劉祖軍，楊詠昕，葛耀君

(1.華北水利水電學(xué)院 土木與交通學(xué)院，鄭州 450011;2.同濟大學(xué) 橋梁工程系，上海 200092)

橋梁顫振是由于氣動不穩(wěn)定性引起的一種自激發(fā)散振動，該振動現(xiàn)象一旦發(fā)生，將導(dǎo)致橋梁結(jié)構(gòu)整體的毀滅性破壞。因此大跨度橋梁結(jié)構(gòu)顫振問題的研究顯得非常重要。目前橋梁顫振機理的研究包括橋梁顫振理論和驅(qū)動機理、顫振分析方法和橋梁斷面氣動性能等諸多方面。國內(nèi)外眾多學(xué)者針對這些研究內(nèi)容展開了深入的研究。

Matsumoto用一種Step-by-step方法即分步分析的方法對不同寬高比的矩形斷面以及菱形、橢圓形、三角形等斷面的氣動導(dǎo)數(shù)和氣動阻尼進行了風(fēng)洞試驗和理論研究［1-3］，并將斷面顫振按機理區(qū)分為四類:即耦合顫振、高速顫振、低速顫振和限速顫振。

楊詠昕等［4-6］在Matsumoto研究思路的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了二維三自由度耦合顫振分析方法，用該方法對平板，橋梁斷面和一些氣動措施的顫振機理進行了研究。通過分析他指出，理想薄平板的經(jīng)典耦合扭彎顫振是由扭轉(zhuǎn)主運動位移所產(chǎn)生的氣動升力激發(fā)起耦合豎向振動，耦合豎向運動的速度產(chǎn)生的耦合氣動升力矩又反饋作用到扭轉(zhuǎn)主運動上的這樣一條激勵-反饋路線是導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)散的主線。

Scanlan等［7］最早建立了橋梁顫振的多模態(tài)分析方法，并從能量觀點對橋梁的顫振穩(wěn)定性進行了很有價值的研究，給出了在一個振動周期內(nèi)氣流沿橋梁斷面每延米輸入的總能量和結(jié)構(gòu)耗能的表達式，并闡述了氣流輸入到結(jié)構(gòu)中的能量不僅與彎扭位移的幅值有關(guān)，而且與彎扭位移間的相位差有著密切的關(guān)系，但是他在能量部分僅給出了一個理論框架，沒給出具體方法。

劉高［8］從結(jié)構(gòu)與氣流系統(tǒng)內(nèi)部能量平衡的觀點對系統(tǒng)的顫振進行研究，發(fā)展了一種全橋多模態(tài)顫振能量分析方法，通過建立系統(tǒng)等效阻尼比與系統(tǒng)能量變化率之間的關(guān)系，推演了系統(tǒng)以及各階模態(tài)等效阻尼比的計算方法，并根據(jù)不同風(fēng)速下系統(tǒng)能量變化率來判斷系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性。

本文應(yīng)用激勵-反饋的分步分析方法對耦合顫振方程進行解耦，并將耦合顫振運動方程改造為能量方程形式，通過引入考慮阻尼影響的運動方程形式，建立了結(jié)構(gòu)-氣流系統(tǒng)顫振能量機理的研究框架，詳細推導(dǎo)了振動系統(tǒng)內(nèi)部作用力輸入到系統(tǒng)振動能量的計算方法，結(jié)合平板風(fēng)洞試驗對比分析了顫振前和顫振臨界狀態(tài)下系統(tǒng)主要氣動力的能量輸入和轉(zhuǎn)換特性，研究了影響氣動能量輸入的主要因素，從能量轉(zhuǎn)換的角度對平板彎扭耦合顫振進行了分析。

1 耦合顫振能量轉(zhuǎn)換分析框架

1.1 耦合顫振能量方程的建立

在僅考慮自激力作用情況下，具有豎彎和扭轉(zhuǎn)兩個自由度的橋梁斷面(圖1)在空氣中的運動方程［9］可以寫為:

根據(jù)二維耦合顫振分析理論，應(yīng)用分步分析思路建立了如圖2所示的耦合顫振能量分析框架。

考慮到扭轉(zhuǎn)振動中含有豎向振動的頻率成分ωh，豎向振動中也含有扭轉(zhuǎn)振動的頻率成分ωa，因此假設(shè)扭轉(zhuǎn)振動和豎向振動均有兩種振動頻率成分的參與，故扭轉(zhuǎn)和豎向振動可表示為下式:

圖1 二維橋梁節(jié)段Fig.1 Two dimensional bridge-girder section

圖2 耦合顫振能量分析框架Fig.2 The energy analysis framework of coupled flutter

其中:α0(t)是振動頻率為ωa的扭轉(zhuǎn)運動，α1(t)是豎向運動激發(fā)的振動頻率為ωh的扭轉(zhuǎn)運動;h0(t)是振動頻率為ωh的豎向運動，h1(t)是扭轉(zhuǎn)運動激發(fā)的振動頻率為ωa的豎向運動。

假設(shè)扭轉(zhuǎn)主運動α0(t)和豎向主運動h0(t)的方程表達式如下:

根據(jù)分步分析思路，將式(3a)代入式(1a)中求解扭轉(zhuǎn)主運動激發(fā)的豎向牽連運動h1(t):

同理將豎向主運動式(3b)代入式(1b)求解豎向主運動激發(fā)的扭轉(zhuǎn)牽連運動α1(t):

以上公式中的參數(shù)如下:

為了從能量角度考慮顫振過程中振動系統(tǒng)內(nèi)主要氣動力對系統(tǒng)能量的貢獻將顫振運動控制方程改寫為能量運動方程:

將上述的分析得到的a(t)和h(t)的表達式代入式(7)就可以分析顫振過程中氣動能量轉(zhuǎn)換機理以及氣動能量的輸入特性，便于從能量角度對顫振發(fā)生機理進行探討。

1.2 扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)內(nèi)主要氣動力向振動系統(tǒng)輸入的能量

式中的參數(shù):

式中的參數(shù):

2 平板扭轉(zhuǎn)振動能量分析

2.1 主要氣動力的能量輸入特性

為盡可能接近理想平板，采用了寬高比為22.5的平板剛體節(jié)段模型，外形尺寸見圖3，模型基本參數(shù)如下:m=11.25 kg/m，Im=0.282 8 kg·m2/m，豎向圓頻率 ωh=12.11 rad/s，扭轉(zhuǎn)圓頻率 ωα=19.0 rad/s。平板氣動導(dǎo)數(shù)如圖4所示。試驗在同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點實驗室TJ-1邊界層風(fēng)洞進行，顫振臨界風(fēng)速經(jīng)測定為16.5 m/s。

應(yīng)用二維兩自由度耦合顫振分析方法對該平板進行了顫振分析，導(dǎo)數(shù)采用了理想平板顫振導(dǎo)數(shù)如圖4所示，得到顫振臨界風(fēng)速16.0m/s，顫振圓頻率為15.6rad/s。

圖3 平板斷面(單位:mm)Fig.3 The model of plate(unit:mm)

圖4 平板的氣動導(dǎo)數(shù)Fig.4 Flutter derivatives of the plate

圖5 各項能量的百分比隨風(fēng)速變化關(guān)系Fig.5 The percentage of the energy vs the wind speed

圖6 A項能量的隨時間變化關(guān)系(U=16.0 m/s)Fig.6 Aerodynamic energy A vs time(U=16.0 m/s)

圖7 C項能量的隨時間變化關(guān)系(U=16.0 m/s)Fig.7 Aerodynamic energy C vs time(U=16.0 m/s)

圖8 C項能量的隨時間變化關(guān)系(U=11.9 m/s)Fig.8 Aerodynamic energy C vs time(U=11.9 m/s)

另一方面，隨著時間的推移，A1項消耗的能量越來越多，因此該項能量對系統(tǒng)的穩(wěn)定性起重要的作用。

圖9 各項能量占總能量的百分比隨風(fēng)速的變化關(guān)系Fig.9 The percentage of the energy vs the wind speed

圖10 A1項能量隨風(fēng)速的變化關(guān)系 (U=16.0 m/s)Fig.10 Aerodynamic energy A1vs time(U=16.0 m/s)

圖11 氣動剛度輸入振動系統(tǒng)能量的隨時間變化關(guān)系(U=16.0 m/s)Fig.11 The energy input to the vibration system by aerodynamic stiffness vs time(U=16.0 m/s)

3 結(jié)論

本文以二維耦合顫振理論為基礎(chǔ)，應(yīng)用激勵-反饋的分步分析方法對耦合方程進行解耦，建立了結(jié)構(gòu)-氣流系統(tǒng)顫振能量機理的分析框架，通過引入考慮阻尼影響的初始運動方程詳細推導(dǎo)了扭轉(zhuǎn)振動和豎向振動系統(tǒng)內(nèi)部各種作用力輸入到振動系統(tǒng)的能量計算方法，結(jié)合平板風(fēng)洞試驗分析了顫振發(fā)生過程中系統(tǒng)內(nèi)主要作用力的氣動能量輸入特性，從能量轉(zhuǎn)換的角度對平板彎扭耦合顫振的機理進行了研究，通過上述的研究對平板彎扭耦合顫振的機理可以從以下幾個方面進行闡述:

(2)在平板耦合顫振發(fā)生過程中扭轉(zhuǎn)氣動阻尼力與扭轉(zhuǎn)振動的速度方向始終是完全的反相位，隨著風(fēng)速的增加，平板的氣動導(dǎo)數(shù)的絕對數(shù)值不斷增大，從而使其耗能能力不斷增強，成為扭轉(zhuǎn)振動的最為主要的耗能因素。

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