張文福，謝 丹，劉迎春，計(jì) 靜

(1.東北石油大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，大慶 163318;2.黑龍江省防災(zāi)減災(zāi)及防護(hù)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大慶 163318)

下?lián)舯┝黠L(fēng)速是自然界中的極端風(fēng)荷載的來源之一，已引起世界各地許多結(jié)構(gòu)的破壞［1-2］。Fujita［3］將下?lián)舯┝黠L(fēng)速定義為一股強(qiáng)烈的下沉氣流引起的沿著地面或靠近地面的極具破壞力的爆發(fā)性強(qiáng)風(fēng)。Chay等［4］從本質(zhì)上詳細(xì)的闡述了下?lián)舯┝黠L(fēng)速的形成方式。

國外許多學(xué)者通過風(fēng)場(chǎng)實(shí)測(cè)、風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)?zāi)M、CFD數(shù)值模擬等方法對(duì)下?lián)舯┝黠L(fēng)速進(jìn)行大量研究，提出了一些下?lián)舯┝黠L(fēng)速的豎向風(fēng)剖面和水平徑向風(fēng)剖面的數(shù)學(xué)模型［5-8］。Chen等［9］在這些數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上提出了一種下?lián)舯┝黠L(fēng)速數(shù)值模擬的模型，即:確定性-隨機(jī)性混合模型(Deterministic-Stochastic Hybrid model，本文簡(jiǎn)稱為 DESH 模型)。瞿偉廉等［10］在DESH模型的基礎(chǔ)上采用改進(jìn)的諧波疊加法對(duì)下?lián)舯┝黠L(fēng)速進(jìn)行數(shù)值模擬研究;潘峰等［11］采用DESH模型模擬了跨度屋蓋結(jié)構(gòu)的下?lián)舯┝黠L(fēng)場(chǎng)，并對(duì)其進(jìn)行了邊界層風(fēng)洞試驗(yàn)研究。王昕等［12］在DESH模型的基礎(chǔ)上聯(lián)合運(yùn)用FFT算法和諧波疊加法模擬了下?lián)舯┝黠L(fēng)速的脈動(dòng)成分，并對(duì)下?lián)舯┝黠L(fēng)荷載作用下高聳輸電塔進(jìn)行風(fēng)振響應(yīng)研究。李春祥等［13］采用DESH模型對(duì)某一固定位置處的豎向分布下?lián)舯┝黠L(fēng)場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，并且在模擬隨機(jī)脈動(dòng)成分時(shí)引入了三次樣條函數(shù)插值技術(shù)，提高了下?lián)舯┝黠L(fēng)場(chǎng)數(shù)值模擬的效率。

由于目前實(shí)測(cè)的下?lián)舯┝黠L(fēng)速曲線記錄比較少，因此在現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上開展下?lián)舯┝黠L(fēng)場(chǎng)的數(shù)值模擬研究顯得十分必要。本文在Chen等［9］提出的DESH模型的基礎(chǔ)上，利用Wood［7］豎向風(fēng)剖面模型和Holmes［8］水平徑向風(fēng)剖面模型模擬出空間各點(diǎn)處的平均風(fēng)速，并采用AR模型生成具有時(shí)間相關(guān)性和空間相關(guān)性的脈動(dòng)風(fēng)速，從而模擬得到下?lián)舯┝骺臻g相關(guān)性風(fēng)場(chǎng)。

1 DESH模型

在這個(gè)模型中，空間各點(diǎn)的下?lián)舯┝黠L(fēng)速由具有確定性的平均風(fēng)和具有隨機(jī)性的脈動(dòng)風(fēng)兩部分組成，M個(gè)空間點(diǎn)的風(fēng)速時(shí)程向量(風(fēng)場(chǎng))V(x，y，z，t)=［V1(x1，y1，z1，t)V2(x2，y2，z2，t)…VM(xM，yM，zM，t)］T中任意一點(diǎn)可表示成:

式中:Vi(xi，yi，zi，t)是關(guān)于空間中一點(diǎn)同風(fēng)暴中心相對(duì)位置坐標(biāo)xi，yi，zi和時(shí)間t的函數(shù)，表示隨時(shí)間變化的平均風(fēng)速，可以由一個(gè)確定的函數(shù)來指定，稱為具有確定性的平均風(fēng);vi(xi，yi，zi，t)是與風(fēng)暴中心相對(duì)位置有關(guān)的零均值的脈動(dòng)風(fēng)，是一個(gè)隨機(jī)過程。

在不影響工程精度要求的前提下，對(duì)DESH模型作如下假定:① 各位置處平均風(fēng)速的最大值在時(shí)間函數(shù)取得最大值時(shí)獲得;② 非平穩(wěn)的脈動(dòng)風(fēng)可以通過一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)風(fēng)速場(chǎng)進(jìn)行幅度調(diào)制來獲得;③ Davenport提出的脈動(dòng)風(fēng)相干函數(shù)適用于DESH模型。

1.1 平均風(fēng)速

空間中一點(diǎn)任意時(shí)刻t的平均風(fēng)速可以用一個(gè)豎向風(fēng)剖面函數(shù)與一個(gè)時(shí)間函數(shù)的乘積來表示，即:

式中:Vi(zi)為最大平均風(fēng)速的豎向風(fēng)剖面;fi(xi，yi，t)為描述豎向風(fēng)剖面隨時(shí)間變化的函數(shù)，其最大值為1;xi，yi為空間點(diǎn)相對(duì)風(fēng)暴中心的位置坐標(biāo)。

對(duì)于豎向風(fēng)剖面，本文采用 Wood等［7］提出的模型，其表達(dá)式為:

式中:zi為空間點(diǎn)距地面的高度;Vmax為最大風(fēng)速;δ為高度參數(shù)，它等于取得最大風(fēng)速Vmax時(shí)離地面高度的一半;erf是容許誤差函數(shù)，其表達(dá)式為:

Holmes在前人研究的基礎(chǔ)上提出考慮時(shí)間衰減性的徑向射流速度分布規(guī)律及風(fēng)暴移動(dòng)速度的概念，并指出:空間點(diǎn)任意時(shí)刻的平均風(fēng)速Vci(xi，yi，t)等于下?lián)舯┝鲝较蛏淞魉俣萔ri(xi，yi，t)與風(fēng)暴中心移動(dòng)速度Vt的矢量和:

其中徑向射流速度通過下式確定:

式中:r為t時(shí)刻空間點(diǎn)與風(fēng)暴中心點(diǎn)的距離;Vr，max為最大的徑向射流速度;rmax為取得Vr，max時(shí)的位置距風(fēng)暴中心的徑向距離;Rr為徑向的特征距離;T為下?lián)舯┝鞒掷m(xù)時(shí)間。

假設(shè)風(fēng)暴中心沿X方向移動(dòng)，風(fēng)暴中心與空間點(diǎn)的位置關(guān)系及速度關(guān)系圖如圖1所示。分析圖1可知，假設(shè)在XOY坐標(biāo)系中:0時(shí)刻風(fēng)暴中心點(diǎn)O坐標(biāo)為(0，0)，空間點(diǎn)P坐標(biāo)為(xi，yi);在X'O'Y'坐標(biāo)系中:t時(shí)刻風(fēng)暴中心點(diǎn)O'坐標(biāo)為(0，0)，空間點(diǎn)P'坐標(biāo)為(x，y)。則:

將式(7)和式(8)代入式(5)得:

圖1 徑向速度與風(fēng)暴移動(dòng)速度矢量合成圖Fig.1 Vector combination of radial and translation

將式(9)代入式(4)即可求出時(shí)間函數(shù)，再將式(4)代入式(2)可求得隨時(shí)間變化的平均風(fēng)速。從中可以看出平均風(fēng)速與空間點(diǎn)P相對(duì)于0時(shí)刻風(fēng)暴中心的坐標(biāo)(xi，yi)及離地面高度zi有關(guān)，圖2給出了空間四點(diǎn)的平均風(fēng)速隨時(shí)間的分布情況，其中0時(shí)刻風(fēng)暴中心的坐標(biāo)為(0，0)，沿X軸方向以12 m/s的速度移動(dòng)，空間四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P1(2 000，100，20)、P2(4 000，100，40)、P3(3 000，150，60)、P4(3 000，50，80)，風(fēng)暴中心與空間點(diǎn)的位置關(guān)系如圖1所示。

1.2 脈動(dòng)風(fēng)速

下?lián)舯┝黠L(fēng)速的脈動(dòng)風(fēng)部分是一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)過程，可以通過一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)風(fēng)速場(chǎng)進(jìn)行幅度調(diào)制來獲得:

圖2 空間四點(diǎn)平均風(fēng)速分布圖Fig.2 Average wind speed distribution of 4 spatial points

由于ki(xi，yi，zi，t)服從風(fēng)速譜的頻譜分布特性，本文采用Davenport單邊風(fēng)速譜，歸一化后的結(jié)果為:

下面討論ki(xi，yi，zi，t)的生成。生成脈動(dòng)風(fēng)的模型包括 AR模型、小波分析模型、諧波疊加模型等［15-16］。與諧波疊加模型相比，AR模型的計(jì)算量小、速度快，模擬的效率較高［17-18］，尤其是在生成一系列具有空間相關(guān)性脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)，AR模型的效率遠(yuǎn)高于諧波疊加模型［15］。當(dāng)然，諧波疊加模型數(shù)學(xué)基礎(chǔ)嚴(yán)密，在模型的精度上略高于AR模型，但是從后文中相關(guān)函數(shù)及功率譜的對(duì)比可以看出，AR模型的模擬結(jié)果也能滿足工程精度的要求。小波分析模型雖然精度也較高，但是其程序特別復(fù)雜，計(jì)算效率也低于AR模型。

本文利用文獻(xiàn)［15］中的標(biāo)量AR模型產(chǎn)生一系列具有時(shí)間相關(guān)性，但是在空間上互不相關(guān)的脈動(dòng)風(fēng)速ui(t)，i=1，2，…，M，之后在考慮各個(gè)點(diǎn)之間的空間相關(guān)性，從而模擬出下?lián)舯┝骺臻g相關(guān)性脈動(dòng)風(fēng)速。

1.2.1ui(t)的生成

P階AR 模型為［15］:

式中:p為自回歸階數(shù)，ψk為自回歸系數(shù)，N(t)為均值為0、方差為1的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。

依次將式(12)兩邊都乘以u(píng)i(t-jΔt)和ui(t)并取數(shù)學(xué)期望得［15］:

其中Ru(jΔt)是風(fēng)速時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)，根據(jù)維納-辛欽公式得到自相關(guān)函數(shù)可由下式來計(jì)算:

1.2.2 空間相關(guān)性脈動(dòng)風(fēng)速的產(chǎn)生

ui(t)向具有特定相關(guān)特性脈動(dòng)風(fēng)速ki(xi，yi，zi，t)，i=1，2，…，M的轉(zhuǎn)化可通過下式:

C為一個(gè)下三角矩陣，其元素可用如下遞推公式求得:

其中:R0為脈動(dòng)風(fēng)的互相關(guān)函數(shù)，可由下式求得:

式中:Sij(n)為i點(diǎn)與j點(diǎn)的互功率譜密度，可由自功率譜密度和相干函數(shù)確定，如式(19)和式(20)所示［15-16］:

式中:Cx、Cy、Cz分別為空間任意兩點(diǎn)左右、上下、前后的衰減系數(shù))分別為第i點(diǎn)與第j點(diǎn)的平均風(fēng)速，取零時(shí)刻的值;(xi，yi，zi)、(xj，yj，zj)分別為空間i，j點(diǎn)的三維坐標(biāo)。

2 算例

圖3 空間七點(diǎn)坐標(biāo)Fig.3 Coordinates of 7 spatial points

圖4 空間七點(diǎn)的風(fēng)速時(shí)程曲線Fig.4 Wind velocity history samples of 7 spatial point

表1 下?lián)舯┝黠L(fēng)場(chǎng)模擬時(shí)的主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of downburst wind field simulation

圖5 相關(guān)函數(shù)的對(duì)比Fig.5 Comparisons of correlation function

圖6 自功率譜的對(duì)比Fig.6 Comparisons of auto PSD

3 結(jié)論

(1)考慮時(shí)間衰減性研究了平均風(fēng)速與空間觀測(cè)點(diǎn)相對(duì)于零時(shí)刻風(fēng)暴中心的坐標(biāo)及離地面高度的關(guān)系，并給出了空間中四個(gè)點(diǎn)的平均風(fēng)速隨時(shí)間的分布情況。

(2)在確定性-隨機(jī)性混合模型的基礎(chǔ)上，利用Wood豎向風(fēng)剖面模型和Holmes水平徑向風(fēng)剖面模型模擬出空間七點(diǎn)處的平均風(fēng)速，并采用AR模型生成具有時(shí)間相關(guān)性和空間相關(guān)性的脈動(dòng)風(fēng)速，從而獲得下?lián)舯┝骺臻g相關(guān)性風(fēng)場(chǎng)。通過脈動(dòng)風(fēng)相關(guān)函數(shù)及功率譜的對(duì)比表明，本文方法具有較高的精度。

由于風(fēng)暴中心的移動(dòng)性，空間點(diǎn)的平均風(fēng)速隨時(shí)間改變，本文在互相關(guān)函數(shù)計(jì)算中平均風(fēng)速取零時(shí)刻的值來代替，沒有考慮其隨著時(shí)間的變化性，在后續(xù)研究中應(yīng)將風(fēng)暴中心的移動(dòng)速度引入相關(guān)函數(shù)對(duì)比中。

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