徐 川，姚錫凡，楊 屹

（華南理工大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州 510640）

當(dāng)今產(chǎn)品的系統(tǒng)設(shè)計走向復(fù)雜化，大規(guī)模化和多學(xué)科交叉化，而大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計通常是層次系統(tǒng)和非層次系統(tǒng)的混合系統(tǒng)。目標(biāo)級聯(lián)法（Analytical Target Cascading，ATC）是分解層次系統(tǒng)的有效優(yōu)化方法，但是對于混合系統(tǒng)，如果分解不當(dāng)就會造成父系統(tǒng)與子系統(tǒng)、子系統(tǒng)與子系統(tǒng)之間的信息交互聯(lián)系過多，增加TC的分解迭代次數(shù)，從而難以實現(xiàn)系統(tǒng)之間的協(xié)同優(yōu)化[1]。設(shè)計結(jié)構(gòu)矩陣（Design Structure Matrix，DSM）是用于產(chǎn)品開發(fā)過程進行規(guī)劃和分析的矩陣工具，對于分解非層次的耦合系統(tǒng)非常有效[2]。因此，將DSM和ATC方法結(jié)合，得出解決層次系統(tǒng)和非層次系統(tǒng)的混合系統(tǒng)的基于DSM的TC優(yōu)化方法。

1 目標(biāo)級聯(lián)法

目標(biāo)級聯(lián)法 （TC），又稱目標(biāo)級聯(lián)分析法（Analytical Target Cascading，ATC），是用于解決多層次系統(tǒng)的一種多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化方法。1999年由Michelena、Kim和Papalambros等人提出至今，TC應(yīng)用范圍不斷加大，優(yōu)化計算效率也不斷提高。TC方法是一種非集中式的分解協(xié)調(diào)多學(xué)科優(yōu)化方法，它按照對象功能或模塊等將需要研究的問題分解成層次結(jié)構(gòu)（見圖1），允許層次結(jié)構(gòu)中的各元素（子系統(tǒng)）自主決策，父代元素對子代元素（子代系統(tǒng)）的決策進行協(xié)調(diào)以使問題的目標(biāo)最優(yōu)化。其特征之一是目標(biāo)級聯(lián)，即系統(tǒng)中的父級系統(tǒng)為子系統(tǒng)設(shè)置目標(biāo)并將目標(biāo)傳遞給子系統(tǒng)，另外一個特征是分析，即子系統(tǒng)都有一個分析模塊來計算子系統(tǒng)的響應(yīng)。

圖1（a）將優(yōu)化系統(tǒng)分解為system-subsystem-component 3個層次。將 system、subsystem和 component統(tǒng)稱為元素（element），圖 1（c）為第 i層第 j元素 Eij與上層和下層信息交換圖。在TC規(guī)劃過程中，系統(tǒng)級的性能指標(biāo)或目標(biāo)值一旦確定，其下層各級元素的指標(biāo)或目標(biāo)值將逐級經(jīng)轉(zhuǎn)換得到[3]。目標(biāo)值的轉(zhuǎn)換過程是一個由上至下逐層分解的過程，該過程要求各層之間及同層元素之間能夠在一定的可控范圍內(nèi)相互協(xié)調(diào)，如果所有目標(biāo)值均到達要求，那么整個系統(tǒng)目標(biāo)也將在某種優(yōu)化程度上得到滿足，這一過程如圖1（b）所示。

2 設(shè)計結(jié)構(gòu)矩陣

設(shè)計結(jié)構(gòu)矩陣由Steward博士提出后，經(jīng)過改進從簡單DSM到分層DSM，現(xiàn)在廣泛用于復(fù)雜產(chǎn)品設(shè)計的任務(wù)簡化和優(yōu)化。DSM是一個排列順序相同的n階方陣，其維數(shù)表示設(shè)計任務(wù)的個數(shù)，對角線上的元素表示設(shè)計任務(wù)本身，其余元素為0或1，表示設(shè)計任務(wù)之間的信息聯(lián)系關(guān)系。“0”表示相互之間沒聯(lián)系，“1”表示相互之間有聯(lián)系[4]。

圖1 TC優(yōu)化流程圖Fig.1 TC optimization flow chart

表1 二值DSM示意圖Tab.1 Binary DSM schematic diagram

如表1所示，在二值DSM中：

通過確定設(shè)計任務(wù)之間的信息聯(lián)系并根據(jù)DSM的定義可以得到一個只有0，1數(shù)字的初始化DSM。對角線上方的“1”表示下一環(huán)節(jié)設(shè)計任務(wù)反饋信息給上一環(huán)節(jié)設(shè)計任務(wù)，即逆序。對角線下方的“1”表示上一環(huán)節(jié)設(shè)計任務(wù)傳遞信息給下一環(huán)節(jié)，即順序。初始化的DSM通過DSM運算（重構(gòu)、劃分、聚類等），實現(xiàn)任務(wù)重排、簡化、解耦或分解，以便系統(tǒng)求解。

3 基于DSM的ATC優(yōu)化模型

雖然目標(biāo)級聯(lián)（ATC）法是多層次非集中式的分解協(xié)調(diào)多學(xué)科優(yōu)化方法，但如果分解不當(dāng)就會造成任務(wù)間信息聯(lián)系過多，難以實現(xiàn)協(xié)同優(yōu)化，同時產(chǎn)生過多的信息交互，增加ATC迭代次數(shù)。對此，首先利用DSM（包括改進和分層DSM）來描述由多個子系統(tǒng)（服務(wù)）組成的ATC復(fù)雜耦合關(guān)系和管理優(yōu)化進程的任務(wù)順序（如圖2所示），通過DSM運算（如劃分、聚類等）對子系統(tǒng)及相互關(guān)系進行規(guī)劃和重組，實現(xiàn)任務(wù)重排、簡化、解耦、或分解，以便系統(tǒng)求解。

圖2 TC系統(tǒng)的DSM表示與規(guī)劃示意圖Fig.2 TC system DSM said and planning schematic diagram

4 實例分析

以齒輪減速器的設(shè)計優(yōu)化為例。減速器設(shè)計優(yōu)化的目標(biāo)是在滿足齒的彎曲應(yīng)力、接觸應(yīng)力以及軸的扭轉(zhuǎn)變形、應(yīng)力約束和齒輪幾何約束的條件下，使齒輪減速器的體積最小。

圖3為二級減速器的主要結(jié)構(gòu)，首先利用DSM分析減速器內(nèi)部零部件之間的相互聯(lián)系，找出設(shè)計主體及設(shè)計先后順序，然后運用目標(biāo)級聯(lián)進行層次優(yōu)化，以此達到優(yōu)化目的。

圖3 二級減速器主要結(jié)構(gòu)Fig.3 Secondary reducer main structure

圖4是二級減速器各零部件相互間的信息聯(lián)系，建立其對應(yīng)的初始DSM，如表2所示，按照DSM重構(gòu)的基本原則，使DSM盡可能成為下三角矩陣，由此得到重構(gòu)的DSM[5]，如表3所示。

圖4 二級減速器各零部件之間的信息聯(lián)系Fig.4 Secondary reducer between components of information contact

由重構(gòu)DSM可知，聯(lián)軸器D不需要其他零部件為其提供任何信息，因此聯(lián)軸器D最早設(shè)計完成。箱體E需要其他零部件為其提供設(shè)計信息，因此箱體E放在其他學(xué)科設(shè)計之后設(shè)計。高速軸A，中間軸B和低速軸C，他們相互耦合，設(shè)計C時既要考慮到A又要考慮到B，因此將A，B，C看成一個整體來設(shè)計執(zhí)行。由此可以得出減速器的設(shè)計及加工的層次結(jié)構(gòu)。

表2 初始DSMTab.2 Reconstruction DSM

表3 重構(gòu)DSMTab.3 Initial DSM

經(jīng)過DSM重組從而理清各零部件的相互聯(lián)系，便于利用目標(biāo)級聯(lián)法進行系統(tǒng)求解。從圖5中可以得知減速器設(shè)計主要是設(shè)計軸，只要使得高速軸、中間軸、低速軸以及齒輪之間結(jié)構(gòu)最緊湊就會使整個減速器的體積最小，重量最輕。

圖5 減速器設(shè)計及加工層次結(jié)構(gòu)Fig.5 Reducer design and processing hierarchical structure

根據(jù)ATC的設(shè)計思想，將減速器的優(yōu)化設(shè)計分為外觀層和內(nèi)部層。外觀層的任務(wù)是設(shè)計箱體尺寸，使得整個減速器的外觀尺寸滿足要求。內(nèi)部層的任務(wù)是設(shè)計高速軸、中間軸、低速軸及齒輪的尺寸，使得減速器整個內(nèi)部結(jié)構(gòu)緊湊。因此也可以看出外觀層和內(nèi)部層的尺寸是相互影響的。

圖6 基于ATC的減速器設(shè)計優(yōu)化模型Fig.6 Based on the ATC reducer design optimization model

圖6是基于ATC思想建立的減速器設(shè)計優(yōu)化模型。其數(shù)學(xué)模型[6]為

如果設(shè)定 T0=0.5，0≤===≤0.5，0≤===≤0.5，2.6≤x1≤3.6，0.7≤x2≤0.8，17≤x3≤28，7.3≤x4≤8.3，7.3≤x5≤8.3，2.9≤x6≤3.9，5.0≤x7≤5.5。 則可以得到優(yōu)化結(jié)果，如表3所示。

表3 設(shè)計優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Result of design optimization

5 結(jié)束語

目標(biāo)級聯(lián)法常常解決大規(guī)模多層次的系統(tǒng)優(yōu)化，由于大規(guī)?；旌蠈哟蜗到y(tǒng)通常復(fù)雜，直接利用目標(biāo)級聯(lián)法很難理清層次關(guān)系和系統(tǒng)所需要解決重要問題。文中利用結(jié)構(gòu)設(shè)計矩陣解決復(fù)雜耦合關(guān)系的優(yōu)點，在應(yīng)用目標(biāo)級聯(lián)法解決問題之前利用結(jié)構(gòu)設(shè)計矩陣運算減少信息交互，理清系統(tǒng)的復(fù)雜關(guān)系。然后以齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計為例驗證，得出齒輪減速器的設(shè)計重點。

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