王 帥

（北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191）

0 引言

常用的六面體網(wǎng)格生成方法有映射法［1］、掃掠法［2］、四面體轉(zhuǎn)換法［3］、基于柵格法［4］、波前推進(jìn)法［5］等。對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的模型，單獨(dú)使用上述幾種方法都無(wú)法獲得整體質(zhì)量較好的六面體網(wǎng)格。近年來(lái)基于實(shí)體變形技術(shù)的六面體網(wǎng)格生成方法成為研究熱點(diǎn)，但這種方法需要先對(duì)多方體模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，再將整套網(wǎng)格映射回原始模型，如此一來(lái)需要生成兩套網(wǎng)格數(shù)據(jù)，降低了網(wǎng)格的生成效率。

針對(duì)這一問(wèn)題，本文提出一種利用節(jié)點(diǎn)填充的方式直接在原始模型中生成結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格的方法：利用實(shí)體變形技術(shù)得到多方體模型后，不對(duì)變形多方體做實(shí)際剖分，僅通過(guò)線性規(guī)劃得到各頂點(diǎn)的網(wǎng)格信息，利用頂點(diǎn)信息，直接在原始模型中經(jīng)過(guò)邊節(jié)點(diǎn)填充、面節(jié)點(diǎn)填充、體節(jié)點(diǎn)填充生成結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格。

1 基于實(shí)體變形的網(wǎng)格生成技術(shù)

Y．Su［6］利用實(shí)體變形技術(shù)將原始模型變換為各邊與坐標(biāo)系平行的識(shí)別模型（多方體模型，polycube），用柵格法對(duì)識(shí)別模型劃分六面體網(wǎng)格，然后將識(shí)別模型網(wǎng)格映射回原始模型，過(guò)程如圖1所示。這種方法可以生成質(zhì)量較高的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，避免了體分解，對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為類多方體的復(fù)雜結(jié)構(gòu)有良好的剖分效果。但這種方法需要先對(duì)多方體模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，再將整套網(wǎng)格映射回原始模型，如此一來(lái)需要生成兩套網(wǎng)格數(shù)據(jù)，降低了網(wǎng)格的生成效率。

2 節(jié)點(diǎn)填充法

對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的模型，很難得到原始模型頂點(diǎn)的網(wǎng)格坐標(biāo)；經(jīng)過(guò)實(shí)體變形后的多方體模型，利用基于線性規(guī)劃的子映射法［7］，可以較容易求得多方體模型各頂點(diǎn)的網(wǎng)格坐標(biāo)（i，j，k）；映射回原始模型，即可得到原始模型各頂點(diǎn)的網(wǎng)格信息，即實(shí)際坐標(biāo)值與網(wǎng)格坐標(biāo)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

圖1 基于實(shí)體變形的網(wǎng)格生成技術(shù)

本文利用模型頂點(diǎn)的網(wǎng)格坐標(biāo)信息，通過(guò)邊節(jié)點(diǎn)填充、面節(jié)點(diǎn)填充、體節(jié)點(diǎn)填充的方式，直接在原始模型中生成各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，過(guò)程如圖2所示。具體步驟如下：

（1）邊節(jié)點(diǎn)填充：在原始模型的每條邊上，利用頂點(diǎn)的網(wǎng)格坐標(biāo)值得到該邊的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，在該邊按等弧長(zhǎng)創(chuàng)建節(jié)點(diǎn)，完成邊節(jié)點(diǎn)填充。

（2）面節(jié)點(diǎn)填充：在原始模型的每張面上，得到面內(nèi)未知節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格坐標(biāo)值，利用8節(jié)點(diǎn)等參元模型對(duì)所有面內(nèi)未知節(jié)點(diǎn)構(gòu)建線性方程組，求解方程組即可得到面內(nèi)各節(jié)點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)值，完成面節(jié)點(diǎn)填充。

（3）體節(jié)點(diǎn)填充：根據(jù)所有已知的面節(jié)點(diǎn)，得到體內(nèi)未知節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格坐標(biāo)值，利用20節(jié)點(diǎn)等參元模型對(duì)所有體內(nèi)未知節(jié)點(diǎn)構(gòu)建線性方程組，求解方程組即可得到體內(nèi)節(jié)點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)值，完成體節(jié)點(diǎn)填充。

圖2 節(jié)點(diǎn)填充法生成六面體網(wǎng)格的過(guò)程

2．1 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)模型

2．1．1 二維節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

在二維面節(jié)點(diǎn)填充算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，每個(gè)二維節(jié)點(diǎn)包含的數(shù)據(jù)為 P（i，j）＝（x，y，flag，edgeTag）。其中，（i，j）為二維節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格坐標(biāo)，x，y為二維節(jié)點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)，flag為該節(jié)點(diǎn)與形成該面的多邊形的位置關(guān)系（－1：該節(jié)點(diǎn)不在多邊形內(nèi)；0：該節(jié)點(diǎn)為多邊形邊界點(diǎn)；1：該節(jié)點(diǎn)在多邊形內(nèi)），edgeTag為該節(jié)點(diǎn)所屬邊的編號(hào)。

圖3為二維網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)示意圖。

圖3 二維網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)示意圖

在填充邊節(jié)點(diǎn)時(shí)，將各節(jié)點(diǎn)所在邊的編號(hào)存入P（i，j）→edgeTag中（記為edgeTag（i，j），下同），并將該節(jié)點(diǎn)的flag值改為0（flag（i，j）＝0），表示該節(jié)點(diǎn)為邊界節(jié)點(diǎn)。判斷面內(nèi)節(jié)點(diǎn)，將其flag值改為1。

2．1．2 三維節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

與二維節(jié)點(diǎn)類似，每個(gè)三維節(jié)點(diǎn)包含的數(shù)據(jù)為P（i，j，k）＝（x，y，z，flag，faceTag）。其中，（i，j，k）為三維節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格坐標(biāo)，x，y，z為三維節(jié)點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)，flag為該節(jié)點(diǎn)與模型的位置關(guān)系（－1：該節(jié)點(diǎn)在模型體外，0：該節(jié)點(diǎn)為模型面上的點(diǎn)，1：該節(jié)點(diǎn)為體內(nèi)點(diǎn)），faceTag為該節(jié)點(diǎn)所屬面的面編號(hào)（若該節(jié)點(diǎn)非模型面上點(diǎn)，其值為－1）。

在填充面節(jié)點(diǎn)時(shí)，將各節(jié)點(diǎn)所在面的編號(hào)存入P（i，j，k）→faceTag中（記為faceTag（i，j，k），下同），并將該節(jié)點(diǎn)的flag值改為0（flag（i，j，k）＝0），表示該節(jié)點(diǎn)為面節(jié)點(diǎn)。判斷體內(nèi)節(jié)點(diǎn)，將其flag值改為1。

圖4為三維網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)示意圖。

圖4 三維網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)示意圖

2．2 基于等參元的線性方程組

在獲得所有邊界節(jié)點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)以及內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格坐標(biāo)后，可以利用等參元模型對(duì)每一個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)列出實(shí)際坐標(biāo)方程，組成線性方程組，求解此方程組即可得到所有內(nèi)部點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)值。

對(duì)于二維面網(wǎng)格，本文利用如圖5所示的8節(jié)點(diǎn)等參元模型構(gòu)建坐標(biāo)方程。為表示中間插值點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)，可利用8個(gè)節(jié)點(diǎn)和其對(duì)應(yīng)的二次形函數(shù)組成8節(jié)點(diǎn)的等參元，推導(dǎo)出相應(yīng)的坐標(biāo)方程為：

對(duì)于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，當(dāng)該面所有邊界節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值已知時(shí)，對(duì)平面內(nèi)每一個(gè)面內(nèi)待求節(jié)點(diǎn)列出以上坐標(biāo)方程，可以得到兩組線性方程組，求解線性方程組即可得到面內(nèi)各個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)（x（i，j），y（i，j））。對(duì)于空間參數(shù)化曲面，可先在參數(shù)平面內(nèi)利用該方法求得各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)，再通過(guò)參數(shù)轉(zhuǎn)換得到相應(yīng)的實(shí)際坐標(biāo)值。

對(duì)于三維體節(jié)點(diǎn)，本文利用如圖6所示的20節(jié)點(diǎn)等參元模型，得到每一個(gè)體內(nèi)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方程為：

圖5 8節(jié)點(diǎn)等參元模型

對(duì)于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，當(dāng)該實(shí)體所有面節(jié)點(diǎn)已知時(shí)，對(duì)每一個(gè)體內(nèi)待求節(jié)點(diǎn)列出上述的坐標(biāo)方程，可以得到三組線性方程組，求解線性方程組即可得到體內(nèi)各個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)（x（i，j），y（i，j），z（i，j））。

圖6 20節(jié)點(diǎn)等參元模型

3 實(shí)例驗(yàn)證

根據(jù)以上方法，本文以UG NX 3．0為開(kāi)發(fā)平臺(tái)，利用UG／Open API開(kāi)發(fā)了六面體網(wǎng)格自動(dòng)剖分模塊，對(duì)渦輪葉片實(shí)體模型的部分結(jié)構(gòu)進(jìn)行了網(wǎng)格自動(dòng)剖分，剖分結(jié)果如圖7所示。

4 結(jié)論

本文提出一種基于多方體變形技術(shù)的結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格生成方法：利用實(shí)體變形技術(shù)得到多方體模型后，不對(duì)變形多方體做實(shí)際剖分，僅通過(guò)線性規(guī)劃得到各頂點(diǎn)的網(wǎng)格信息，利用頂點(diǎn)信息，直接在原始模型中經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)填充生成結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格。該方法在保證較高網(wǎng)格質(zhì)量的前提下，提高了網(wǎng)格生成效率。利用本文方法開(kāi)發(fā)了六面體網(wǎng)格自動(dòng)生成程序，可以得到整體質(zhì)量較好的六面體網(wǎng)格。

圖7 渦輪葉片肋區(qū)網(wǎng)格劃分結(jié)果

［1］ 王東風(fēng)，翟建軍，陳文亮．基于映射法的六面體網(wǎng)格生成算法［J］．中國(guó)制造業(yè)信息化，2009，3（5）：25－27．

［2］ 翟建軍，喬新宇，丁秋林．基于掃掠法的六面體網(wǎng)格生成算法及實(shí)現(xiàn)［J］．南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，39（1）：71－74．

［3］ Gregson J，Sheffer A，Zhang E．All－h(huán)ex mesh generation via volumetric polycube deformation［G］／／Eurographics Symposium on Geometry Processing 2011． USA：Blackwell Publishing，2011：1407－1416．

［4］ 黃麗麗，趙國(guó)群，馬新武，等．柵格法三維六面體網(wǎng)格自動(dòng)生成算法與優(yōu)化［J］．塑性工程學(xué)報(bào)，2009，16（3）：187－191．

［5］ 俞建威，沈軍，盧百平，等．一種新的六面體有限元網(wǎng)格算法［J］．計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2003，24（9）：22－25．

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［7］ Ruiz－Girones E，Sarrate J．Generation of structured hexahedral meshes in volumes with holes［J］．Finite Elements in Analysis and Design，2010，46：792－804．