呂端良 王云麗

(山東科技大學 泰安校區(qū)，山東 泰安 271000)

高等數(shù)學中微分中值定理的證明方法比較多，本文受高等數(shù)學(同濟五版)P132頁第13題啟發(fā)，通過構(gòu)造一個三階行列式輔助函數(shù)，應用Rolle微分中值定理，證明了Lagrangge微分中值定理和Cauchy微分中值定理。

定理 設函數(shù)f(x)、g(x)、h(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點 ζ，使得

則有該函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且根據(jù)行列式的性質(zhì)得

所以函數(shù)F(x)在區(qū)間[a，b]上滿足Rolle微分中值定理的條件，故由Rolle微分中值定理知，在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點 ζ，使得 F'(ζ)=0

又根據(jù)行列式的性質(zhì)及求導公式得F'(x)=

推論1.(Lagrange微分中值定理) 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點ζ使得

證明 構(gòu)造輔助函數(shù)，在定理1證明中的輔助函數(shù)F(x)里，令g(x)=x、h(x)=1，該定理就得到了證明。

推論2.(Cauchy微分中值定理) 設函數(shù)f(x)、g(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點ζ，使得

證明 構(gòu)造輔助函數(shù)，在定理1證明中的輔助函數(shù)F(x)里，令h(x)=1，該定理就得到了證明。

[1]同濟大學應用數(shù)學系.《高等數(shù)學》.高等教育出版社.2011.5