王 晨， 高美鳳

(江南大學輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇無錫214122)

信號通過抽樣由模擬信號轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號。為了預防信號畸變，傳統(tǒng)的抽樣以奈奎斯特采用定理為理論基礎。該定理指出:為了保證能夠完全恢復原信號，采樣速率必須大于等于信號帶寬的兩倍，否則信號頻譜會出現(xiàn)混疊，不能準確地恢復原信號。隨著現(xiàn)代信息量日益增長的需求，該定理則表現(xiàn)出越來越明顯的限制。一方面，隨著信號帶寬的增加，要求采樣速率和處理速度也要相應提高，這樣會提高產(chǎn)品實現(xiàn)難度和成本;另一方面，在傳統(tǒng)的圖像或信號傳輸過程中，有效的數(shù)據(jù)往往只有一小部分，大部分采集數(shù)據(jù)會被舍棄，這樣造成了資源浪費而且效率低下。

近些年來，一種新的采樣理論——壓縮感知［1］被廣泛關注。它利用其他變換空間描述信號，使得在保證信息不損失的情況下，用遠低于采樣定理要求的速率在采樣信號的同時，又可完全恢復信號，即將對信號的采樣轉(zhuǎn)變?yōu)閷π畔⒌牟蓸?。壓縮感知突破了奈奎斯特采樣定理的限制，如果信號在某變換域中是稀疏的，并且其稀疏變換與觀測系統(tǒng)不相關，那么對信號無失真的采樣可通過優(yōu)化求解一個稀疏變換與觀測矩陣構(gòu)成的欠定方程來完成，因而可以從低分辨率觀測中恢復信號，大大提高了信息處理速度。隨著壓縮傳感的深入研究和廣泛應用，信息處理領域正不斷得到較快發(fā)展［2］。

1 壓縮感知

壓縮感知理論指出，當信號在某組基或者字典下是可壓縮或者稀疏的，那么就可以用一個與該基或字典不相關的觀測矩陣將信號線性投影為低維觀測值，其保留了重建信號所需要的重要信息，通過進一步求解稀疏最優(yōu)化問題就能從線性觀測中精確地重構(gòu)原始信號。

壓縮感知理論框架如圖1所示:第1步為信號稀疏表示問題;第2步為信號的線性投影問題，設計一個與正交變換基Φ不相關的M×N維的觀測矩陣Ψ，保證原始信號從維降維到M維時重要信息不丟失;第3步為信號重構(gòu)問題，設計重構(gòu)算法保證從M維線性觀測向量中能夠重建原始信號。

圖1 CS理論框架Fig.1 Graph of CS theoretic framework

壓縮感知是利用信號具有稀疏性表示的先驗知識，由觀測獲得少量的觀測值來進行信號重構(gòu)?？紤]長度為N的信號，將其看作RN中N×1的列向量，RN中的任意信號都可由一組N×1的矢量基或，那么信號X可以表示為

其中S=(s1，…，sN)T為信號在Φ域中的表示，若S的非零分量的個數(shù)為K(M?N)，稱S為K-稀疏的。衡量信號稀疏度常用的指標有:(1)0范數(shù)，即信號中非零元素的個數(shù);(2)稀疏因子，即信號中非零元素的個數(shù)與元素總數(shù)的比值;(3)非線性逼近誤差，即用正交基Ψ表示信號時的稀疏程度或分解系數(shù)的能量集中程度。常用的稀疏基有DCT基、小波基、Gabor基及冗余字典等。

測量矩陣的設計是壓縮感知理論的一個重要前提和條件，既要減少壓縮測量次數(shù)又要確保信號的重建精度。Candès［3］等人指出，如果要精確重構(gòu)K階稀疏信號 X，測量次數(shù) M需要滿足 M=O(Kln(N))，并且測量矩陣Ψ必須滿足約束等距性質(zhì)(Restrcited Isometry Property，RIP)。高斯隨機矩陣的優(yōu)點是它幾乎與任意稀疏信號都不相關，因此，當測量矩陣是高斯隨機矩陣時，測量矩陣能以較大概率滿足RIP，因此可以通過選擇M×N的高斯測量矩陣得到所需的觀測矩陣

給定測量矩陣ΨM×N(M?N)，對信號X觀測過程如下:

式中，Y為經(jīng)過觀測后獲得的觀測值，包含了重構(gòu)原始信號的足夠信息;=為M×N矩陣，稱為傳感矩陣。由方程(2)看出，壓縮感知將信號X從N維降到M維觀測信號Y，由于觀測數(shù)量M遠小于信號長度N，所以方程(2)是個欠定線性方程組，存在無窮多解;同時由于S為K稀疏的，則可以通過系數(shù)分解算法求解式(2)的逆問題得到稀釋系數(shù)S，再通過式(1)重構(gòu)得到信號X。Tao［2］等指出當傳感矩陣Θ滿足約束等距性質(zhì)RIP時，式(2)中的S可以通過L0的問題求解:

顯然L0為NP難的非凸優(yōu)化問題，Donoho，Chen和Saundrers指出求解更加簡單的L1優(yōu)化問題會得到相同的解:

這一簡單的改變使問題變成了凸優(yōu)化問題，可簡化為線性規(guī)劃問題求解。目前有多種求解該問題的算法，典型重構(gòu)算法分為兩類:(1)貪婪追蹤算法:匹配追蹤(MP)［4］、正交匹配追蹤 (OMP)［5］、分段OMP(Stomp)［6］、正則化 OMP(Romp)［7］;(2)凸松弛法:基追蹤(BP)［8］、內(nèi)點法［9］、迭代閾值法［10］、共軛梯度投影法［11］等。

2 基于單層小波變換改進的壓縮感知圖像重構(gòu)

2.1 單層小波變換稀疏分解

壓縮感知系統(tǒng)中，圖像的稀疏表示是實現(xiàn)壓縮感知的前提條件，目前普遍使用的的稀疏變換主要有正交變換稀疏表示和冗余字典稀疏分解［12］，其中正交變換構(gòu)造簡單而且實現(xiàn)速度快，其中離散小波變換(DWT)進行稀疏變換用的最為廣泛。在原有的壓縮感知圖像處理中，將原圖像首先進行某種變換如DWT，然后構(gòu)造測量矩陣Ψ，利用該矩陣對小波變換后的稀疏系數(shù)進行測量，得到M×N的測量系數(shù)，最后利用恢復算法通過得到的測量系數(shù)恢復原圖像。

小波分解將原圖像分解為低頻子帶和高頻子帶，高頻子帶可以認為是稀疏的，而低頻子帶是原圖像在不同尺度下的逼近信號，不能認為是稀疏的。如果將高低頻一起測量就破壞了低頻分量系數(shù)間的相關性，從而重構(gòu)效果不佳。在壓縮感知重構(gòu)算法中小波分解層數(shù)對圖像重構(gòu)有著重大的影響，分解層數(shù)越多重構(gòu)效果越好，大小為256×256，一般分解層數(shù)在4層以上。

文獻［13］提出了基于單層小波變換的壓縮感知改進算法。根據(jù)小波分解圖像高低頻的特點，利用小波變換對原圖像進行單層變換，對第一層高頻子帶進行測量，對低頻逼近子帶直接觀測，這樣可以減少重構(gòu)圖像所需的數(shù)據(jù)量，加強重構(gòu)的效果。實現(xiàn)步驟如下:

1)對原圖像進行一層小波分解得到{LL1，HL1，LH1，HH1}小波子帶系數(shù)。

2)構(gòu)造測量矩陣 Ψ 對 LH1，HL1，HH1進行測量，低頻LL1直接觀測。

3)利用OMP分別對高頻稀疏進行重構(gòu)并與低頻子帶系數(shù)一起進行小波反變換得到恢復圖像。

2.2 加權(quán)矩陣對小波分解稀疏增強

信號的稀疏程度決定了信號的重構(gòu)質(zhì)量和精度，因此對信號進行有效的稀疏表示意義重大，它直接關系到壓縮感知的重構(gòu)精度。簡單的稀疏正交變換雖然速度很快，但信號在此變換域下的稀疏性不高。因為當信號特征與稀疏變換的原子特征一致時能夠有效地得到信號精確的表示，但由于固定基不一定能靈活表示自然信號，因而在此稀疏域下不能夠足夠稀疏，則大大影響了壓縮感知的性能。對于文中所用的簡單正交變換離散小波變換而言，它僅僅沿著圖像的水平和垂直兩個方向進行變換。在圖像灰度漸變區(qū)域?qū)τ趫D像的稀疏表示效果很好，經(jīng)量化后高頻子帶產(chǎn)生大量的零系數(shù);但在非平滑區(qū)域，高頻子帶卻保留有較多的大幅度系數(shù)，滿足不了稀疏性的要求。因此，文中在此基礎上提出了一種增強其稀疏度的改進方法。

二維離散小波對圖像進行單層變換后保留低頻系數(shù)，高頻的稀疏系數(shù)S中除了有L個大系數(shù)，其他S～L個系數(shù)并不全為零，而有些是接近于零，不是絕對稀疏即不能足夠稀疏。為了使得高頻系數(shù)更加接近于絕對稀疏，文中提出引入加權(quán)矩陣的改進方法。引入加權(quán)矩陣A，首先A是對角矩陣，且矩陣中系數(shù)

其中閾值系數(shù)λ為稀疏系數(shù)中選取的某一個系數(shù)的絕對值，加權(quán)系數(shù)設置的原則為使得稀疏系數(shù)中的大系數(shù)盡量保持不變而小系數(shù)盡量趨向于零［14］，即ai∝Si，加權(quán)系數(shù)矩陣左乘S得0，所以說當p→+∞時，S中原本接近零的小系數(shù)右乘加權(quán)矩陣后變?yōu)榱?，因此，S'比S稀疏性更好，即引入加權(quán)矩陣后稀疏系數(shù)更加接近于絕對稀疏。

在對3個高頻子帶的觀測過程中引入加權(quán)矩陣增強其稀疏度，則壓縮感知的數(shù)學模型為

式中A為引入的對角加權(quán)矩陣，其中加權(quán)系數(shù){a1a2…an}在主對角線上而其他位置為0，相應的壓縮感知重構(gòu)數(shù)學模型則變?yōu)?/p>

可將式(6)變換為

其中B=A－1，S'=AS。B矩陣也為對角矩陣B=diag{b1，b2，…，bn}且bi=，由此可知式(7)的最優(yōu)解即為式(8)的最優(yōu)解，即原圖像可以由重構(gòu)S'得到。

由此引入加權(quán)矩陣后可以使信號分解后的稀疏性進一步加強，即將L個大系數(shù)保留，而剩余小系數(shù)變得更小，從而更接近理想的絕對稀疏，所以引入加權(quán)矩陣后3個高頻子帶的系數(shù)矩陣的稀疏性更好。

2.3 基于單層小波變換稀疏分解改進與重構(gòu)

利用單層小波稀疏分解和加權(quán)系數(shù)矩陣的特點，通過單層小波變換獲得圖像高低頻子帶，保留低頻部分，對高頻系數(shù)進行加權(quán)處理。

由上文提到重構(gòu)問題為NP難問題時，傳感矩陣必須滿足RIP特性，應用加權(quán)系數(shù)矩陣后，傳感矩陣ΨΦ =Θ變?yōu)榱甩乏礎－1=Λ。由于加權(quán)系數(shù)矩陣僅僅使Θ中某些列向量的模的大小發(fā)生改變，而向量內(nèi)部結(jié)構(gòu)并未發(fā)生改變，稀疏度也未發(fā)生改變。所以，如果原先稀疏矩陣與觀測矩陣不相關，則左乘加權(quán)系數(shù)矩陣后同樣滿足不相關性，因此Λ滿足RIP特性，可以重構(gòu)得到原圖像的恢復值。在重構(gòu)端由S'恢復到S時，則左乘矩陣B此時有

即由B和S'可以無損地恢復S。矩陣B:

其中μ為S'第L個最大值。

利用OMP算法恢復S'，最后將4個高低頻系數(shù)利用小波反變換恢復原圖像。

門限矩陣對OMP算法改進后的算法流程如下:

輸入:傳感矩陣Λ =ΘA－1，觀測向量Y=ΛS'，稀疏度為K;

輸出:目標信號S'的K稀疏逼近;

初始化:殘差r0=Y，索引集Γ0=?，t=1;

循環(huán)步驟1)～5):

5)判斷是否滿足t＞K，若滿足，則停止迭代;若不滿足，則執(zhí)行步驟1)。

由式(11)及上述流程可知:

從而有rt=由上述流程可以看出，門限矩陣加入前后目標信號的稀疏逼近并沒有發(fā)生改變，又由于S'比S稀疏度更好，從而稀疏逼近與S'之間的誤差比與S之間的誤差小，所以重構(gòu)算法的精度得到了一定的改進。

具體算法步驟如下:

1)對原始圖像進行DWT，獲得高低頻4個小波子帶系數(shù)成分。

2)用加權(quán)矩陣A分別對LH1，HL1，HH1進行處理，得到3個子帶的稀疏系數(shù)矩陣。

3)選擇合適的M值，構(gòu)造服從高斯分布的測量矩陣Ψ，分別對3個新的稀疏系數(shù)矩陣進行測量，得到3個子帶的測量稀疏值矩陣，低頻LL1子帶系數(shù)保持不變。

5)將3個重構(gòu)高頻稀疏矩陣與LL1一起進行小波反變換得到恢復的圖像。

3 實驗及結(jié)果分析

實驗基于PC機平臺(CPU主頻2.5 GHz，內(nèi)存2 GB)，并用Matlab7.0實現(xiàn)程序仿真。為了取得良好的實驗結(jié)果，分別選擇了256×256 lena和256×256 Cameraman作為實驗圖像，選取近似對稱小波Sym8對圖像進行單層分解，測量矩陣為服從(0，1/N)的隨機高斯矩陣，利用OMP算法進行恢復。根據(jù)單層小波分解高頻系數(shù)的特點，每個分量稀疏分解后的系數(shù)大系數(shù)L即為加權(quán)系數(shù)矩陣的閾值，則單層高頻水平分量的加權(quán)系數(shù)矩陣的閾值系數(shù)為第3 200個絕對值最大值，高頻垂直分量閾值系數(shù)為第800個絕對值最大值，高頻對角分量閾值系數(shù)為第190個絕對值最大值，選取參數(shù)p=20。

由于單層分解后高頻子帶均為128×128，所以測量矩陣行數(shù)滿足0＜M≤128，選取M=120進行文中算法和單層小波變換壓縮感知算法對兩幅圖像進行重構(gòu)，重構(gòu)結(jié)果如圖2，3所示。分別取M=40，50，…，120采用文中方法和僅僅采用單層小波變換的壓縮感知方法進行仿真;選取M=100，110，…，250，采用傳統(tǒng)的算法進行同樣仿真。

圖2 改進算法對比Lena圖像Fig.2 Restoring algrithms contrast of lena image

圖像恢復質(zhì)量的評判標準為圖像的峰值信噪比，信噪比越高，圖像的恢復質(zhì)量越好。實驗結(jié)果如圖4，5所示，其中橫軸為經(jīng)過測量后的系數(shù)點個數(shù)，縱軸為恢復圖像的峰值信噪比(PSNR)，PSNR為多次測量取平均值?？梢钥闯鑫闹刑岢龅母倪M算法比原有算法有較明顯的提高。

4 結(jié)語

介紹了壓縮感知算法的原理和數(shù)學模型，在已有的單層小波分解壓縮感知算法的基礎上運用加權(quán)矩陣對算法進行了改進，利用加權(quán)系數(shù)矩陣使信號的稀疏分解進一步加強，接近更加理想的絕對稀疏;重構(gòu)時采用OMP算法，仿真效果驗證了改進方法的有效性。

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