章 敏

(安徽建筑大學(xué) 數(shù)理系，安徽 合肥 230022)

1 經(jīng)典多普勒效應(yīng)

1.1 波源靜止，觀測(cè)者運(yùn)動(dòng)

波在介質(zhì)的速度為u，波源靜止，觀測(cè)者在介質(zhì)的速度為v觀，波相對(duì)于觀測(cè)者的速度為u+v觀，觀測(cè)者接收的頻率為

1.2 波源運(yùn)動(dòng)，觀測(cè)者靜止

波在介質(zhì)的速度為u，但由于波源的運(yùn)動(dòng)，波長(zhǎng)速短了λ-v源T。具體解釋如下：當(dāng)波源靜止時(shí)，前后相鄰兩個(gè)等相面間的距離為λ，但當(dāng)波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，前一個(gè)等相面自波源出發(fā)后，就以速度v源行進(jìn)，在后一個(gè)等相面自波源出發(fā)時(shí)，波源已向前移動(dòng)了v源T，這時(shí)兩個(gè)等相面間的距離為λ-v源T，及波長(zhǎng)變?yōu)棣?v源T。觀測(cè)者接收的頻率為

1.3 波源運(yùn)動(dòng)，觀測(cè)者運(yùn)動(dòng)

如果波源和觀測(cè)者遠(yuǎn)動(dòng)方向在同一直線上，結(jié)合前兩者的結(jié)論，觀測(cè)者接收的頻率為

如果波源和觀測(cè)者遠(yuǎn)動(dòng)方向不在同一直線上，那么情況更加復(fù)雜。可以將波源和觀測(cè)者速度沿著某一方向進(jìn)行分解，波源和觀測(cè)者速度在這個(gè)方向上的夾角分別是α和β，觀測(cè)者接收的頻率為

對(duì)該結(jié)論進(jìn)行討論可得出以下結(jié)果：1)v源和v觀在連線上運(yùn)動(dòng)，α=0，β=0，(1-4)式即化簡(jiǎn)為(1-3)式，即所說(shuō)的縱向多普勒效應(yīng)。而一般情況下v源和v觀不變，α，β是隨時(shí)間變化的，因此，γ'是時(shí)間的函數(shù)。2)當(dāng) u=v源，γ'=γ

的頻率與源與觀測(cè)者的相對(duì)速度有關(guān)。

2 相對(duì)論多普勒效應(yīng)

電磁波的速度在相同環(huán)境下傳播速度是相同的，電磁波的傳播速度等于光速，即γλ=c。對(duì)不同的參考系測(cè)得的波的頻率和波長(zhǎng)的乘積相同但頻率和波長(zhǎng)卻不同。

我們?nèi)∠鄬?duì)光源靜止的參考系為S系，相對(duì)于觀察者靜止的參考系為S'系，如圖。設(shè)光源位于S系的O點(diǎn)上，S系相對(duì)于S'系以速度v沿x正方向運(yùn)動(dòng)。相對(duì)于S系，在某一時(shí)刻t，光源發(fā)出某一相位的等相面，經(jīng)過(guò)時(shí)間光源又發(fā)出同一相位的等相面，用相對(duì)論語(yǔ)言就是：在S系的O點(diǎn)處，發(fā)生了兩個(gè)事件，且時(shí)間間隔為如圖。

對(duì)于S'系：第一個(gè)等相面發(fā)出的時(shí)刻為

第二個(gè)等相面發(fā)出的時(shí)刻為

第一個(gè)等相面發(fā)出的坐標(biāo)為

第二個(gè)等相面發(fā)出的時(shí)刻為：

因此，兩個(gè)等相面的時(shí)間間隔為：

則觀察者接收的頻率為：

對(duì)該結(jié)論進(jìn)行討論可得出以下結(jié)果：1)觀測(cè)者在相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向上，即即所說(shuō)的縱向多普勒效應(yīng)。2)觀測(cè)者垂直于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向上，即即所說(shuō)的橫向多普勒效應(yīng)。3)相對(duì)論多普勒效應(yīng)只與源與觀測(cè)者相對(duì)運(yùn)動(dòng)有關(guān)。4)當(dāng)與經(jīng)典情況下的結(jié)論一致，所以經(jīng)典理論和與相對(duì)論理論解釋多普勒效應(yīng)是自洽的。

3 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，運(yùn)用經(jīng)典理論和相對(duì)論理論，得出多普勒效應(yīng)的兩種不同表達(dá)形式。通過(guò)分析可得出以下結(jié)論：1.經(jīng)典多普勒效應(yīng)與源運(yùn)動(dòng)和觀測(cè)者運(yùn)動(dòng)都有關(guān)，且后兩者運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生多普勒效應(yīng)的機(jī)制也不同;而相對(duì)論多普勒效應(yīng)只與源與觀測(cè)者相對(duì)運(yùn)動(dòng)有關(guān)。2.在經(jīng)典多普勒效應(yīng)中，只考慮縱向多普勒效應(yīng);而相對(duì)論多普勒效應(yīng)，不僅有縱向多普勒效應(yīng)，也有橫向多普勒效應(yīng)。3.兩種理論分別適用于多普勒效應(yīng)的低速源、高速源，在極端情況下，兩者的結(jié)論是一致的。

[1]程守洙等，普通物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]張三慧等，大學(xué)物理學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，1999.

[3]顧建中，普通物理學(xué)簡(jiǎn)明教程[M].北京：人民教育出版社，1977.

[4]楊仲耆，大學(xué)物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1981.