胡異丁， 任偉新，楊 棟， 李 苗

(1.中南大學 土木工程學院，長沙 410075;2.五邑大學 信息工程學院，廣東 江門 529020)

非平穩(wěn)信號的分析是目前信號處理中的難點問題。非平穩(wěn)信號泛指具有時變能量譜的確定性信號和具有時變功率譜的隨機信號［1］。非平穩(wěn)性可以具體體現(xiàn)為瞬態(tài)信號，或者對確定性和隨機性信號的調(diào)幅和調(diào)頻等形式［2］。在機械故障診斷、地震波信號、結(jié)構(gòu)振動信號研究領(lǐng)域中采集到的振動信號中也往往包含著非平穩(wěn)調(diào)制信號成分。因此，在振動信號處理等領(lǐng)域中，調(diào)制理論及其包絡(luò)解調(diào)方法的研究一直是眾多學者關(guān)注的熱點。

希爾伯特變換平方解調(diào)是一種較常用的調(diào)幅信號的解調(diào)分析方法，其中，在一定條件下選取合適的截止頻率的低通濾波器則可以獲取調(diào)幅信號的包絡(luò)。最近，Chen等［3］提出了一種新的信號分解方法-解析模態(tài)分解法，該方法可從信號中分離出各頻帶內(nèi)的諧波成分。Felderman［4］對這種方法給出了理論解釋，并認為它適合非平穩(wěn)信號的低通濾波。本文利用Feldman的濾波器結(jié)合希爾伯特變換平方解調(diào)的方法得出，在滿足一定條件下，可以將非平穩(wěn)調(diào)幅信號進行解調(diào)，得到包絡(luò)。

1 希爾伯特變換基本理論

希爾伯特變換是一種積分變換，信號x(t)的希爾伯特變換H［x(t)］定義為［5］:

可見，H［x(t)］是將信號x(t)與 1/πt卷積。因此，希爾伯特變換結(jié)果(t)可以理解成為:輸入信號x(t)經(jīng)過一個沖激響應(yīng)為1/πt的線性時不變系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)。

希爾伯特變換是一種線性的積分運算，對任意標量a1、a2以及信號x1(t)和x2(t)有H［a1x1(t)+a2x2(t)］=a1(t)+a2(t)。常數(shù)的希爾伯特變換為0。信號x(t)與(t)只是相位譜不同，而信號的幅度譜，能量譜或者功率譜都是相同的，能量或功率也相同。將信號x(t)經(jīng)過兩次希爾伯特變換后得到-x(t)。信號x(t)與其希爾伯特變換是正交的，即。正弦信號sin(t)的希爾伯特變換為-cos(t)，余弦信號cos(t)的希爾伯特變換為 sin(t)［6］。

2 一種基于希爾伯特變換的低通濾波器

Chen等［3］提出了基于希爾伯特變換的一種新的信號分解方法，可從振動時程信號中提取出密集頻率的諧波成分。

Feldman［4］通過改進的Bedrosian公式證明了該分解方法，并做出了新的解釋。對一由慢變成分s(t)與快變成分f(t)相加的信號x(t)，即x(t)=s(t)+f(t)，且慢變成分s(t)與快變成分f(t)在頻帶無重疊，若存在復函數(shù)Y(t)=y(t)+i(t)(其中(t)為y(t)的希爾伯特變換，且y2(t)+(t)=1)，其頻譜處在慢變和快變成分的頻譜之間，則有:

即可得到:

又:

因此可分離得到慢變成分s(t)

式(3)表明，只要慢變成分頻譜成分(不僅僅是單個諧波)較由一對正交函數(shù)y(t)和(t)構(gòu)成的復函數(shù)Y(t)的頻率低，則可以通過希爾伯特變換被提取出來。

若定義正交函數(shù)的頻率為某單一頻率ωc，即Y(t)=y(t)+i(t)=cosωct+isinωct，代入式(3)可得:

式(4)表明任何低于正交函數(shù)頻率ωc的慢變成分s(t)從信號x(t)中被提取出來，因而也可將其理解為希爾伯特變換低通濾波器，正交函數(shù)的頻率ωc也可稱為該低通濾波器的截止頻率。顯然，高于截止頻率ωc的快變成分f(t)也同時被分離出來。

3 希爾伯特變換平方包絡(luò)解調(diào)

如果信號x(t)由慢變信號s(t)與快變信號f(t)相乘，即x(t)=s(t)f(t)，這樣就形成了調(diào)幅信號。為了避免過調(diào)幅設(shè)s(t)≥0。

令:

根據(jù) Bedrosian 乘積定理［7］:

可得:

令r(t)=f2(t)+H2［f(t)］，顯然r(t)≥0，因此必然包含直流成分。為了簡化處理，這里假設(shè)快變信號是兩個諧波信號之和:

f(t)的希爾伯特變換為:

或:

式(10)表明，r(t)主要包含了兩個不同成分:一是常數(shù)部分為兩個諧波幅度的平方和，另一部分為兩諧波的差頻成分［8］。將式(10)代入式(7)，得到:

令:

則:

設(shè)s(t)的最高頻率分量為 ωmax，若 ω1-ω2?2ωmax，則sA(t)和fA(t)頻譜仍舊不發(fā)生混疊，利用前述希爾伯特低通濾波器，選擇合適的截止頻率ωc則可提取出慢變成分sA(t)。通過sA(t)可估計出慢變包絡(luò)A(t):

可以看出，估計出的慢變包絡(luò)與原始的包絡(luò)僅僅是幅度不同。

本文方法適用的先決條件是確保Z(t)內(nèi)的慢變成分僅有s2(t)項，也即sA(t)和fA(t)的頻譜不發(fā)生混疊。在使用過程中截止頻率ωc的選擇可以通過經(jīng)驗或者實驗中確定。

4 算例

4.1 慢變非平穩(wěn)函數(shù)調(diào)制兩個快變諧波之和

算例1:考慮慢變非平穩(wěn)信號為線性調(diào)頻信號s(t)=2+sin(2π×0.01×t2)，快變信號為兩個諧波信號之和f(t)=0.1×cos(2π ×8t)+0.2×cos(2π ×22t)。調(diào)制以后的信號為x(t)=s(t)f(t)，如圖1(a)所示，其短時傅里葉變換的時頻譜如圖1(b)所示。考慮到慢變成分的頻帶寬度，選擇截止頻率為6 Hz，提取的包絡(luò)如圖1(c)所示。圖1(d)為解調(diào)后的快變成分的時頻圖。可見該方法能成功的完成非平穩(wěn)調(diào)幅信號的解調(diào)。

圖1 慢變非平穩(wěn)函數(shù)調(diào)制兩個諧波之和的信號的解調(diào)Fig.1 Demodulation of a slow non-stationary function modulating composition of two harmonics

圖2 慢變間隔高斯脈沖調(diào)制快變線性調(diào)頻信號的解調(diào)Fig.2 Demodulation of an interval gaussian function modulating linear frequency modulation signal

4.2 慢變非平穩(wěn)函數(shù)調(diào)制非平穩(wěn)快變成分

算例2:考慮一慢變間隔的高斯脈沖信號s(t)調(diào)制快變的線性調(diào)頻信號f(t)=sin［2π ×(20-0.2t)×t］，即x(t)=s(t)f(t)，如圖2(a)所示。其短時傅里葉變換的時頻譜如圖2(b)所示?？紤]到慢變成分的頻帶寬度，選擇截止頻率為6 Hz，圖2(c)和圖2(d)分別為解調(diào)后的包絡(luò)以及余下的快變成分的時頻圖。從圖中可以看出慢變間隔的高斯脈沖和線性調(diào)頻信號都能夠很好地恢復出來。

5 結(jié)論

非平穩(wěn)信號的分解是信號處理中的難點問題，振動信號處理等領(lǐng)域中非平穩(wěn)調(diào)幅信號的解調(diào)一直受到關(guān)注。本文利用希爾伯特變換方法提取了非平穩(wěn)調(diào)幅信號的包絡(luò)，從而實現(xiàn)非平穩(wěn)調(diào)幅信號的分解。該方法取決于包絡(luò)成分和快變成分的頻譜分布在一定條件下不發(fā)生混疊以及選取合適的截止頻率，截止頻率可以通過實驗或者經(jīng)驗來選取。數(shù)值算例驗證了該方法的有效性。

［1］劉本永.非平穩(wěn)信號分析導論［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2006.

［2］BorgnatP，F(xiàn)landrin P. Time-frequency surrogates for nonstationary signal analysis［C］.8th IMA International Conference on Mathematics in Signal Processing，Cirencester，UK，2008.

［3］Chen G D，Wang Z C.A signal decomposition theorem with Hilbert transform and its application to narrowband time series with closely spaced frequency components［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2012，28:258-279.

［4］Feldman M.A signal decomposition or lowpass filtering with Hilberttransform ［J］. MechanicalSystemsand Signal Processing，2011，25(8):3205-3208.

［5］Hahn S L.Hilbert transform in signal processing［M］.Artech House，1996.

［6］Feldman M.Hilbert transform in vibration analysis［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2011，25(3):735 802.

［7］Bedrosian E.A product theorem for hilbert transform［J］.Proceedings of the IEEE，1963，51:868-869.

［8］Feldman M.Hilbert transform applications in mechanical vibration［M］.John Wiley＆ Sons，2011.