云 迪，劉 賀，張素梅

（1.吉林建筑工程學院 土木工程學院，長春 130118；2.吉林農(nóng)業(yè)工程職業(yè)技術(shù)學院，吉林 四平 136001；3.哈爾濱工業(yè)大學 土木工程學院，哈爾濱 150090）

0 引 言

自我國于1990年首次將鋼管混凝土作為拱肋用于公路橋梁建設(shè)以來，鋼管混凝土拱橋發(fā)展迅猛，2000年后鋼管混凝土拱橋超越鋼筋混凝土拱橋和鋼拱橋成為中國修建數(shù)量最多的拱橋橋型。已建成的跨徑在百米以上的鋼管混凝土拱橋占56.3%，即已有的鋼管混凝土拱橋多屬于大跨徑橋梁［1］。

鋼管混凝土拱橋較大的跨寬比、較小的構(gòu)件截面尺寸、良好的面內(nèi)整體性等特點使其面外剛度相對較弱。為了提高鋼管混凝土拱橋的面外剛度，改善其結(jié)構(gòu)性能，對橋型及結(jié)構(gòu)參數(shù)進行了研究，提出了提籃拱、鋼管－鋼管混凝土復(fù)合拱、單肋斜撐拱等新橋型，確定了拱肋矢跨比、拱肋截面、橫撐布置等影響拱橋橫向剛度的重要結(jié)構(gòu)參數(shù)。對上述結(jié)構(gòu)參數(shù)進行研究時，動力特性分析以其快速直觀的特點得到重點研究，自振頻率及振型作為動力特性分析的重要指標被廣泛用于評價結(jié)構(gòu)參數(shù)取值的合理性［2-5］。

根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學原理，結(jié)構(gòu)自振特性僅與結(jié)構(gòu)彈性剛度矩陣和質(zhì)量矩陣有關(guān)，而結(jié)構(gòu)在外荷載作用下剛度降低，結(jié)構(gòu)剛度矩陣發(fā)生變化，僅依據(jù)自振特性分析結(jié)果評定結(jié)構(gòu)參數(shù)取值的合理性欠妥。研究鋼管混凝土拱橋穩(wěn)定性的一個常用方法是非線性穩(wěn)定分析，該方法基于實際構(gòu)件的失穩(wěn)屬于二類穩(wěn)定問題，即極值點失穩(wěn)問題，分析過程中綜合考慮結(jié)構(gòu)幾何非線性與材料非線性的雙重影響，可以更精確地定量反映結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定性。由于該方法較彈性分析復(fù)雜費時，一般僅用于研究幾何非線性和材料非線性對成橋穩(wěn)定性的影響程度或研究不同拱肋模型對成橋穩(wěn)定性的影響，很少用于結(jié)構(gòu)參數(shù)的討論［6-7］。

為彌補自振特性分析無法考慮荷載工況對結(jié)構(gòu)剛度矩陣的影響，利用彈性穩(wěn)定性分析快速省時的優(yōu)點初步對一360m跨中承式鋼管混凝土拱橋的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)進行討論；之后綜合考慮幾何與材料雙重非線性的穩(wěn)定性分析對自振特性及彈性穩(wěn)定性分析的結(jié)果進行驗證，研究了矢跨比及拱面內(nèi)傾角度對結(jié)構(gòu)靜動力性能的影響，提出了矢跨比及拱面內(nèi)傾角的建議取值區(qū)間。

1 有限元模型

本文以一座跨度為360m的中承式鋼管混凝土拱橋為算例，其為一計算跨徑l0＝344m的懸鏈線無鉸拱（拱軸系數(shù)m＝2、k＝1.317），矢跨比f／L＝1／4.5［8］。

該算例的主要結(jié)構(gòu)構(gòu)件包括：六肢桁式鋼管混凝土拱肋；圓鋼管桁架橫撐；間距為8m、極限抗拉強度為fu＝1670MPa的鍍鋅高強鋼絲束吊桿；間距為8m的鋼管混凝土立柱；計算跨徑為35.95m的工字形截面鋼橫梁；22cm厚的預(yù)制鋼筋混凝土橋面板（對于12cm厚的橋面鋪裝層，只計自重不計剛度）。各主要結(jié)構(gòu)構(gòu)件的材性及有限元單元類型見表1。鋼材及混凝土的相關(guān)材料力學性能指標均按照現(xiàn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范取值；拱肋鋼管混凝土弦管的組合材料模型及材性依據(jù)文獻［9－10］確定。文獻［10］分別對文獻［11－12］的拱肋模型進行了雙重非線性有限元分析，并與文獻［11－12］給出的試驗結(jié)果進行了對比，吻合良好。本文依據(jù)文獻［10］的分析結(jié)果，考慮到計算機求解耗費的機時及結(jié)果存儲空間等綜合因素，鋼管混凝土拱肋采用雙線性隨動強化材料模型。

圖1為全橋空間有限元模型，其拱腳嵌固；柔性吊桿與橋面系、柔性吊桿與拱肋均為鉸接；其他節(jié)點為剛接。

表1 結(jié)構(gòu)構(gòu)件表Table 1 Structural members

圖1 有限元模型Fig.1 Finite element model

2 自振特性及穩(wěn)定性分析

2.1 自振特性分析

自振特性分析實質(zhì)是以無阻尼振動為前提求解無外荷載作用時結(jié)構(gòu)的動力平衡方程。假定體系作簡諧振動將問題轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的廣義特征值問題［13］，即：

式中：［K］、［M］分別為結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣及結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量矩陣。

求解特征方程（1），得到結(jié)構(gòu)第i階自振頻率ωi及相應(yīng)振動模態(tài)的振型向量｛φ｝i。

鋼管混凝土拱橋已有動力特性分析表明：一般地，結(jié)構(gòu)前幾階自振頻率和振型對結(jié)構(gòu)自振特性起控制作用，只需求解結(jié)構(gòu)前幾階自振頻率和振型即可滿足工程要求［3-4］。根據(jù)算例的結(jié)構(gòu)特點，本文采用子空間迭代法求解方程（1），得到算例的前六階自振頻率及振型如圖2所示，主要包括面外振型（1階）、面內(nèi)振型（2、4階）以及面內(nèi)外耦合振型（3、5、6階）三類振型。

圖2 自振頻率及振型Fig.2 Fundamental frequencies and modes

算例的自振特性分析表明：①面外橫向振動先于面內(nèi)豎向振動出現(xiàn)，結(jié)構(gòu)面外與面內(nèi)基頻之比為0.2853／0.4334＝0.7，體現(xiàn)了大跨鋼管混凝土拱橋面外橫向剛度弱的特點；②面外對稱振型早于反對稱振型出現(xiàn)，振動特性與梁相近；面外橫向振型中，拱肋與橋面異步振動早于二者同步振型，說明橋面剛度對結(jié)構(gòu)面外剛度有一定貢獻；③面內(nèi)振動首先出現(xiàn)面內(nèi)反對稱振型，體現(xiàn)了拱結(jié)構(gòu)的振動特性；吊桿與立柱于結(jié)構(gòu)面內(nèi)有效傳力，結(jié)構(gòu)面內(nèi)整體性更好，因此面內(nèi)振型均為拱肋與橋面同步。

2.2 彈性穩(wěn)定性分析

與結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動所體現(xiàn)的自振特性分析不同，彈性穩(wěn)定性分析考慮了可能使結(jié)構(gòu)剛度降低的外荷載作用，將幾何剛度矩陣引入結(jié)構(gòu)動力平衡方程，由振動頻率為0時結(jié)構(gòu)屈曲這一條件再次將問題轉(zhuǎn)化為如下特征值求解問題：

式中：［KG0］為基準荷載對應(yīng)的幾何剛度矩陣；λG為荷載因子或屈曲系數(shù)［14］。

求解特征方程（2），得到結(jié)構(gòu)第i階屈曲系數(shù)λi及相應(yīng)屈曲模態(tài)向量｛u｝i。其中，一階屈曲系數(shù)即為結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定系數(shù)，相應(yīng)的振型向量為結(jié)構(gòu)屈曲模態(tài)［11］。

依據(jù)現(xiàn)行《公路橋涵設(shè)計通用規(guī)范》（JTG D60－2004），算例計算荷載工況主要考慮了恒載、汽車荷載（公路－Ⅰ級）、人群荷載和風荷載。車道荷載表現(xiàn)為均布荷載加集中荷載的形式，雙向六車道取車道折減系數(shù)為0.55，縱向折減系數(shù)為0.97；人群活載3.5kPa，橫向布置于2m寬人行道內(nèi)，不進行車道折減；風荷載施加于迎風面拱肋節(jié)點。綜上，計算荷載工況見表2。

表2 荷載工況Table 2 Load cases

圖3為彈性穩(wěn)定系數(shù)－荷載工況散點圖，由于荷載分項系數(shù)取值的不同，工況1對應(yīng)的彈性穩(wěn)定系數(shù)明顯高于其余工況；其余工況盡管活載布載形式不同，但彈性穩(wěn)定系數(shù)非常接近。主要是因為大跨橋梁的恒載比重較大，對橋梁靜力性能起控制作用。在荷載工況作用下，算例均發(fā)生拱肋面外橫向反對稱屈曲，可見大跨鋼管混凝土拱橋面外剛度較弱。

2.3 非線性穩(wěn)定性分析

圖3 彈性穩(wěn)定系數(shù)－荷載工況散點圖Fig.3 Scatter points between elastic stability coefficient and load case

依據(jù)文獻［10］的分析結(jié)果，本文在對算例進行雙重非線性穩(wěn)定性分析時，以設(shè)計荷載為基準荷載，考慮橋面系的非保向力作用，等比例加載至結(jié)構(gòu)發(fā)生橫向失穩(wěn)破壞，將此時結(jié)構(gòu)基準荷載的倍數(shù)記為彈塑性穩(wěn)定系數(shù)，以λcr表示。

由結(jié)構(gòu)穩(wěn)定系數(shù)－荷載工況關(guān)系曲線（見圖4）可知，恒載對算例的穩(wěn)定系數(shù)起決定性作用；彈性穩(wěn)定系數(shù)與彈塑性穩(wěn)定系數(shù)變化趨勢相近，前者約為后者的2.70倍，說明非線性因素對算例穩(wěn)定系數(shù)的取值影響較大，但對其變化規(guī)律影響甚微。

圖4 穩(wěn)定系數(shù)－荷載工況關(guān)系曲線Fig.4 Relationship curves of stability coefficient－load cases

3 矢跨比的影響

3.1 矢跨比對自振特性的影響

算例矢跨比由1／2降至1／10，進行自振特性分析。分析結(jié)果顯示，面內(nèi)振型隨矢跨比的降低呈現(xiàn)提前的趨勢；矢跨比為1／2時，雖然結(jié)構(gòu)面內(nèi)外基頻之比有所增加（見圖5），但此時結(jié)構(gòu)高度大、剛度小，基頻較低；隨矢跨比的降低，拱肋與橋面系距離減小，吊桿、立柱等傳力構(gòu)件的線剛度隨之提高，對拱肋的約束作用加強，體現(xiàn)為面內(nèi)外基頻平緩加大（見圖5）；但降低矢跨比在提高拱肋橫向側(cè)傾約束的同時，結(jié)構(gòu)面內(nèi)整體性也在加大，因此基頻之比變化不大，基本在0.7左右浮動。

圖5 頻率／基頻之比－矢跨比關(guān)系曲線Fig.5 Natural frequencies－rise－to－span relationship curves

3.2 矢跨比對穩(wěn)定性的影響

算例矢跨比自1／2降至1／10，由彈性穩(wěn)定性分析得到表2中各荷載工況對應(yīng)的結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定系數(shù)λ－矢跨比f／L關(guān)系曲線如圖6所示，再次體現(xiàn)了恒載對穩(wěn)定性變化趨勢的控制作用，同時考慮到工況3作用下拱肋橫向剛度最弱［10］，本文后續(xù)分析均以工況3加載。

圖6 彈性穩(wěn)定系數(shù)－矢跨比關(guān)系曲線Fig.6 Relationship curves of elastic stability coefficient and rise-to-span ratio

以工況3為基準荷載，對算例進行雙重非線性穩(wěn)定分析，得到穩(wěn)定系數(shù)－矢跨比歸一化曲線如圖7所示?？梢?，彈性穩(wěn)定系數(shù)與彈塑性穩(wěn)定系數(shù)變化趨勢相近；與自振頻率的單調(diào)增加不同，穩(wěn)定系數(shù)隨矢跨比的降低呈現(xiàn)先增大再減小的變化趨勢，矢跨比f／L在1／4附近取值時，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定系數(shù)較大。

綜上，矢跨比對結(jié)構(gòu)自振特性和穩(wěn)定性的影響有所不同，僅靠自振特性的分析結(jié)果評價矢跨比的取值不全面。另外，拱圈材料用量隨矢跨比的降低而降低，矢跨比不超過1／4時，由于矢跨比不同造成的拱圈材料用量的差異小于10%［10］。因此，本文算例的矢跨比宜在1／4附近取值。

圖7 穩(wěn)定系數(shù)－矢跨比歸一化曲線Fig.7 Stability coefficient vs.rise-to-span unitary

4 拱面內(nèi)傾角的影響

以拱面與橋面的交線為軸，將算例的平行拱面向內(nèi)轉(zhuǎn)動一定角度得到提籃拱，并進行自振特性及工況3作用下的穩(wěn)定性分析。

4.1 拱面內(nèi)傾角對自振特性的影響

隨拱面內(nèi)傾角θ的增大，算例前10階振型中面內(nèi)振型的數(shù)量提高，面外振型的出現(xiàn)越來越晚、其階次逐漸變大；θ的變化主要對結(jié)構(gòu)面外一階振動及反對稱型耦合振動頻率影響較大，對面內(nèi)振動及對稱型耦合振動頻率影響很小。

以拱面平行（θ＝0°）時的基頻為基準，面外基頻隨θ的增大顯著提高，θ＝18°時提高幅度為57.3%；面內(nèi)基頻則略有降低，θ＝18°時約降低2%?？梢姡诒疚挠懻摰膮?shù)取值范圍內(nèi)，隨內(nèi)傾角的增加結(jié)構(gòu)面外剛度明顯改善，面內(nèi)剛度變化甚微。

4.2 拱面內(nèi)傾角對穩(wěn)定性的影響

不同拱面內(nèi)傾角對應(yīng)的穩(wěn)定系數(shù)計算結(jié)果見表3，可見由于幾何及材料非線性因素的影響，彈塑性穩(wěn)定系數(shù)明顯低于彈性穩(wěn)定系數(shù)。

隨θ的增加，算例彈性及彈塑性穩(wěn)定系數(shù)均有所增加，前者提高幅度可達5.0%（θ＝4°時），后者最大可提高約1.6%（θ＝6°時）；當內(nèi)傾角超過10～12°后，穩(wěn)定系數(shù)反而有所降低，說明拱肋內(nèi)傾后，拱頂附近橫撐剛度提高、結(jié)構(gòu)寬跨比增大、重心降低均對提高橫向面外剛度有利；但內(nèi)傾會使拱肋在受壓的同時產(chǎn)生附加扭矩，又對承載不利。

內(nèi)傾角的變化對彈塑性穩(wěn)定系數(shù)的影響不如對彈性穩(wěn)定系數(shù)的影響明顯，主要是因為考慮材料非線性后，拱肋中存在的內(nèi)力重分布使得結(jié)構(gòu)極限承載能力變化不大，但隨內(nèi)傾角的增加拱頂最大橫向位移顯著降低，體現(xiàn)了拱肋內(nèi)傾使結(jié)構(gòu)橫向剛度提高。

表3 內(nèi)傾拱穩(wěn)定系數(shù)Table 3 Stability coefficients of arch bridges with inclined ribs

5 結(jié) 論

（1）降低矢跨比對改善結(jié)構(gòu)自振特性有利，矢跨比越接近1／4，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定系數(shù)越高。實際設(shè)計時宜綜合自振特性、穩(wěn)定性的分析結(jié)果，并考慮拱圈材料用量決定矢跨比的取值。

（2）拱面內(nèi)傾可有效改善結(jié)構(gòu)面外剛度，表現(xiàn)為隨拱面內(nèi)傾角的加大面外基頻提高，設(shè)計荷載作用下拱肋橫向位移降低，但內(nèi)傾過大會產(chǎn)生較大的附加扭矩，結(jié)構(gòu)極限承載能力反而會有所降低。本文算例內(nèi)傾角越趨近于4°穩(wěn)定系數(shù)越高，內(nèi)傾角超過10°穩(wěn)定系數(shù)反而較拱肋平行時有所降低。

（3）由于非線性因素的影響，大跨徑鋼管混凝土拱橋彈塑性穩(wěn)定系數(shù)顯著低于其彈性穩(wěn)定系數(shù)，但二者的變化趨勢相近，彈性穩(wěn)定系數(shù)能在一定程度上反映結(jié)構(gòu)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響。因此，可在初步設(shè)計階段綜合自振特性與彈性穩(wěn)定分析的結(jié)果確定結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值，以達到既能考慮荷載作用對穩(wěn)定性的影響又能快速合理確定參數(shù)取值的目的。

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