % ～5 %。

圖2 為25Cr2Mo1V 鋼550℃下的應(yīng)力松弛曲線，用前述方法首先對(duì)初應(yīng)力400 MPa 實(shí)驗(yàn)結(jié)果［7］進(jìn)行 擬 合，a、b 值 分 別 為363.66 和32.67，爾后作出初應(yīng)力300 MPa 的預(yù)測(cè)曲線。由于松弛初期實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)比較分散，擬合和預(yù)測(cè)曲線與數(shù)據(jù)點(diǎn)有一定偏離，但與松弛一定時(shí)間后的結(jié)果吻合較好。經(jīng)過與大量的Cr-Mo-V 汽輪機(jī)螺栓耐熱鋼的應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，均得到了良好的擬合結(jié)果，擬合精度較高，由此可以推斷本文提出的應(yīng)力松弛動(dòng)力學(xué)方程式的適用性，可以利用式 (5)和 (7)表達(dá)式對(duì)材料的松弛性能進(jìn)行分析。同時(shí)該表達(dá)式形式簡(jiǎn)單，易于擬合，并且可以方便地計(jì)算不同初應(yīng)力時(shí)的剩余應(yīng)力，便于工程應(yīng)用。

圖1 20Cr1Mo1VTiB 螺栓鋼的應(yīng)力松弛曲線(538℃)Fig.1 Stress relaxation curves of 20Cr1Mo1VTiB bolt steel (538℃)

4 松弛性能分析及討論

4.1 不同初應(yīng)力的松弛塑性應(yīng)變速率與時(shí)間的關(guān)系

一般認(rèn)為，金屬零件中產(chǎn)生應(yīng)力松弛主要是在總變形不變的條件下，一部份彈性變形轉(zhuǎn)變成塑性變形致使彈性力減小，彈性變形的減小與塑性變形的增加是同時(shí)等量進(jìn)行的，在彈性范圍內(nèi)加載時(shí)，應(yīng)力松弛過程可以表示為

圖2 25Cr2Mo1V 螺栓鋼的應(yīng)力松弛曲線 (550℃)Fig.2 Stress relaxation curves of 25Cr2Mo1V bolt steel(550℃)

式中，ε0為總變形，εe為彈性變形，εp為塑性變形。若設(shè)εe= σ/E，E 為材料彈性模量，上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，則得:

將式 (7)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，并代入式 (9)可得:

式 (7)表明塑性變形速率與初應(yīng)力和時(shí)間有關(guān)，在此，不同初應(yīng)力條件下的應(yīng)力松弛速率的關(guān)系滿足松弛第二定律。根據(jù)式 (10)可確定在不同的初應(yīng)力下，20Cr1Mo1VTiB 螺栓鋼538 ℃下的塑性變形速率與時(shí)間的關(guān)系曲線，如圖3 所示。從圖中可以看出，在加載后較短的時(shí)間內(nèi)，ε·p 急劇下降;相同的松弛時(shí)間，高初應(yīng)力的ε·p 要比低應(yīng)力的變形速率大，即ε·p 與總應(yīng)變的大小有關(guān);當(dāng)松弛一定時(shí)間后，由于材料的應(yīng)變硬化，塑性變形速率的下降速度逐漸變緩，并且逐漸趨于相近，即不同初應(yīng)力下的ε·p 幾乎與初應(yīng)力的大小無關(guān);同時(shí)ε·

p 的變化有趨于恒定值的趨勢(shì)，說明剩余應(yīng)力逐漸與松弛極限接近。

值得注意的是，在相同剩余應(yīng)力條件下，初應(yīng)力越大，松弛應(yīng)變速率越大，變形總量也越大(σ = σo- Eεp)，由于累積塑性應(yīng)變?cè)酱螅蚨斐傻膽?yīng)變硬化效果也越顯著，同時(shí)造成的材料塑性損傷也越大，這就要求在工程應(yīng)用時(shí)，在滿足剩余應(yīng)力的前提下，不能無限提高初應(yīng)力的水平。

圖3 20Cr1Mo1VTiB 鋼的關(guān)系曲線(538℃)Fig.3 curves of 20Cr1Mo1VTiB bolt steel(538℃)

4.2 不同初應(yīng)力的塑性應(yīng)變速率與剩余應(yīng)力的關(guān)系

由式 (5)可得:

將式 (11)代入式 (10)得:

式 (12)表明，ε·p 是σo和σ 的函數(shù)。

一般在研究應(yīng)力松弛時(shí)認(rèn)為，第二階段應(yīng)力下降速度逐漸減緩，當(dāng)忽略松弛極限σr時(shí)，剩余應(yīng)力σ 可用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算［3］，其經(jīng)驗(yàn)公式為

式中的σ*o 和τo分別為第二階段假定初始應(yīng)力和材料常數(shù)。由該式可得到塑性應(yīng)變速率的計(jì)算式為

由于認(rèn)為τo為常數(shù)，得到的ε·p 由σ 唯一確定，并成線性關(guān)系。文獻(xiàn)［4］的測(cè)試結(jié)果表明還應(yīng)與σ0有關(guān)，而按式 (13)，顯然無法正確得到松弛應(yīng)變速率

5 結(jié) 論

(1)以應(yīng)力松弛的基本特性為基礎(chǔ)，依據(jù)松弛第一、第二定律，提出了一種用以描述松弛全過程的應(yīng)力松弛動(dòng)力學(xué)方程式。多種螺栓材料Cr-Mo-V 鋼的試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果表明，該數(shù)學(xué)表達(dá)式可以完整地反映松弛行為，適應(yīng)性強(qiáng)，擬合精度較高，并且形式簡(jiǎn)單，便于工程應(yīng)用。

(2)該方程式能夠以一種初應(yīng)力下的應(yīng)力松弛曲線為基礎(chǔ)，來準(zhǔn)確預(yù)測(cè)確定出相同溫度下、不同初應(yīng)力時(shí)的應(yīng)力松弛曲線，能方便地進(jìn)行不同初應(yīng)力條件下的剩余應(yīng)力的預(yù)估，從而避免了長(zhǎng)時(shí)的應(yīng)力松弛試驗(yàn) (一般需105h)，具有很大的工程實(shí)際意義。

(3)利用E ε·p～t 關(guān)系曲線，研究了不同初應(yīng)力松弛塑性應(yīng)變速率隨時(shí)間的變化及其趨勢(shì)比較，其規(guī)律與現(xiàn)有的研究結(jié)果一致。由應(yīng)力松弛動(dòng)力學(xué)方程式導(dǎo)出的松弛應(yīng)變速率ε·p是初應(yīng)力σo和剩余應(yīng)力σ 的函數(shù)，這也與實(shí)驗(yàn)研究相吻合。

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