李 力

（重慶清華中學(xué) 重慶 400054）

在普通物理的力學(xué)課程里，細(xì)線繞柱問(wèn)題比較常見(jiàn)，“如圖1，在光滑水平面上立一圓柱，在其上纏繞一根細(xì)線，線的另一頭系一個(gè)質(zhì)點(diǎn).起初將一段線拉直，橫向給質(zhì)點(diǎn)一個(gè)沖擊力，使它開始繞柱旋轉(zhuǎn).在此后的時(shí)間里線愈繞愈短，質(zhì)點(diǎn)的角速度怎樣變化？其角動(dòng)量守恒嗎？動(dòng)能守恒嗎？”［1］

圖1

圖2

筆者認(rèn)為上述解答中，“質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量減少”是對(duì)的，“角速度增大”也是正確的（此點(diǎn)說(shuō)理不夠充分），但“繩的張力做了功”和“動(dòng)能增加”則不對(duì).事實(shí)上，繩不斷地纏繞在光滑圓柱的過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)速度與細(xì)繩總是垂直的，從而繩的張力不做功，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能守恒，下面我們?cè)敿臃治?

把質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中細(xì)繩纏繞圓周的過(guò)程“回放”，不難意識(shí)到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡正是圓周的漸開線.數(shù)學(xué)上一般的平面封閉凸曲線C的漸開線是這樣定義的［2］：把繞在一個(gè)平面封閉凸曲線C上的不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩伸開，保持細(xì)繩與曲線C在將要離開的點(diǎn)相切，這時(shí)繩端畫出的運(yùn)動(dòng)軌跡L叫所繞曲線C的漸開線.

漸開線有一條重要性質(zhì)［2］即漸開線L在任一點(diǎn)的法線與所繞曲線C相切.而細(xì)繩與凸曲線C處處相切，所以，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的法線與細(xì)繩是重合的，這正是質(zhì)點(diǎn)速度（在運(yùn)動(dòng)軌跡的切線方向上）與細(xì)繩垂直的原因.

由于前述問(wèn)題中細(xì)線繞的是圓柱，所以，我們來(lái)證明圓的漸開線具有這條性質(zhì).如圖3，設(shè)定圓的中心為O，半徑為R，而A是繩子未拉開時(shí)繩端質(zhì)點(diǎn)的位置.現(xiàn)取O為原點(diǎn)，過(guò)O與A的直線為x軸.設(shè)M（x，y）是圓的漸開線上任意一點(diǎn)，這時(shí)繩子的一段為直線MT，且是圓的切線.令 ∠AOT＝θ，則漸開線的方程為［2］

圖3

x＝R（cosθ＋θsinθ）

y＝R（sinθ－θcosθ）

與M對(duì)應(yīng)的圓周上的動(dòng)點(diǎn)T的坐標(biāo)為xT＝Rcosθ，yT＝Rsinθ，所以，動(dòng)點(diǎn)T和M的速度分別為

易證：vT·v＝0，即vT與v互相垂直，這說(shuō)明漸開線上M點(diǎn)的切線與圓周上相應(yīng)點(diǎn)T的切線彼此垂直，也就是繩端質(zhì)點(diǎn)速度與繩子MT是垂直的.

同樣地，針對(duì)一般的封閉凸曲線，可以通過(guò)研究繩端質(zhì)點(diǎn)以及繩與所繞曲線的切點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)捷地證明漸開線的這條重要性質(zhì)，具體的證明可參看文獻(xiàn)［3］.

1 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理題解（上冊(cè)）.北京：高等教育出版社，2009.28

2 《數(shù)學(xué)手冊(cè)》編寫組.數(shù)學(xué)手冊(cè).北京：人民教育出版社，1979.379，380，400

3 李力.再談《物塊速度垂直于懸線的數(shù)學(xué)證明》.物理教師，2005.1