朱光增，厲永旭，張永亮*，季 翔，朱海龍

(1. 蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730070；2. 甘肅交達(dá)工程檢測(cè)科技有限公司，蘭州 730070)

在基于位移的結(jié)構(gòu)有限元線彈性分析中，結(jié)構(gòu)響應(yīng)通常等效為一系列模態(tài)響應(yīng)的疊加[1].由于各階振型響應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)總響應(yīng)貢獻(xiàn)不一[2]，為提高計(jì)算效率，在滿足計(jì)算精度的情況下一般會(huì)忽略振型貢獻(xiàn)較低的振型，由此便涉及評(píng)價(jià)振型重要性的問題.在國(guó)內(nèi)外抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中，Wilson[3]提出的實(shí)振型質(zhì)量參與系數(shù)由于概念明確、計(jì)算簡(jiǎn)便而被廣泛應(yīng)用.但是實(shí)振型質(zhì)量參與系數(shù)法是以靜態(tài)基底剪力作為控制目標(biāo)，計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)局部動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，極有可能會(huì)遺漏對(duì)其他結(jié)構(gòu)響應(yīng)有顯著貢獻(xiàn)的高階振型，造成某些地震響應(yīng)量值偏小[4].另一方面，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)是地震動(dòng)能量輸入下基于結(jié)構(gòu)自振特性的一個(gè)能量輸出過程.而振型參與質(zhì)量?jī)H考慮結(jié)構(gòu)自振特性，無法考慮地震動(dòng)頻譜對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響，對(duì)于復(fù)雜大跨度拱橋結(jié)構(gòu)，因其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，構(gòu)件數(shù)量較大，所以地震反應(yīng)也較為復(fù)雜，高階振型對(duì)其地震反應(yīng)影響顯著[5-6].

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)結(jié)構(gòu)高階模態(tài)效應(yīng)開展了諸多研究，文獻(xiàn)[7-9]以高墩為例進(jìn)行了高階振型的定量分析.文獻(xiàn)[10]以某主跨(90+180+90) m矮塔斜拉橋?yàn)槔闷骄B(tài)應(yīng)變能系數(shù)對(duì)該橋的主導(dǎo)振型進(jìn)行了識(shí)別.文獻(xiàn)[11]以大跨網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)為例分析了高階振型對(duì)網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的影響.文獻(xiàn)[12]以上承式鋼桁拱橋?yàn)檠芯繉?duì)象，通過振型分解反應(yīng)譜法，分析了主控振型對(duì)大跨度鋼桁拱橋主拱圈縱向地震反應(yīng)的影響規(guī)律.

從既有文獻(xiàn)來看，目前學(xué)者對(duì)于結(jié)構(gòu)高階振型的研究大多集中在高墩，對(duì)非規(guī)則橋梁拱橋的研究較少.文獻(xiàn)[12]中以反應(yīng)譜法計(jì)算出拱橋在地震中各階振型最大響應(yīng)的最不利組合，計(jì)算結(jié)果偏大，未能精確考慮拱橋地震過程中的響應(yīng)歷程及地震動(dòng)對(duì)振型貢獻(xiàn)的影響.鑒于此，本文以某主跨490 m的上承式鋼桁拱橋?yàn)檠芯繉?duì)象，采用時(shí)程分析振型疊加法，分離出各主控振型對(duì)大跨度鋼桁拱橋的地震反應(yīng)，并對(duì)大跨鋼桁拱橋主拱圈高階振型的貢獻(xiàn)規(guī)律進(jìn)行了分析.

1 基于時(shí)程分析振型疊加法的各階模態(tài)響應(yīng)的計(jì)算方法

1.1 振型疊加法的基本原理

一致地震激勵(lì)下線彈性多自由度結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程由于振型對(duì)質(zhì)量矩陣及剛度矩陣的正交性，以及振型對(duì)阻尼矩陣的正交條件假設(shè)，可以對(duì)其進(jìn)行解耦，得到各個(gè)振型坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程如下所示：

(1)

式中：Mj為第j階振型質(zhì)量；Cj為第j階振型阻尼；Kj為第j階振型剛度；γj為結(jié)構(gòu)的第j階振型參與系數(shù).γj表達(dá)式為

(2)

由以上推導(dǎo)可以看出，采用振型疊加法可以將多自由度動(dòng)力反應(yīng)問題轉(zhuǎn)化為一系列單自由度體系的反應(yīng)問題.對(duì)于有上萬個(gè)自由度的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，若高階振型貢獻(xiàn)很小，則可以忽略，只計(jì)算少量振型，在保證計(jì)算精度的前提下大大加快了計(jì)算速度[13].

1.2 振型貢獻(xiàn)定量指標(biāo)

本文擬定先根據(jù)振型參與質(zhì)量系數(shù)篩選結(jié)構(gòu)整體主要振型，再在其中根據(jù)振型內(nèi)力貢獻(xiàn)率確定結(jié)構(gòu)局部區(qū)域主要振型.為此定義各階振型響應(yīng)為Hn,表達(dá)式為

Hn=Nn-Nn-1.

(3)

式中：Nn為結(jié)構(gòu)第n階地震總反應(yīng)；Nn-1為第n-1階地震總反應(yīng)；ρn為振型貢獻(xiàn)率，表達(dá)式為

(4)

式中：Hn,max為結(jié)構(gòu)第n階振型地震反應(yīng)最大值；Ntot,max為結(jié)構(gòu)地震總反應(yīng)最大值，各參數(shù)示意圖如圖1所示.

圖1 地震總響應(yīng)與第n階模態(tài)響應(yīng)示意圖Fig.1 Sketch map of total seismic response and the n thorder mode

1.3 主要振型貢獻(xiàn)的計(jì)算步驟

采用Midas civil建立大跨度鋼桁拱橋有限元模型，進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析，由各階模態(tài)的振型參與質(zhì)量系數(shù)確定主要振型；擬定振型阻尼比為0.03，分別計(jì)算拱橋i、i-1階振型下的地震總反應(yīng)峰值，并做差求出i階振型響應(yīng)峰值；根據(jù)確定的主要振型，依次求出每一階主要振型各個(gè)單元最大響應(yīng)值，計(jì)算出各單元主要振型內(nèi)力貢獻(xiàn)率.

2 計(jì)算模型介紹

2.1 工程背景

以某跨度為490 m的大跨度上承式鐵路鋼桁拱橋作為研究對(duì)象，橋梁總體布置如圖2所示.拱肋內(nèi)傾3.65°形成提籃拱，主拱圈由4片桁拱組成，每?jī)善M成一肋，兩片桁拱間距3.4 m，并通過橫桿連成整體[14].拱圈上設(shè)置13個(gè)立柱，上部梁體為鋼箱梁，每側(cè)相鄰兩鋼箱通過正交異性鋼橋面板、橫梁和橫肋形成分離式雙主鋼箱梁結(jié)構(gòu)形式.根據(jù)該橋?qū)嵉毓こ痰刭|(zhì)勘探資料及規(guī)范[15]劃分，橋址區(qū)工程場(chǎng)地類別為Ⅱ類，場(chǎng)地設(shè)防烈度為8度，場(chǎng)地特征周期為0.45 s，設(shè)計(jì)基本加速度為0.248 g.

圖2 鋼桁拱橋總體布置圖(單位：m) Fig.2 General arrangement of steel truss arch bridge (unit:m)

2.2 有限元模型

全橋采用Midas civil建立有限元質(zhì)點(diǎn)系模型，所有單元均采用空間梁?jiǎn)卧M(jìn)行模擬，拱腳、交界墩底固結(jié)，主拱圈與拱上立柱間采用彈性連接-剛性連接，拱上立柱與橋面系采用彈性連接，全橋共計(jì)1 037個(gè)節(jié)點(diǎn)、2 032個(gè)單元.將拱橋上弦桿單元沿X方向從左往右依次編號(hào)為1至41號(hào)，將下弦桿編號(hào)為1 000至1 038號(hào)，如圖3所示.

圖3 有限元?jiǎng)恿τ?jì)算模型Fig.3 Finite element dynamic calculation model

3 動(dòng)力特性分析

3.1 橋梁自振特性

對(duì)拱橋進(jìn)行動(dòng)力特性分析，在振型累計(jì)參與質(zhì)量達(dá)到90%所需最少振型中選取單階振型參與質(zhì)量大于0.2%的振型，如表1所列.

表1 部分顯著貢獻(xiàn)模態(tài)

由模態(tài)分析結(jié)果可以看出，拱橋X方向貢獻(xiàn)最為顯著的模態(tài)為第3階模態(tài)，當(dāng)振型階數(shù)達(dá)到161階時(shí)，順橋向累計(jì)振型參與質(zhì)量達(dá)到90%以上.立柱和拱肋振動(dòng)的振型總共有6階，累計(jì)振型參與質(zhì)量為57.95%，交界墩振動(dòng)的振型有5階，累計(jì)振型參與質(zhì)量為32.78%，由于交界墩振動(dòng)為自身振動(dòng)與拱圈及拱上建筑耦合性很小，故可以忽略交界墩振動(dòng)的振型對(duì)拱橋的影響,只考慮立柱及拱肋振動(dòng)的6階振型.為簡(jiǎn)化計(jì)算，提高計(jì)算效率，在立柱及拱肋振動(dòng)的3、15、19、20、64、109階振型中選取單階振型參與質(zhì)量大于2%的3、15、20、64階做為主要考察振型.

3.2 地震動(dòng)輸入

不同的地震波其頻譜特性往往不同，所能激發(fā)的結(jié)構(gòu)振型也不相同，而結(jié)構(gòu)的響應(yīng)正是由結(jié)構(gòu)所計(jì)算振型響應(yīng)的疊加，所以不同的地震波則會(huì)引起結(jié)構(gòu)不同的響應(yīng).規(guī)范[16]規(guī)定考慮到地震動(dòng)的隨機(jī)性，選擇的地震加速度時(shí)程曲線不應(yīng)少于3組.為考慮不同地震動(dòng)對(duì)振型貢獻(xiàn)的影響，根據(jù)該大跨鋼桁拱橋場(chǎng)地特征，選取安評(píng)波與特征周期相近的EI-centro波、Taft波作為輸入，地震波時(shí)程曲線如圖4所示.反應(yīng)譜是地震作用的表征，可以直觀地分析單自由度結(jié)構(gòu)在不同振型下的最大響應(yīng).為此將上述3條地震波轉(zhuǎn)化為阻尼比等于0.03的反應(yīng)譜曲線，并標(biāo)出拱橋縱向4階主要振型的反應(yīng)譜數(shù)值，反應(yīng)譜如圖5所示.

圖4 地震波Fig.4 Seismic wave

圖5 反應(yīng)譜Fig.5 Response spectrum

4 振型重要性分析

拱橋主拱圈是拱橋的主要承重結(jié)構(gòu)，也是抗震設(shè)計(jì)的主要關(guān)注對(duì)象，文獻(xiàn)[17]以本橋主拱圈為研究對(duì)象，探討了拱肋上、下弦桿主要內(nèi)力控制分量，結(jié)果表明拱肋上弦桿由彎矩和軸力控制，下弦桿由軸力控制.鑒于此本文主要考察拱肋上弦桿彎矩、軸力和下弦桿軸力中主要振型在總響應(yīng)中的貢獻(xiàn)情況.

在橋墩基底處沿X方向輸入地震波，步長(zhǎng)取0.02 s，假定振型阻尼比為0.03，分別取前200、300、400階振型計(jì)算拱肋上、下弦桿地震響應(yīng).計(jì)算得出當(dāng)計(jì)算振型大于200階時(shí)，其地震響應(yīng)已經(jīng)趨于穩(wěn)定，誤差較小，因此以300階振型的計(jì)算結(jié)果作為精確解，提取主拱圈上弦桿各個(gè)單元主要振型軸力、彎矩峰值和下弦桿軸力峰值，將各階振型響應(yīng)與拱橋總響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比分析.

4.1 主要振型內(nèi)力分布特征

以拱頂坐標(biāo)為原點(diǎn)，沿X方向繪制拱肋上弦桿(坐標(biāo)：-250～250 m/單元：1～41)、下弦桿(坐標(biāo)：-250～250 m/單元：1 000～1 038)各階振型貢獻(xiàn)圖.為直觀分析各階振型對(duì)上、下弦桿地震反應(yīng)的貢獻(xiàn)規(guī)律，計(jì)算出上、下弦桿各單元主要振型對(duì)總響應(yīng)的占比，繪制為堆積圖如圖6～14所示.

圖6 安評(píng)波上弦桿軸力貢獻(xiàn)率Fig.6 Axial force contribution of the safety evaluation upper chord wave

圖7 安評(píng)波上弦桿彎矩貢獻(xiàn)率Fig.7 Bending moment contribution of the safety evaluation of the upper wave chord

圖8 EI-centro波上弦桿軸力貢獻(xiàn)率Fig.8 Axial force contribution of the EI-centro upper chord wave

圖9 EI-centro波上弦桿彎矩貢獻(xiàn)率Fig.9 Bending moment contribution of the EI-centro upper chord wave

圖11 Taft波上弦桿彎矩貢獻(xiàn)率Fig.11 Bending moment contribution of the Taft wave upper chord

圖12 安評(píng)波下弦桿軸力貢獻(xiàn)率Fig.12 Axial force contribution of the safety evaluation wave lower chord

圖13 EI-centro波下弦桿軸力貢獻(xiàn)率Fig.13 Axial force contribution of the EI-centro wave lower chord

圖14 Taft波下弦桿軸力貢獻(xiàn)率Fig.14 Axial force contribution of the Taft wave lower chord

4.2 主要振型內(nèi)力貢獻(xiàn)率指標(biāo)

4.2.1 振型不同內(nèi)力分量差異指標(biāo)

為便于分析主拱圈上、下弦桿不同內(nèi)力分量主要振型貢獻(xiàn)規(guī)律，引入振型內(nèi)力貢獻(xiàn)率差值λ

(5)

式中：n為計(jì)算單元的個(gè)數(shù)；ρi,N、ρi,M分別為計(jì)算單元的振型軸力、彎矩貢獻(xiàn)率.繪制3條地震動(dòng)激勵(lì)下拱肋上弦桿主要振型軸力與彎矩貢獻(xiàn)率差值的絕對(duì)值如圖15所示.

圖15 主要振型不同內(nèi)力貢獻(xiàn)率差值Fig.15 Difference of internal force contribution rate of main vibration mode

4.2.2 控制振型階數(shù)指標(biāo)

我國(guó)規(guī)范[16]規(guī)定:對(duì)于墩高超過40 m、墩身一階振型有效質(zhì)量低于60%的橋梁需進(jìn)行專門研究.鑒于此，本文以拱肋上、下弦桿各單元總響應(yīng)的2/3作為控制指標(biāo)，若有1階振型貢獻(xiàn)大于總響應(yīng)的2/3,則認(rèn)為該單元為1階振型控制，除1階振型控制單元外，若有2階振型響應(yīng)和大于總響應(yīng)的2/3,則認(rèn)為該單元為2階振型控制，以此類推將拱肋上、下弦桿劃分為在1～3階振型控制區(qū)域.3條地震波激勵(lì)下拱橋上、下弦桿不同內(nèi)力分量的控制振型單元個(gè)數(shù)如表2所列.

表2 控制振型階數(shù)分布圖

1) 大跨度鋼桁拱橋，由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，振型眾多，不同于以往的單階振型主控，局部區(qū)域總響應(yīng)呈現(xiàn)出多階振型共同控制的現(xiàn)象.例如拱橋上弦桿軸力貢獻(xiàn)圖中1階振型控制單元數(shù)為25個(gè)，2、3階振型控制單元數(shù)為98個(gè)；拱橋上弦桿彎矩貢獻(xiàn)圖中1階振型控制單元數(shù)為34個(gè)，2、3階振型控制單元數(shù)為89個(gè)；拱橋下弦桿軸力貢獻(xiàn)圖中1階振型控制單元數(shù)為46個(gè)，2、3階振型控制單元數(shù)為71個(gè).下弦桿軸力單階控制振型單元個(gè)數(shù)要多于上弦桿.

2) 拱橋上弦桿同一區(qū)域，同一階振型貢獻(xiàn)率因內(nèi)力分量的不同而不同.由圖15可以看出，從拱橋上弦桿部位來看，上弦桿拱腳區(qū)域不同內(nèi)力分量下振型貢獻(xiàn)差異最大，最大值為EI-centro波第15階振型3號(hào)單元(-250～-200 m)114%.從加載的地震動(dòng)來看，3條地震波激勵(lì)下拱橋上弦桿同一階振型不同內(nèi)力分量貢獻(xiàn)率均不相同，但差異不大.安評(píng)波上弦桿振型內(nèi)力貢獻(xiàn)差值λ為18%，最大差值為3號(hào)單元(-250～200 m)15階振型88%；EI-centro波上弦桿振型內(nèi)力貢獻(xiàn)差值λ為20%，最大差值為3號(hào)單元15階振型114%；Taft波上弦桿振型內(nèi)力貢獻(xiàn)差值λ為21%，最大差值為38號(hào)單元(-250～-200 m)15階振型106%.

3) 拱橋上、下弦桿同一階振型貢獻(xiàn)率因區(qū)域不同而不同.從單個(gè)圖來看，以圖7為例，各階振型貢獻(xiàn)率在各個(gè)單元均不相同，差異最大單元為3階振型的1號(hào)(-250～-200 m)與6號(hào)(-200～-150 m)，差值69%.從拱橋上、下弦桿對(duì)比來看，以圖7、13為例，在拱肋-150～150 m區(qū)段內(nèi)，下弦桿3階振型軸力貢獻(xiàn)率明顯大于上弦桿3階振型軸力貢獻(xiàn)率，差異最大單元為上弦桿24號(hào)(0～50 m)與下弦桿1 023號(hào)(0～50 m)單元的3階振型貢獻(xiàn)率，差異值為75%.

4) 地震動(dòng)的輸入對(duì)振型貢獻(xiàn)率也存在影響.在3條地震波激勵(lì)下,對(duì)比安評(píng)波、EI-centro波結(jié)果，可以明顯看出Taft波第3階振型貢獻(xiàn)減小.由圖5反應(yīng)譜可以看出，安評(píng)波、EI-centro波第3階振型響應(yīng)為第15階振型響應(yīng)的1/4、2/7，而Taft波第3階振型響應(yīng)為0.05 g，是第15階振型響應(yīng)的1/8,遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他主要振型響應(yīng)，這直接導(dǎo)致了第3階振型貢獻(xiàn)率的減小.

5) 振型參與質(zhì)量系數(shù)是一個(gè)整體性指標(biāo)，與主要振型間存在定性的正相關(guān)關(guān)系，但對(duì)于拱橋局部區(qū)域，振型參與質(zhì)量最大的振型其內(nèi)力貢獻(xiàn)不一定最大.如拱橋振型參與質(zhì)量最大的振型階數(shù)為第3階振型，但在拱肋上弦桿彎矩貢獻(xiàn)圖的拱腳區(qū)域，均出現(xiàn)15階振型貢獻(xiàn)率大于3階振型的情況.圖8中拱腳區(qū)域37號(hào)(200～250 m)單元15階振型貢獻(xiàn)率最大為78%；圖10中拱腳區(qū)域3號(hào)(-250～-200 m)單元15階振型貢獻(xiàn)率最大為118%；圖12中拱腳區(qū)域37號(hào)(200～250 m)單元15階振型貢獻(xiàn)率最大為105%.

5 結(jié)論

本文以某490 m上承式鋼桁拱橋?yàn)檠芯繉?duì)象，根據(jù)時(shí)程分析振型疊加法的原理，分離出主要振型的時(shí)程響應(yīng)峰值，通過與總響應(yīng)的對(duì)比分析，得到了以下研究結(jié)論：

1) 大跨度鋼桁拱橋因構(gòu)件眾多、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，其上、下弦桿地震內(nèi)力以2階振型合計(jì)控制為主，1階振型單獨(dú)控制為輔，個(gè)別區(qū)域?yàn)?階振型合計(jì)控制.其中上弦桿由2階振型控制的單元數(shù)量明顯多于下弦桿.

2) 拱橋拱肋不同區(qū)域、不同內(nèi)力分量的同一階振型貢獻(xiàn)率均不相同，這表明振型參與質(zhì)量系數(shù)為結(jié)構(gòu)整體衡量指標(biāo)，對(duì)于復(fù)雜拱橋，振型參與質(zhì)量最大的振型其內(nèi)力貢獻(xiàn)對(duì)某一區(qū)域不一定最大，若精確分析高階振型的影響，應(yīng)對(duì)振型參與質(zhì)量大的振型進(jìn)行有效分離、單獨(dú)研究其貢獻(xiàn).

3) 在進(jìn)行大跨度復(fù)雜拱橋的時(shí)程分析時(shí)，高階振型對(duì)于總響應(yīng)的貢獻(xiàn)與地震動(dòng)的頻譜及結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性均有密切關(guān)系.

4) 研究結(jié)論可為采用逐步積分法進(jìn)行復(fù)雜鋼桁拱橋時(shí)程反應(yīng)分析時(shí)，Rayleigh阻尼矩陣參數(shù)計(jì)算時(shí)控制振型的選取提供參考.