于 瀾，張 淼，鞠 偉，谷 濤

(1．長春工程學院理學院，吉林長春130012;2．中國第一汽車股份有限公司技術中心，吉林長春130011)

在許多動力問題中，質(zhì)量、阻尼和剛度陣不能被對稱或有自連接的微分算子所表達，這種現(xiàn)象經(jīng)常出現(xiàn)在主動控制結構和非保守動力系統(tǒng)中，如移動的汽車、飛行中的導彈或船體的運動等典型研究中．眾所周知，結構動力系統(tǒng)的無阻尼固有振型關于質(zhì)量陣和剛度陣是規(guī)范正交的，利用這種規(guī)范正交性可將振動方程解耦，以便于計算響應歷程［1］．除此之外，類似的正交規(guī)范性在其他工程領域中有著極為廣泛的應用．在結構模型修正時，在基于設計參數(shù)或矩陣元素的一類修正算法中，經(jīng)常使用無阻尼實模態(tài)的規(guī)范正交化條件作為約束來求解修正量［2-5］，最近也開始有文獻使用阻尼系統(tǒng)復模態(tài)的規(guī)范正交化條件來進行模型設計參數(shù)的修正［6-8］．通常在正交規(guī)范化條件使用時，令規(guī)范化常數(shù)為1，但在工程實際中這種規(guī)范化方法往往是不夠充分的，事實上，振型或狀態(tài)向量，在一個可控的數(shù)值乘數(shù)范圍內(nèi)并不唯一，因此，選擇合適的規(guī)范化常數(shù)，使其符合工程需求是十分必要的．文獻［9］、［10］描述過規(guī)范化常數(shù)的選擇方法，文獻［11］則利用規(guī)范正交化條件避免了特征分析中常見的奇異性．在此基礎上，本文分析了非保守系統(tǒng)復模態(tài)的正交性及特點，提出一種適合工程需求的規(guī)范化方法，并利用它推導出非保守系統(tǒng)復模態(tài)的靈敏度表達式，結果精確且易于實施，可以很有效地應用于結構的模型修正、損傷識別及優(yōu)化設計中．數(shù)值算例證明了這種算法的正確及有效性．

1 線性振動系統(tǒng)的左右模態(tài)

描述自由度為N的線性阻尼離散系統(tǒng)的自由振動的動力方程

如果si滿足

稱為系統(tǒng)(1)的第i個特征值，同時uiN稱為系統(tǒng)(1)與s相對應的第i個右模態(tài)，如果對vN，ii若滿足

稱為系統(tǒng)(1)的左模態(tài)．由式(3)、(4)可知，當性質(zhì)矩陣為對稱陣時，系統(tǒng)(1)的左、右模態(tài)是相同的，此時稱系統(tǒng)(1)為保守系統(tǒng)，但當性質(zhì)矩陣不是一般的對稱矩陣時，則稱系統(tǒng)(1)為非保守系統(tǒng)，它的右模態(tài)已不能滿足工程應用的需要，必須考慮同時使用它的左模態(tài)．本文正是針對非保守系統(tǒng)利用左、右模態(tài)的正交性討論其在結構優(yōu)化中的應用．

2 非保守系統(tǒng)左右模態(tài)的正交性

2．1 形如Ayy=0的狀態(tài)方程

設y(t)=(x(t)˙x(t))T代入方程(1)，則該二階系統(tǒng)轉化為一階系統(tǒng):

其中

稱為系統(tǒng)(1)的狀態(tài)矩陣．

2．2 狀態(tài)矩陣A的左、右狀態(tài)向量及其正交性

作拉普拉斯變換代入式(5)，則A(u s u)Test=s(u s u)Test，且s和u同樣滿足式(3)，由此可知原系統(tǒng)(1)的振動特征問題轉化為狀態(tài)矩陣A的一般特征問題:

其中si是A的第i個特征值，稱zi2N為 A 的第i個右狀態(tài)向量，它的前N維恰為振動系統(tǒng)(1)的與si對應的右模態(tài)向量ui，即zi=(uisiui)T．此時由于狀態(tài)矩陣不具有對稱性，導致它的右狀態(tài)向量系并不正交，為了進一步討論正交性，需引入狀態(tài)矩陣的左狀態(tài)向量系．

對向量yk2N，如果有

對不同的特征值，矩陣A的左、右狀態(tài)向量不僅滿足正交性，而且滿足關于矩陣A的加權正交性:

3 模態(tài)正交性在結構優(yōu)化靈敏度分析中的應用

假定形如方程(1)的結構系統(tǒng)能被一系列設計參數(shù)所描述，構成設計向量 g=(g1，g2，…，gm)T，系統(tǒng)的性質(zhì)矩陣變成g的函數(shù):M，C，K:g→ RRN×N．當系統(tǒng)修改時，g發(fā)生擾動為 Δg=(Δg1，Δg2，…，Δgm)T，其中 Δgj(j=1，…，m)是第 j個設計參數(shù)的擾動量．記偏導數(shù) ui，j= ?ui/?gjN代表第i個復模態(tài)ui關于第j個設計參數(shù)gj的靈敏度．作變化后的新系統(tǒng)模態(tài)uchangei的一階泰勒近似，得到

考慮式(7)所代表的特征問題，假定zl(l=1，…，2N)組成了A的右狀態(tài)空間的完全的右狀態(tài)向量系．在狀態(tài)空間內(nèi)展開zi，j如下:

其中 a(ij)l(l=1，…，2N)代表式(13)的展開式系數(shù)．顯然

為得到靈敏度ui，j，需求解各展開式系數(shù)．對式(7)求導得那么

把式(13)代入式(15)，可得

左乘yTk(k≠i)，依據(jù)非保守系統(tǒng)左、右狀態(tài)向量的加權正交性(式(11))及正交性(式(10))得到

再利用式(8)可得

化為N維模態(tài)空間形式為:

至此，雖然在討論中引入了2N維狀態(tài)向量對(yi，zi)，但獲得a(ij)k(k≠i)的表達式時還是返回N維模態(tài)向量對(ui，vi)的形式，從而節(jié)省了計算機時，易于操作．在后面的討論中求解a(ij)i的公式時，依然沿用這種簡潔的形式．

為了獲得a(ij)i，引入一種新的狀態(tài)向量規(guī)范化格式，首先規(guī)定對第i組的狀態(tài)向量對(yi，zi)的第ni個分量元素是相等的，即{yi}ni={zi}ni，其中{·}i代表向量的第i個元素．其次ni的選取依據(jù)下列原則

令

經(jīng)驗證可知

將規(guī)范化條件(20)寫成二階系統(tǒng)的規(guī)范化形式

可見當阻尼陣為零陣時，這一條件即退化為熟悉的質(zhì)量規(guī)范化條件，即充分保持了與傳統(tǒng)的模態(tài)分析及實踐相一致．記規(guī)范化后的左、右模態(tài)向量分別為u'i和v'i．

由規(guī)范化條件(19)求導得

作與式(13)類似的假定，將yi，j在A的完全的左狀態(tài)空間中展開為

其中b(ij)l代表式(22)的展開式系數(shù)，推導可得

將式(13)、(22)代入式(21)，并使用非保守系統(tǒng)左、右狀態(tài)向量正交性(式(10))得

因yTizi≠0，所以

關于b(ij)i，a(ij)i的第2個方程仍可以由上述規(guī)范化方法確定．顯然，如果狀態(tài)向量對(yi，zi)的第ni個分量元素在規(guī)范正交化過程中保持相等，那么它們的導數(shù)也是相等的，因此{yi，j}ni={zi，j}ni．

把式(13)、(22)代入上式得整理并化為N維模態(tài)空間形式為:

由式(24)、(25)可知

這樣，通過式(16)、(26)即可獲得式(14)中的展開式系數(shù) a(ij)l(l=1，…，2N)，代入式(14)，可得復模態(tài) ui關于設計參數(shù)gj的靈敏度 ui，j．那么根據(jù)式(12)，新系統(tǒng)模態(tài)uchangei的近似值為?ui=ui+ui，jΔgj．

4 數(shù)值算例

非保守系統(tǒng)計算特征問題的導數(shù)可在一個輪轉構件中得以展示．圖1顯示的是一個基于柔性支撐的剛性轉子的簡圖．

圖1 剛性轉子簡圖Figure 1 A schematic of a rigid rotor

該系統(tǒng)的性質(zhì)矩陣分別為:

特征值見表1．

表1 系統(tǒng)特征值Table 1 Eigenvalues of system

本文選擇轉子質(zhì)量m作為設計參數(shù)，取Δm=0．01，對模態(tài) u2作靈敏度分析，利用式(16)、(26)得展開式系數(shù) a(2m)l(l=1，…，8)，并代入式(14)，則系統(tǒng)模態(tài)u2的靈敏度為

5 結論

［1］楊戈鋒，劉秀湘．不確定脈沖多實滯系統(tǒng)的保性能控制［J］．華南師范大學學報:自然科學版，2009(1):13-17．

［2］徐靜，董雁，李靜敏，等．有限元模型修正法在結構動態(tài)設計中的應用［J］．浙江海洋學院學報，2001，20(2):139-142．

［3］馮文賢，陳新．基于實驗復模態(tài)參數(shù)的有限元模型修正［J］．航空學報，1999，20(1):11-16．

［4］保宏，趙冬竹，喬永強．一種正交向量基結構動力模型修正［J］．西安電子科技大學學報，2009，36(1):151-155．

［5］李劍，洪嘉振，李偉明．模型修正的正交模型——正交模態(tài)改進法［J］．動力學與控制學報，2008，6(1):61-65．

［6］何建軍，姜節(jié)勝．基于降階模型的非經(jīng)典阻尼結構拓撲修改的復模態(tài)重分析方法［J］．振動與沖擊，2009，28(7):50-54．

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