呂付華

（1．云南民族大學(xué) 社會(huì)學(xué)系，云南 昆明 650223；2．云南大學(xué) 公共管理學(xué)院，云南 昆明 650223）

可作為σ的最佳估值使用。費(fèi)歇爾卻

一、引 言

什么是自由度？在Fisher與Pearson（以下稱(chēng)費(fèi)歇爾、皮爾遜）關(guān)于自由度的激烈爭(zhēng)論塵埃落定80多年后［1－5］，追問(wèn)這一問(wèn)題似乎有些不合時(shí)宜，但事實(shí)上直到現(xiàn)在，它仍是一個(gè)極為基本卻在統(tǒng)計(jì)學(xué)教科書(shū)、專(zhuān)著以至相關(guān)論文中沒(méi)有得到圓滿(mǎn)回答的問(wèn)題。在統(tǒng)計(jì)學(xué)三大分布（χ2、t、F分布）中，自由度是決定這些分布特征、性質(zhì)最重要的參數(shù)。在列聯(lián)表、回歸與方差分析等統(tǒng)計(jì)方法中，自由度也是決定統(tǒng)計(jì)結(jié)果的關(guān)鍵變量之一。假若沒(méi)有自由度概念，那么從樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)過(guò)程必將在邏輯上缺失關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在準(zhǔn)確性上出現(xiàn)巨大偏差。而一旦弄錯(cuò)自由度的數(shù)目，則從三大分布的概率分布表中得到的將是錯(cuò)誤的概率值，從而也必將錯(cuò)誤解釋相應(yīng)假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性。

費(fèi)歇爾提出自由度概念之后，國(guó)外統(tǒng)計(jì)學(xué)界一直就如何一般化解釋自由度進(jìn)行探討。Walker借助n維幾何工具把自由度理解為樣本統(tǒng)計(jì)量中觀(guān)察值數(shù)目減去約束條件數(shù)目后的結(jié)果，但Good批評(píng)Walker不能在復(fù)雜情形下把所謂的約束條件解釋清楚［6－7］。Cramer把自由度定義為二次型統(tǒng)計(jì)量的秩，但是因?yàn)檫@一定義涉及極為艱深的數(shù)學(xué)推理，它并不為一般統(tǒng)計(jì)學(xué)者所采用［8］379－381。即使 Good站在Walker與Cramer肩膀上提出了對(duì)自由度的簡(jiǎn)化理解，即自由度就是假設(shè)檢驗(yàn)中檢驗(yàn)包含于K中的假設(shè)H時(shí)的參數(shù)空間維度差異d（K）－d（H），后來(lái)事實(shí)也證明，它只不過(guò)是訓(xùn)練學(xué)生快速寫(xiě)出自由度的工具而已［7］。所以，一方面有學(xué)者如Pandey和Bright等抱怨教科書(shū)中充斥著各種各樣使學(xué)生備感疑惑的自由度解釋?zhuān)?］；另一方面，Good等學(xué)者也不得不承認(rèn)無(wú)論針對(duì)學(xué)生還是統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)家，自由度都是一個(gè)非常難于解釋清楚的概念［7］。

相比國(guó)外，在國(guó)內(nèi)有代表性的教科書(shū)中，陳希孺把自由度解釋為三大分布中能夠隨意變化的變量值個(gè)數(shù)，并在附錄中指出，若相關(guān)變量中有n個(gè)約束則自由度相應(yīng)減少n個(gè)［10］95－104；陳家鼎等則只在有關(guān)定義、定理中提到自由度及其算法而未作特別解釋?zhuān)?1］43－59。在極為有限的幾篇專(zhuān)門(mén)討論自由度的論文中，李友平認(rèn)為自由度指一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的個(gè)數(shù)，并以為統(tǒng)計(jì)量的“確定性”限制了與之相關(guān)的一組數(shù)據(jù)的“自由度”［12］。實(shí)踐中，這些解釋或能應(yīng)用于簡(jiǎn)單條件下，可一旦涉及較復(fù)雜情形，如列聯(lián)表中自由度的計(jì)算和理解，或者追問(wèn)自由度與待估參數(shù)的本質(zhì)關(guān)系，再或深究自由度的統(tǒng)計(jì)意義時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)：以上解釋不僅不能從根本上回答這些問(wèn)題，而且往往導(dǎo)致相關(guān)專(zhuān)業(yè)師生對(duì)自由度的理解流于形式，以致自由度實(shí)際上成為了統(tǒng)計(jì)學(xué)中一個(gè)時(shí)?？梢?jiàn)卻又格外陌生的概念。

針對(duì)上述局面，F(xiàn)ienberg就皮爾遜與費(fèi)歇爾在分類(lèi)數(shù)據(jù)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)上主要分歧的歷史探討為梳理自由度問(wèn)題提供了基本線(xiàn)索［13］。Stigler對(duì)皮爾遜卡方檢驗(yàn)推理邏輯和其理論錯(cuò)誤以及費(fèi)歇爾修正該錯(cuò)誤的統(tǒng)計(jì)學(xué)史研究，則指出了深入理解自由度概念的根本路徑［14］。陳希孺關(guān)于皮爾遜、費(fèi)歇爾的統(tǒng)計(jì)學(xué)史研究也提供了有關(guān)自由度問(wèn)題的廣博數(shù)理知識(shí)和具體歷史背景［15］213－246。借鑒這些成果，本文從統(tǒng)計(jì)學(xué)史角度，通過(guò)研究皮爾遜、費(fèi)歇爾等人與自由度問(wèn)題相關(guān)的原始文獻(xiàn)，系統(tǒng)、深入、全面地拓展了已有相關(guān)解釋?zhuān)赋隽薋ienberg、Stigler論證過(guò)程中的不足之處，彌補(bǔ)了陳希孺主要依賴(lài)于Fienberg、Stigler及E．S．Pearson等人提供的二手資料以及論述不夠清楚的缺陷。具體而言，本文包含了以下三個(gè)方面的分析：第一，皮爾遜是怎樣論證卡方檢驗(yàn)的理論邏輯，論證過(guò)程中出現(xiàn)了什么樣的錯(cuò)誤判斷；第二，皮爾遜的錯(cuò)誤判斷是如何在統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中被發(fā)現(xiàn)的；第三，費(fèi)歇爾通過(guò)自由度修正皮爾遜錯(cuò)誤的理論、方法根據(jù)何在，怎么理解并以當(dāng)代術(shù)語(yǔ)闡釋這些根據(jù)。

二、皮爾遜與卡方檢驗(yàn)

皮爾遜卡方檢驗(yàn)曾被美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)史專(zhuān)家Hacking評(píng)為20世紀(jì)科學(xué)技術(shù)所有分支中20個(gè)主要發(fā)現(xiàn)之一，因?yàn)樗粌H在實(shí)用上提供了檢驗(yàn)已知數(shù)據(jù)和某個(gè)給定假設(shè)是否一致的極其簡(jiǎn)便的標(biāo)準(zhǔn)，還在理論方面成為了后繼相似檢驗(yàn)的先驅(qū)［16］。不過(guò)，在皮爾遜這一對(duì)現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)里程碑式貢獻(xiàn)的原始論證中，卻存在著一個(gè)不小的錯(cuò)誤。

（一）皮爾遜（χ2，p）檢驗(yàn)思路

1900年，皮爾遜在其標(biāo)志性論文中提出［4］：假設(shè)對(duì)一個(gè)呈多項(xiàng)分布的k維正態(tài)總體進(jìn)行隨機(jī)抽樣實(shí)驗(yàn)，得到的所有樣本的頻次分布在n＋1個(gè)間格內(nèi)，如果每個(gè)間格分別有變 量 值m1′，m2′，…，mn′，mn＋1′；變量值m1，m2，…，mn，mn＋1；以及變量值ms1，ms2，…，msn，msn＋1。其中m′＝ 每個(gè)間格的 觀(guān) 測(cè) 頻次；m＝每個(gè)間格預(yù)先假定理論頻次；ms＝ 每個(gè)間格從樣本數(shù)據(jù)中推斷出的理論頻次。

皮爾遜認(rèn)為，在上述頻次分布中，只存在著一個(gè)限制，即：∑m′＝∑m＝∑ms＝N＝樣本大小。尤其重要的是，如果誤差e＝m′－m，則有e1＋e2＋…＋en＋en＋1＝0。因此他認(rèn)為，n＋1個(gè)誤差中只有n個(gè)是自由變量，當(dāng)前面的n個(gè)變量已知時(shí)第n＋1個(gè)就能確定。由此，經(jīng)過(guò)一系列推理，皮爾遜得到：

作為刻畫(huà)n＋1個(gè)間格中的實(shí)際觀(guān)測(cè)頻次和預(yù)先假定理論頻次擬合程度的統(tǒng)計(jì)量，顯然，χ2越小，說(shuō)明觀(guān)測(cè)頻次與理論頻次越一致。

進(jìn)一步，皮爾遜證明，如果預(yù)先假定的理論頻次是正確的，那么，隨著樣本大小N的無(wú)限增長(zhǎng)，用式（1）得到的χ2統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布將完全獨(dú)立于假定理論頻次的概率分布，從而服從皮爾遜Ⅲ型分布（Γ分布），記為：

其中n′＝n＋1是樣本間格數(shù)，并且該分布除χ2統(tǒng)計(jì)量外唯一決定因素就是n′。

皮爾遜隨后斷定，如果記大樣本條件下由隨機(jī)抽樣導(dǎo)致的χ2為χn2′，由樣本實(shí)際觀(guān)測(cè)值與理論值算出的χ2為χ20，那么統(tǒng)計(jì)學(xué)家能夠得到的樣本由于隨機(jī)抽樣原因?qū)е鲁闃诱`差大于或等于實(shí)際觀(guān)測(cè)中觀(guān)測(cè)值與理論值之間差異的概率將為：

鑒于式（3）不易計(jì)算，經(jīng)由簡(jiǎn)化，皮爾遜又導(dǎo)出了兩個(gè)更為當(dāng)時(shí)的統(tǒng)計(jì)學(xué)者頻繁使用的公式，即如果n′＝n＋1為奇數(shù)，將有：

如果n′＝n＋1為偶數(shù)，則有：

因此，實(shí)際操作中只需通過(guò)式（1）計(jì)算出χ20，再由n′的奇偶選擇相應(yīng)式（4）或式（5）代入χ0算出p值，就能得到在預(yù)先假定的理論頻次正確條件下，隨機(jī)抽樣出現(xiàn)χ20這么大差異或更大差異的可能性有多大的判斷。毋庸置疑，p值就是皮爾遜所謂的衡量樣本觀(guān)測(cè)頻次與其假定理論頻次之間擬合優(yōu)度的標(biāo)準(zhǔn)，它介于（0，1）之間，并與χ20成反比，χ20越小，則p值越大，說(shuō)明樣本觀(guān)測(cè)頻次與理論頻次之間的擬合度愈好，也說(shuō)明預(yù)先假定的理論頻次愈為可靠。所以，它也被稱(chēng)為皮爾遜（χ2，p）檢驗(yàn)。

（二）應(yīng)用實(shí)例與χ2表

按當(dāng)時(shí)慣例，皮爾遜還以實(shí)例對(duì)上述思路進(jìn)行了具體說(shuō)明。以同事 Weldon實(shí)際觀(guān)察到的骰子投擲實(shí)驗(yàn)結(jié)果為例，經(jīng)整理他得到表1數(shù)據(jù)［4］。

表1 皮爾遜卡方檢驗(yàn)數(shù)據(jù)表

表1中，理論頻次m1按Weldon最初設(shè)想的二項(xiàng)式理論分布26 306×（1／3＋2／3）12算出。而在皮爾遜對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果檢查之后，他發(fā)現(xiàn)12顆骰子同時(shí)擲26 306次，5點(diǎn)或6點(diǎn)出現(xiàn)的總和值是106 602次。于是，皮爾遜用106 602取代用概率1／3得到的理論值105 224，得到新概率值0．337 7，然后用26 306×（0．337 7＋0．662 2）12的二項(xiàng)式理論分布算出理論頻次m2

。因?yàn)閚′＝n＋1＝13，通過(guò)式（1）和式（4），可輕易得到：按理 論頻次m1，χ2＝ 43．872 41，p＝0．000 016；而按理論頻次m2，χ2＝17．775 755 5，p＝0．122 7。皮爾遜這樣表述實(shí)驗(yàn)結(jié)果：對(duì)于前者，p＝0．000 016＝1／62 550說(shuō)明，如果作62 550次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，只有1次實(shí)驗(yàn)由于隨機(jī)原因?qū)е碌南到y(tǒng)偏差會(huì)大于或等于實(shí)驗(yàn)觀(guān)測(cè)到的樣本觀(guān)測(cè)頻次與理論頻次的偏差，其余62 549次實(shí)驗(yàn)所得系統(tǒng)偏差都將小于實(shí)驗(yàn)觀(guān)測(cè)偏差，這是一個(gè)極少見(jiàn)的小概率事件，它在實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)將使人們不得不懷疑由26 306×（1／3＋2／3）12所得理論頻次的正確性；對(duì)于后者，p＝0．122 7≈1／8表明，8次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中就有1次實(shí)驗(yàn)由于隨機(jī)原因?qū)е碌南到y(tǒng)偏差大于或等于實(shí)驗(yàn)觀(guān)測(cè)到的偏差，這已經(jīng)在可以接受的范圍內(nèi)。因而，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，使用二項(xiàng)分布（0．337 7＋0．662 2）12去擬合實(shí)際觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)將比（1／3＋2／3）12更可靠。這也說(shuō)明，可以否定實(shí)驗(yàn)中骰子是均勻的，其每面出現(xiàn)的概率均為1／6，而接受骰子均勻度有偏差的假設(shè)。

考慮到卡方檢驗(yàn)的應(yīng)用前景，皮爾遜和他的學(xué)生Elderton還制作了現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)史上第一張標(biāo)準(zhǔn)的χ2分布表［17］28。

表2 Elderton標(biāo)準(zhǔn)χ2分布表

可明顯看出，在假定隨機(jī)抽樣所得樣本的理論頻次已知（即抽樣總體的分布已知）條件下，（χ2，p）檢驗(yàn)的決定因素在于n′的數(shù)量，且n′＝n＋1。

（三）皮爾遜的錯(cuò)誤判斷

在皮爾遜卡方檢驗(yàn)構(gòu)想中，總體的理論概率都是假定預(yù)先已知的，但實(shí)際中很多案例并不如此，總體理論分布未知并需要從樣本中進(jìn)行推斷反而更常見(jiàn)。皮爾遜也意識(shí)到了這個(gè)問(wèn)題，但遺憾的是，他做出了一個(gè)錯(cuò)誤判斷。

上文提到，皮爾遜視隨機(jī)樣本中的m′為每個(gè)間格的觀(guān)測(cè)頻次，m為每個(gè)間格預(yù)先假定的理論頻次，ms為每個(gè)間格從樣本數(shù)據(jù)中推斷出的理論頻次。他特別聲明，如果記m＝ms＋u，則在大樣本條件下，原則上，比率u／ms將很?。?］。

皮爾遜對(duì)式（6）有兩個(gè)重要判斷：第一，等式后左邊第一項(xiàng)要么是負(fù)的（因而可以與第二項(xiàng)部分抵消），要么是很小的正數(shù)。第二，等式后第二項(xiàng)雖然為正，但在任何情況下它都將很小，因?yàn)樗嗣恳粋€(gè)被加總的）2。因此，在這兩個(gè)判斷支撐下，皮爾遜斷言，χ2與χs2相差不大，在大樣本條件下，χ2與χs2應(yīng)有同一極限分布。

客觀(guān)而言，皮爾遜錯(cuò)誤判斷的后果并非微不足道。在 Weldon骰子實(shí)驗(yàn)中，n′＝13與n′＝12意味著p值接近0．05的差異，這已經(jīng)非常顯著了。而在列聯(lián)表中，皮爾遜錯(cuò)誤判斷的影響更為突出，如后文所述，皮爾遜認(rèn)為2×2列聯(lián)表的n′＝4而非2，3×3列聯(lián)表的n′＝9而非5，在假設(shè)檢驗(yàn)中這必將導(dǎo)致災(zāi)難性的結(jié)果。

客觀(guān)地說(shuō)，皮爾遜卡方檢驗(yàn)仍是現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)史上最偉大的發(fā)現(xiàn)之一，它是第一個(gè)也是最重要的一個(gè)溝通了描述數(shù)據(jù)分析與推斷數(shù)據(jù)分析的檢驗(yàn)準(zhǔn)則。皮爾遜用公式分離、表達(dá)出了另一個(gè)重要問(wèn)題，以至于20年后另一個(gè)天才用他自己簡(jiǎn)單的方法做出了一個(gè)巨大發(fā)現(xiàn) —— 自由度。

三、卡方檢驗(yàn)的準(zhǔn)確性問(wèn)題

或許是皮爾遜對(duì)χ2與χ2s相差不大的論證過(guò)于隱晦，在卡方檢驗(yàn)提出后的20多年里，大多數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)家即使錯(cuò)誤地使用了卡方檢驗(yàn)也往往毫無(wú)察覺(jué)。但也有例外，Greenwood與Yule就在反復(fù)檢查、比對(duì)收集到的大量數(shù)據(jù)后，對(duì)卡方檢驗(yàn)的準(zhǔn)確性產(chǎn)生了疑問(wèn)，這種疑問(wèn)在他們對(duì)四格表（2×2列聯(lián)表）的分析中更是達(dá)到了頂點(diǎn)，并成為了費(fèi)歇爾討論自由度問(wèn)題時(shí)最重要的論據(jù)。然而，Stigler對(duì)此僅一筆帶過(guò)，F(xiàn)ienberg也對(duì)細(xì)節(jié)囫圇吞棗、含糊其辭［13－14］，所以，對(duì)此問(wèn)題有必要重新細(xì)致梳理。

（一）Greenwood與Yule的發(fā)現(xiàn)

按皮爾遜的看法，如果對(duì)形式為表3的四格表中兩屬性相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行研究，首先必須利用χ2統(tǒng)計(jì)量考察p值，以檢驗(yàn)兩屬性間是否相互獨(dú)立［17］27－30。

表3 一般形式的四格表

具體而言，皮爾遜認(rèn)為，最好的方法就是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)量：

代入Elderton表找到相應(yīng)p值，如果p值很大，則說(shuō)明觀(guān)測(cè)頻次與預(yù)先假設(shè)的兩屬性間相互獨(dú)立的理論頻次相當(dāng)擬合，也就表明兩屬性相互獨(dú)立的假設(shè)成立。不過(guò)，皮爾遜認(rèn)為，雖然四格表中的理論頻次是由樣本觀(guān)測(cè)頻次推斷而得，但在卡方檢驗(yàn)中，它和理論頻次事前已知差異不大，所以代入Elderton表匹配相應(yīng)p值時(shí)，n′＝2×2＝4。

Yule作為皮爾遜的學(xué)生，他對(duì)皮爾遜卡方檢驗(yàn)的思路十分熟悉，在1906年對(duì)一個(gè)3×3列聯(lián)表進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，他依然使用n′＝3×3作為（χ2，p）檢驗(yàn)的n′值。直到1915年，他才在對(duì)四格表的分析中透露出了自己的不同看法。

這一年，Greenwood與Yule考察了歐洲大陸針對(duì)傷寒和霍亂進(jìn)行接種預(yù)防的大量數(shù)據(jù)［18］。為了弄清楚接種是否能夠預(yù)防霍亂和傷寒，他們把收集到的數(shù)據(jù)整理為表4的形式。

表4 歐洲傷寒、霍亂接種實(shí)際數(shù)據(jù)表

如果依照皮爾遜的方法，則首先應(yīng)用式（9）算出χ2統(tǒng)計(jì)量，再按n′＝4，找到相應(yīng)p值，就可以判斷接種和感染之間是否相互獨(dú)立。例如表4中可得χ2＝56．23，p小于0．000 1，說(shuō)明接種與感染之間有顯著相關(guān)。不過(guò)，雖然Greenwood與Yule有保留地承認(rèn)皮爾遜（χ2，p）方法能夠?yàn)檫@些數(shù)據(jù)提供有效的判定標(biāo)準(zhǔn)，但在反復(fù)檢驗(yàn)和比較后他們發(fā)現(xiàn)，如果按照皮爾遜的方法，四格表中的χ2統(tǒng)計(jì)量必然服從n′＝4的卡方分布，也即必然有：

而按照他們的理解，設(shè)p1＝a／（a＋b）＝ 接種感染的人／所有接種的人，p2＝c／（c＋d）＝未接種感染的人／所有未接種的人，那么統(tǒng)計(jì)量（p1－p2）／σp1－p2也能夠?yàn)榕卸▋蓪傩灾g相互獨(dú)立提供同樣標(biāo)準(zhǔn)。進(jìn)而，假設(shè)表3中A、B兩因素相互獨(dú)立，則必然有p1＝p2＝ （a＋c）／N，這樣一來(lái)，他們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)四格表中的N充分大時(shí)，按棣莫弗 — 拉普拉斯中心極限定理，統(tǒng)計(jì)量

必將漸進(jìn)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)N（0，1）。而使他們疑惑的是，如果對(duì)式（11）取平方，則有：

顯然，由于式（11）中統(tǒng)計(jì)量服從N（0，1），則式（12）中χ2統(tǒng)計(jì)量的分布必服從以下公式：

毫無(wú)疑問(wèn)，式（13）等價(jià)于把n′＝2代入皮爾遜卡方檢驗(yàn)所得之結(jié)果，而非式（10）代入n′＝4的結(jié)果。所以，Greenwood與Yule在文中多次指出，他們和皮爾遜之間就列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)存在著不同的看法［18］。

但是，Greenwood與Yule在1915年并未意識(shí)到他們上述發(fā)現(xiàn)的意義，也沒(méi)有對(duì)他們和皮爾遜在列聯(lián)表卡方檢驗(yàn)上的分歧實(shí)質(zhì)給出進(jìn)一步說(shuō)明。他們僅僅宣稱(chēng)，用皮爾遜卡方檢驗(yàn)得出的因?yàn)殡S機(jī)抽樣導(dǎo)致的任何可能事件或不可能事件的概率，總是大于用其他方法檢驗(yàn)出的概率，因此，必須謹(jǐn)慎使用卡方檢驗(yàn)?？傊?，他們?cè)诋?dāng)時(shí)回避了困難，這種局面直到費(fèi)歇爾提出自由度概念以后才得以徹底改觀(guān)。

四、自由度與費(fèi)歇爾對(duì)卡方檢驗(yàn)的修正

在現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)史上，費(fèi)歇爾是繼皮爾遜之后的又一個(gè)巨人，費(fèi)歇爾對(duì)現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)有著多方面的貢獻(xiàn)，其中就包括他利用自由度概念對(duì)皮爾遜卡方檢驗(yàn)錯(cuò)誤的修正。費(fèi)歇爾的修正過(guò)程，不僅集中體現(xiàn)了其出色的數(shù)學(xué)直覺(jué)與通過(guò)個(gè)案一般化重要問(wèn)題的思想風(fēng)格，也使自由度的本質(zhì)含義和其蘊(yùn)含的統(tǒng)計(jì)思想淋漓盡致地體現(xiàn)出來(lái)。

（一）自由度與n維幾何

可作為σ的最佳估值使用。費(fèi)歇爾卻

費(fèi)歇爾認(rèn)為，利用n維幾何的直觀(guān)方法，可以把樣本（x1，x2，…，xn）視為n維歐幾里得空間Rn中的一點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)量的除數(shù)之所以為n，在于確定珚x時(shí)，由于沒(méi)有任何獨(dú)立約束，點(diǎn)（x1，x2，…，xn）可以在n維空間中自由活動(dòng)。而統(tǒng)計(jì)量s的除數(shù)應(yīng)為n－1的理由在于，確定s的前提是珚x已經(jīng)確定，這意味著點(diǎn)（x1，x2，…，xn）將受到一個(gè)獨(dú)立約束（xi－）＝0。因此，點(diǎn)（x1，x2，…，xn）就只能在一個(gè)通過(guò)點(diǎn)（x珚，x珚，…，x珚）的n－1維超平面上活動(dòng)，統(tǒng)計(jì)量s只有n－1個(gè)自由度。以三維為例，樣本（x1，x2，x3）可以看成是以總體均值為原點(diǎn)的3維空間中的一點(diǎn)，確定x珚時(shí)，由于沒(méi)有任何限制，點(diǎn)（x1，x2，x3）可在3維空間中任意活動(dòng)，而一旦確定，也就意味著3維空間中必存在一點(diǎn)A（），使得（xi－）＝0。顯然，一旦有了這個(gè)獨(dú)立約束，點(diǎn)（x1，x2，x3）就不可能再在3維空間中自由活動(dòng)，而只能在一個(gè)2維平面上活動(dòng)了，因此，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量s時(shí)就只有2個(gè)自由度了。

（二）列聯(lián)表卡方檢驗(yàn)中的自由度

有了自由度與n維幾何工具，費(fèi)歇爾對(duì)Greenwood與Yule在列聯(lián)表卡方檢驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行了新的思考［1］。他開(kāi)宗明義地宣稱(chēng)：在每個(gè)間格的觀(guān)察值都很大的條件下，卡方檢驗(yàn)毫無(wú)疑問(wèn)具有普遍效力，不過(guò)，當(dāng)列聯(lián)表卡方檢驗(yàn)的理論頻次需要從樣本觀(guān)察頻次中推斷出時(shí)，必須對(duì)n′的取值進(jìn)行修正。進(jìn)一步，費(fèi)歇爾認(rèn)為，在r×c列聯(lián)表中，Elderton表雖仍然適用，不過(guò)，必須用自由度的數(shù)目加1，即n′＝ （r－1）（c－1）＋1取代皮爾遜認(rèn)為的n′＝rc代入列聯(lián)表進(jìn)行卡方檢驗(yàn)。

由度。而且，因?yàn)橛衑ij＝0，i＝1，2，…，r以及＝0，j＝1，2，…，c，故還有r＋c個(gè)約束條件，但由于行誤差總和為零與列誤差總和為零的限制，其中只有r＋c－2個(gè)是獨(dú)立的。因此，r×c列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)中的χ2統(tǒng)計(jì)量的自由度應(yīng)為rc－1－（r＋c－2）＝ （r－1）（c－1）。

（三）卡方檢驗(yàn)的前提假設(shè)

不料，費(fèi)歇爾的文章一經(jīng)發(fā)表，就遭到了來(lái)自各方的猛烈攻擊。不僅皮爾遜曾輕蔑地說(shuō)：“我希望我的批評(píng)者原諒我把他比作與風(fēng)車(chē)作戰(zhàn)的堂吉訶德”［5］。而且很多批評(píng)者認(rèn)為，費(fèi)歇爾對(duì)n′＝2的修正適用的是這樣的四格表［19］：牌局中甲、乙兩選手各拿由26張紅花色牌和26張黑花色牌組成的52張牌中一半，在紅花色牌和黑花色牌期望頻次均等條件下，問(wèn)實(shí)際觀(guān)察中出現(xiàn)如下頻次（表5）的概率是多少？

表5 由挑選樣本構(gòu)成的四格表

顯然，利用式（1）可得χ2＝16／13，又因?yàn)楸?中有獨(dú)立約束條件m1＝m2＝m3＝m4＝13，以及e1＝2＝e4、e2＝2＝e3，所以有1個(gè)自由度。把n′＝2代入式（5），最終可得p＝0．27。

批評(píng)者認(rèn)為，只有出現(xiàn)表5這樣的非隨機(jī)樣本，卡方檢驗(yàn)中的n′才需加以修正，而在表4那樣他們稱(chēng)之為可疑個(gè)案的四格表中，無(wú)需修正n′＝4。

針對(duì)這一批評(píng)，費(fèi)歇爾指出了暗含于卡方檢驗(yàn)中的三種假設(shè)前提（見(jiàn)表6）［2］。

表6 卡方檢驗(yàn)的三種假設(shè)前提表

表6中，A代表著卡方檢驗(yàn)中的理論頻次在檢驗(yàn)前預(yù)先已知的類(lèi)型，在這樣的前提下，1900年皮爾遜定義的、被多數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)家代入Elderton表的n′無(wú)需做任何修正。皮爾遜利用預(yù)先已知的理論概率1／3對(duì)骰子實(shí)驗(yàn)結(jié)果的證明就屬于這種類(lèi)型。

B代表雖然總體的理論頻次預(yù)先已知，但樣本卻非隨機(jī)樣本而是挑選樣本，因此，代入Elderton表的n′需要修正。批評(píng)者對(duì)如表5那樣的個(gè)案的討論屬于這個(gè)類(lèi)型。

在費(fèi)歇爾看來(lái)，卡方檢驗(yàn)中真正重要的是C所代表的類(lèi)型，它是實(shí)驗(yàn)、觀(guān)察中最頻繁出現(xiàn)的類(lèi)型。其中理論頻次必須依靠樣本的邊緣和進(jìn)行人為計(jì)算，所以和B一樣，必須對(duì)n′加以修正，Greenwood與Yule對(duì)四格表的檢驗(yàn)就是典型。

費(fèi)歇爾指出，就表3而言，他和皮爾遜分歧的實(shí)質(zhì)在于：若設(shè)a，b，c，d所對(duì)應(yīng)的概率為p1，p2，p3，p4，則必有p1＋p2＋p3＋p4＝1，如果兩變量間相互獨(dú)立，則p1p4＝p2p3，假設(shè)從總體中抽取了N個(gè)樣本，那么a，b，c，d必然服從如下多項(xiàng)分布：

顯然，只要知道p1，p2，p3，p4和N，a，b，c，d的聯(lián)合分布就將確定，任何關(guān)于a，b，c，d關(guān)系的函數(shù)分布也將確定。依皮爾遜的思路，在p1，p2，p3，p4預(yù)先已知的前提假設(shè)下，a，b，c，d相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系應(yīng)為：

此時(shí)，必須把代入獨(dú)立性卡方檢驗(yàn)的n′修正為n′＝2。其實(shí)，對(duì)費(fèi)歇爾最有利的是Yule的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。根據(jù)隨機(jī)模擬方法，Yule獲得了350個(gè)四格表的實(shí)驗(yàn)結(jié)果［20］。費(fèi)歇爾把這些數(shù)據(jù)加以整理得到表7。得到函數(shù)關(guān)系為：

表7 Yule實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表

表中第2列得到的結(jié)果表示χ2值落入相應(yīng)標(biāo)示區(qū)間的實(shí)際觀(guān)察頻數(shù)，第3和第4列表示χ2值服從n′＝2、n′＝4的卡方分布時(shí)應(yīng)有的理論頻數(shù)。一目了然，n′＝2時(shí)觀(guān)察值與理論值的符合程度遠(yuǎn)勝n′＝4，這證實(shí)了費(fèi)歇爾的判斷。

（四）最大似然估計(jì)法下的自由度

費(fèi)歇爾認(rèn)為，無(wú)論是基于直覺(jué)的n維幾何證明，還是對(duì)不同前提假設(shè)的分析，都缺乏堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。于是，利用其1922年提出的最大似然估計(jì)方法，費(fèi)歇爾對(duì)自由度問(wèn)題做出了總結(jié)性的分析［3］。

然而，當(dāng)研究目的不在于直接得到m（），而是要對(duì)包含有m（θ）的χ2統(tǒng)計(jì)量的有效性進(jìn)行判斷時(shí)，情況又有所不同。此時(shí)，應(yīng)該取什么樣的χ2估計(jì)量作為含有參數(shù)真值的χ2的最佳估計(jì)呢？費(fèi)歇爾以為，在這種情形下，應(yīng)該以最小χ2為原則，取使

最小的χ2（）作為最佳估計(jì)。理由很明顯，作為刻畫(huà)由于隨機(jī)原因?qū)е聦?shí)際觀(guān)察值與其理論概率值偏差程度的統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)取得最小χ2值時(shí)，說(shuō)明此時(shí)χ2值中包含的m（θ）將最接近總體真值。因而，在諸多χ2（θ）的估計(jì)中，如果χ2（）是其最佳估計(jì)，那它必然是關(guān)于θ的函數(shù)χ2（θ）的最小值點(diǎn)。又根據(jù)可微函數(shù)達(dá)極值的必要條件可得：

回到實(shí)際案例中，事實(shí)將更為明顯。在1925年首版的《研究工作者用的統(tǒng)計(jì)方法》中，費(fèi)歇爾對(duì)表1進(jìn)行了新的解釋。已知在表1中，皮爾遜利用樣本觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)了5點(diǎn)或6點(diǎn)出現(xiàn)的概率為0．337 7后，其代入卡方檢驗(yàn)的n′仍然是n′＝n＋1＝13。而費(fèi)歇爾認(rèn)為，因?yàn)?．337 7是從樣本中估計(jì)出來(lái)的一個(gè)總體未知參數(shù)，因此代入卡方檢驗(yàn)的n′必將失去一個(gè)自由度，也即應(yīng)該用n′＝12進(jìn)行同樣的檢驗(yàn)。

3．小結(jié)。同一時(shí)期，費(fèi)歇爾還利用自由度概念詳細(xì)討論了t分布和F分布（當(dāng)時(shí)費(fèi)歇爾考慮的是統(tǒng)計(jì)量logF的分布，即z分布），初步奠立了三大分布的數(shù)理邏輯基礎(chǔ)。這些工作不僅在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)界影響巨大，它們還成為了經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等社會(huì)科學(xué)學(xué)科定量研究思想、方法的重要源泉，自由度概念也由于三大分布的廣泛使用深入人心。隨著20世紀(jì)30年代后統(tǒng)計(jì)學(xué)的高速發(fā)展，對(duì)那些不熟悉現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)理論的基礎(chǔ)文獻(xiàn)，或者是從教科書(shū)中了解它們的人來(lái)說(shuō)，自由度概念的實(shí)質(zhì)及其蘊(yùn)涵的統(tǒng)計(jì)思想?yún)s變得越來(lái)越陌生和難于理解。

五、結(jié) 論

基于第一手文獻(xiàn)資料，從統(tǒng)計(jì)學(xué)史角度，本文厘清了皮爾遜在其卡方檢驗(yàn)原初構(gòu)想中的判斷錯(cuò)誤，探討了這一錯(cuò)誤的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，細(xì)致闡釋了費(fèi)歇爾創(chuàng)造自由度概念修正該錯(cuò)誤的數(shù)理邏輯。研究表明：

第一，Walker、Cramer與Good提出的三個(gè)被廣泛引用的一般化經(jīng)典解釋?zhuān)瑢?shí)際來(lái)源于他們對(duì)費(fèi)歇爾原始論證的理解和抽象，但這三個(gè)解釋都只選取了費(fèi)歇爾全面論證中的一個(gè)方面。

第二，本質(zhì)上，自由度是從樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)時(shí)的一次邏輯飛躍。因此，自由度可理解為樣本統(tǒng)計(jì)量中排除了待估總體參數(shù)影響后仍能自由取值的隨機(jī)變量個(gè)數(shù)。所謂獨(dú)立約束條件，本質(zhì)上就是待估總體參數(shù)。

第三，費(fèi)歇爾與皮爾遜的自由度之爭(zhēng)，并不是簡(jiǎn)單的概念爭(zhēng)論，背后體現(xiàn)的是那個(gè)時(shí)代人們從描述統(tǒng)計(jì)走向推斷統(tǒng)計(jì)時(shí)，對(duì)現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)方法的創(chuàng)造性發(fā)明，以及圍繞這些方法進(jìn)行嚴(yán)格邏輯推導(dǎo)、實(shí)驗(yàn)說(shuō)明和數(shù)學(xué)論證，從而奠定統(tǒng)計(jì)學(xué)沿用至今的理論基礎(chǔ)的思維過(guò)程。

最后，在當(dāng)前有關(guān)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)史的中文專(zhuān)著、論文極為稀缺，而相關(guān)學(xué)科師生迫切希望了解統(tǒng)計(jì)學(xué)中一些基本概念、方法與思想的歷史源流和演變發(fā)展背景下，筆者期望本文能拋磚引玉，以使統(tǒng)計(jì)學(xué)史研究引起人們更多重視。

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