錢(qián)俊良，李 鵬，陳巧玲，宋 喆

(華北水利水電學(xué)院，河南鄭州450045)

電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性從本質(zhì)上講屬于非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上可以用一組非線性微分－代數(shù)方程組來(lái)描述［1］.靜態(tài)電壓穩(wěn)定主要研究平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問(wèn)題，是目前電壓穩(wěn)定研究較多的方向之一［2］.其研究的主要內(nèi)容包括:計(jì)算系統(tǒng)當(dāng)前運(yùn)行狀態(tài)的電壓穩(wěn)定指標(biāo);確定系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié);尋找提高系統(tǒng)電壓穩(wěn)定的安全措施等.但是它要求系統(tǒng)受到擾動(dòng)幅度足夠小或者系統(tǒng)的變化過(guò)程足夠慢以至于可以忽略系統(tǒng)模型的動(dòng)態(tài)過(guò)程.

電壓穩(wěn)定靜態(tài)分析法中最常用方法是特征結(jié)構(gòu)分析法和快速解耦潮流法.這2種方法都直接或間接地利用了電力系統(tǒng)中存在的兩大基本特征［3－4］:①當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行點(diǎn)接近靜態(tài)穩(wěn)定極限時(shí)，相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)雅可比矩陣趨近奇異，此時(shí)與靜態(tài)穩(wěn)定極限狀態(tài)相對(duì)應(yīng)的雅可比矩陣的行列式值為零.②當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行點(diǎn)接近靜態(tài)穩(wěn)定邊界時(shí)，相應(yīng)的非線性代數(shù)方程即系統(tǒng)潮流方程存在且僅存在2個(gè)相鄰的解;當(dāng)運(yùn)行點(diǎn)位于靜態(tài)穩(wěn)定邊界時(shí)，則存在唯一解.筆者以特征結(jié)構(gòu)分析法的2個(gè)基本特征為理論依據(jù)，準(zhǔn)確地回答了電壓不穩(wěn)在何處發(fā)生，為什么會(huì)發(fā)生，哪些因素起關(guān)鍵作用等問(wèn)題.

1 特征結(jié)構(gòu)分析法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

在電力系統(tǒng)潮流計(jì)算中，假設(shè)系統(tǒng)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中第1至第m個(gè)節(jié)點(diǎn)為PQ節(jié)點(diǎn)，第n個(gè)節(jié)點(diǎn)為平衡節(jié)點(diǎn)，其余為PV節(jié)點(diǎn).

極坐標(biāo)系統(tǒng)下的潮流方程為

式中:Pis，Qis分別為給定節(jié)點(diǎn)有功和無(wú)功注入量;V，θ分別為給定節(jié)點(diǎn)電壓向量和角度;Gij，Bij分別為導(dǎo)納矩陣元素Yij的實(shí)部和虛部;j∈i表示∑號(hào)后節(jié)點(diǎn)j和i直接相連且包括j=i的情況.負(fù)荷采用ZIP模型，其電壓靜態(tài)特性為

將極坐標(biāo)系統(tǒng)下的潮流方程進(jìn)行攝動(dòng)分析，得到線性關(guān)系式，

式中:

Jp為極坐標(biāo)下的雅可比矩陣.ΔX，ΔY ∈ Rl×l，l=2n－m－1.

式(1)改寫(xiě)成矩陣形式

2 數(shù)學(xué)模型的建立

假設(shè)潮流方程中雅可比矩陣Jp具有非零相異特征根 λ1，λ2，…，λm，與之相對(duì)應(yīng)的左、右特征向量分別為 V1，V2，…，Vm;U1，U2，…，Um.根據(jù)矩陣?yán)碚摽芍仃囆辛惺降闹蹬c特征根之間存在

的關(guān)系.當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到靜態(tài)穩(wěn)定極限時(shí)，雅可比矩陣奇異.因此其存在一零特征根，當(dāng)系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)由正常向極限過(guò)渡時(shí)，矩陣Jp有向奇異方向變化的趨勢(shì)，與之相對(duì)應(yīng)的最小模特征根首先單調(diào)趨近于零.因此可以作為系統(tǒng)靜態(tài)穩(wěn)定裕度判斷的依據(jù).

將式(2)中的ΔY，ΔX均用Jp的右特征向量基表示，即

式中αi，βi分別為ΔY和ΔX與右特征向量Ui之間的耦合系數(shù)，并且滿足 αi= βiλi，可求得

3 評(píng)價(jià)指標(biāo)的建立

3.1 電壓穩(wěn)定裕度λmin的計(jì)算

由以上分析可知，系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的計(jì)算轉(zhuǎn)化為雅可比矩陣最小模特征根的求取.就電力系統(tǒng)而言，無(wú)論是采用直角坐標(biāo)系還是極坐標(biāo)系，得到的雅可比矩陣都是非常稀疏的.因此可以先將雅可比矩陣通過(guò)初等相似變換為上赫申伯格矩陣，然后采用帶原點(diǎn)位移的雙重QR法求解全部特征根.這種方法具有強(qiáng)魯棒性、收斂速度快等特點(diǎn)，是迄今為止最有效的特征根求解方法.

3.2 參與因子與節(jié)點(diǎn)電壓靈敏度的計(jì)算

為了確定雅可比矩陣Jp與特征根之間的關(guān)系，把左特征向量和右特征向量結(jié)合起來(lái)形成如下所示的參與矩陣 P，用來(lái)衡量 Jp與特征根之間的關(guān)聯(lián)度.

式中:Pki=ukivki為第k個(gè)狀態(tài)變量對(duì)第i個(gè)特征根的參與因子;uki表示右特征向量ui的第k個(gè)元素;vki表示右特征向量vk的第k個(gè)元素.

用節(jié)點(diǎn)電壓向量［Δθ ΔV］T代替 ΔX，用功率注入向量［ΔP ΔQ］T代替 ΔY，則式(3)轉(zhuǎn)化為

若取ΔP=0，ΔQ=ek，ek表示第k個(gè)元素為1，其余元素為0的單位列向量.假設(shè)系統(tǒng)有功注入量保持不變，僅在第k個(gè)節(jié)點(diǎn)上注入單位無(wú)功，則引起的系統(tǒng)狀態(tài)變量變化為

因此，第k個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓靈敏度為

4 算例分析

以IEEE39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例在正常和極限兩種運(yùn)行狀態(tài)下驗(yàn)證特征結(jié)構(gòu)分析法的有效性.10臺(tái)發(fā)電機(jī)分別置于30—39號(hào)節(jié)點(diǎn)，其中39號(hào)節(jié)點(diǎn)發(fā)電機(jī)為等值機(jī).采用快速解耦潮流法求取其雅可比矩陣Jp，采用帶原點(diǎn)位移的雙重QR法求解全部特征根.

在參與因子與節(jié)點(diǎn)電壓靈敏度的求取過(guò)程中，分別使IEEE39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)在正常和極限兩種運(yùn)行狀態(tài)下求取部分負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的功率，節(jié)點(diǎn)電壓幅值，節(jié)點(diǎn)電壓靈敏度dV/dQ及與最小模特征根λmin相對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)參與因子pki、計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1.表1中數(shù)據(jù)以正常運(yùn)行時(shí)節(jié)點(diǎn)參與因子Pki從大到小順序排列.

從表1可以得出正常運(yùn)行時(shí)的總負(fù)荷為60.971+j14.089，λmin為 － 9.669;極限運(yùn)行時(shí)的總負(fù)荷為71.942+j18.28，λmin為 0.正常運(yùn)行狀態(tài)所有特征根都具有負(fù)實(shí)部，表明系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定;極限運(yùn)行狀態(tài)下，出現(xiàn)了正實(shí)部和零特征根，表明系統(tǒng)電壓已失去穩(wěn)定性.

表1 IEEE39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)及其節(jié)點(diǎn)電壓靈敏度

5 結(jié) 語(yǔ)

在系統(tǒng)正常運(yùn)行狀態(tài)下，即對(duì)應(yīng)系統(tǒng)有較大電壓靜態(tài)穩(wěn)定裕度時(shí)，節(jié)點(diǎn)參與因子pki與節(jié)點(diǎn)電壓靈敏度dV/dQ在數(shù)值上有著較大差異.若將表中黑體數(shù)字所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)構(gòu)成此種運(yùn)行方式下的電壓薄弱區(qū)域，顯然由dV/dQ靈敏度法確定的弱穩(wěn)定區(qū)域是分散的，由節(jié)點(diǎn)參與因子pki值大小確定的弱穩(wěn)定區(qū)域是集中的.

當(dāng)系統(tǒng)處于極限運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，對(duì)應(yīng)的最小模特征根λmin=0，而且各個(gè)節(jié)點(diǎn)的相對(duì)電壓靈敏度與該節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相對(duì)參與因子數(shù)值完全相同，從而驗(yàn)證了電力系統(tǒng)總是以最小特征根所確定的模態(tài)(右特征向量)喪失電壓穩(wěn)定性，隨著系統(tǒng)向著極限狀態(tài)過(guò)渡，dV/dQ靈敏度趨向于 λmin對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)參數(shù)因子.

不同運(yùn)行方式對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)參與因子及其電壓薄弱區(qū)域一般來(lái)說(shuō)都是不同的.由于本例中假設(shè)負(fù)荷均勻同比例增加，所以在正常和極限2種運(yùn)行狀態(tài)下所確定的電壓薄弱區(qū)域基本相同，只是在極限運(yùn)行狀態(tài)下區(qū)域更小，更集中.從而也驗(yàn)證了電壓失穩(wěn)是從局部區(qū)域即節(jié)點(diǎn)7和節(jié)點(diǎn)8處首先開(kāi)始發(fā)生.

［1］王錫凡，王萬(wàn)良，杜正春.現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析［M］.北京:科學(xué)出版社，2003.

［2］吳際舜.電力系統(tǒng)靜態(tài)安全分析［M］.上海:上海交通大學(xué)出版社，1985.

［3］周雙喜，朱凌志，王小海，等.電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性分析及其控制［M］.北京:中國(guó)電力出版社，2003.

［4］ Cutsem T V，Vournas C.電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性［M］.王奔，譯.北京:電子工業(yè)出版社，2008.