朱海峰，祝長(zhǎng)生

（浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310027）

0 引 言

電機(jī)運(yùn)行時(shí)，電機(jī)中存在基波磁場(chǎng)和一系列的諧波磁場(chǎng)，這些磁場(chǎng)相互作用，不僅會(huì)產(chǎn)生切向的電磁力矩，還會(huì)產(chǎn)生隨時(shí)間和空間變化的徑向力［1］，電機(jī)正常運(yùn)行的情況下，徑向力的合力是很小的，但是當(dāng)電機(jī)出現(xiàn)偏心時(shí)，會(huì)產(chǎn)生顯著的低階單邊磁拉力。此時(shí)，不僅電機(jī)的振動(dòng)和噪聲會(huì)增大，嚴(yán)重時(shí)還會(huì)使電機(jī)的定、轉(zhuǎn)子發(fā)生摩擦，縮短電機(jī)的使用壽命。電機(jī)電磁力計(jì)算一般采用近似解析法和數(shù)值分析法。近似解析法起源于上世紀(jì)40年代，該方法利用氣隙磁導(dǎo)和磁勢(shì)來(lái)計(jì)算氣隙磁場(chǎng)產(chǎn)生的電磁力［2-3］。數(shù)值分析法是隨著計(jì)算電磁學(xué)和計(jì)算機(jī)的發(fā)展而迅速發(fā)展起來(lái)的方法。由于這種方法能夠考慮的因素較多，隨著各種商用電磁場(chǎng)分析軟件的普及應(yīng)用和計(jì)算機(jī)性能的提高，目前電機(jī)電磁特性分析中大多數(shù)采用數(shù)值分析法來(lái)計(jì)算電磁力。吳正德等［4］運(yùn)用有限元法計(jì)算出異步電機(jī)的傳遞函數(shù)，在通過(guò)傳遞函數(shù)計(jì)算電磁力，Ten?hunen等［5］討論了在不同偏心率下，將異步電機(jī)的磁導(dǎo)視作線性的準(zhǔn)確性，Pedro［6］和Dorrel［7］用有限元法計(jì)算了異步電機(jī)轉(zhuǎn)子偏心時(shí)氣隙磁場(chǎng)分布情況。

幅值較大的低階徑向力是引起電磁噪聲的主要根源，當(dāng)徑向力的力波階次及頻率與電機(jī)某階模態(tài)的階次和頻率相等時(shí)，發(fā)生諧振，電機(jī)的振動(dòng)和噪聲會(huì)顯著增加［8］。因此為了研究降低電機(jī)的振動(dòng)和噪聲就必須同時(shí)弄清徑向力波的頻率、階次和幅值，采用傳統(tǒng)的解析算法可以準(zhǔn)確地得到電磁力的階次與頻率，且計(jì)算快速，能夠直觀地反映電磁力與電機(jī)的結(jié)構(gòu)和電磁參數(shù)間的關(guān)系；有限元算法能夠考慮飽和、非線性等因素的影響，計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。

本研究采用近似解析算法和有限元法相結(jié)合，首先用近似解析法確定出異步電機(jī)在靜偏心時(shí)徑向力的主要頻率和階次，然后用有限元法校核徑向力的頻率和階次，并定量地確定出徑向力的大小。

1 理論分析

1.1 氣隙磁場(chǎng)的建立

異步電機(jī)徑向力的解析算法就是利用氣隙磁導(dǎo)和磁勢(shì)來(lái)計(jì)算氣隙磁場(chǎng)產(chǎn)生的電磁力，當(dāng)考慮齒槽和轉(zhuǎn)子靜偏心時(shí)，異步電機(jī)的定、轉(zhuǎn)子建立的氣隙磁場(chǎng)過(guò)程如圖1所示［9］。當(dāng)在定子三相對(duì)稱繞組中通以三相對(duì)稱電流時(shí)，定子繞組中的電流建立穿過(guò)氣隙的磁壓降（該磁壓降包含基波分量和一系列由于定子繞組在空間上的非正弦分布導(dǎo)致的空間諧波分量），該磁壓降與氣隙磁導(dǎo)（包含常數(shù)項(xiàng)和由定、轉(zhuǎn)子齒槽及偏心帶來(lái)的諧波分量）相互作用，產(chǎn)生定子磁場(chǎng)部分。定子磁場(chǎng)在轉(zhuǎn)子導(dǎo)條上感生電流，形成轉(zhuǎn)子磁壓降，轉(zhuǎn)子磁壓降與氣隙磁導(dǎo)相互作用產(chǎn)生轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)部分，轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)同樣會(huì)在定子繞組上感生出電流。通過(guò)這種相互作用形成了氣隙磁場(chǎng)的各個(gè)組成部分。

圖1 氣隙磁場(chǎng)形成示意圖

1.2 定、轉(zhuǎn)子繞組磁勢(shì)

定子繞組三相對(duì)稱分布的異步電機(jī)運(yùn)行時(shí)，定、轉(zhuǎn)子繞組的合成磁勢(shì)為:

式中:f0—基波磁勢(shì)，fν—定子諧波磁勢(shì)，fμ—轉(zhuǎn)子諧波磁勢(shì)，ν—定子諧波次數(shù)，μ—轉(zhuǎn)子諧波次數(shù)。

電機(jī)在空載時(shí)可僅考慮其齒諧波的作用，因此定、轉(zhuǎn)子諧波次數(shù)可寫作:

式中:p—電機(jī)極對(duì)數(shù)；Z2—轉(zhuǎn)子槽數(shù)；k1，k2—非零整數(shù)。

式（1）中，各磁勢(shì)均為時(shí)間和空間的變量，具體表示為:

式中:F0—基波磁勢(shì)幅值；Fν—定子諧波磁勢(shì)幅值；Fμ—轉(zhuǎn)子諧波磁勢(shì)幅值；ω1—基波旋轉(zhuǎn)角速度；ωμ—轉(zhuǎn)子μ次諧波相對(duì)于定子的角速度；φ0，φ1，φ2—相位角。

1.3 靜偏心時(shí)的氣隙磁導(dǎo)

當(dāng)轉(zhuǎn)子不存在偏心時(shí)，考慮定、轉(zhuǎn)子開槽帶來(lái)的齒槽效應(yīng)，氣隙的磁導(dǎo)可近似表示為:

式中:第一項(xiàng)—為氣隙磁導(dǎo)的不變部分，第二項(xiàng)—轉(zhuǎn)子光滑而定子開槽引起的氣隙諧波磁導(dǎo)，第三項(xiàng)—定子光滑而轉(zhuǎn)子開槽引起的氣隙諧波磁導(dǎo)，最后一項(xiàng)—定子和轉(zhuǎn)子均開槽相互作用引起的氣隙諧波磁導(dǎo)。

由于最后一項(xiàng)值較小，可以不考慮則不存在偏心時(shí)，考慮定、轉(zhuǎn)子齒槽效應(yīng)的氣隙磁導(dǎo)為:

當(dāng)轉(zhuǎn)子與定子間出現(xiàn)靜偏心時(shí)，會(huì)導(dǎo)致氣隙分布的不均勻，此時(shí)氣隙大小的表達(dá)式為:

式中:δ0—均勻氣隙，δε—靜偏心值。

此時(shí)氣隙的磁導(dǎo)為:

式中:ε—相對(duì)偏心率，ε=δε/δ0。

將式（7）進(jìn)行傅里葉展開，在分解項(xiàng)中僅保留第一項(xiàng)，則得到轉(zhuǎn)子靜偏心時(shí)氣隙磁導(dǎo)為:

1.4 轉(zhuǎn)子靜偏心時(shí)的氣隙磁場(chǎng)及激振力

當(dāng)轉(zhuǎn)子靜偏心時(shí)，氣隙磁場(chǎng)為:

式中:前三項(xiàng)—異步電機(jī)正常運(yùn)行時(shí)的氣隙磁場(chǎng)，后三項(xiàng)—異步電機(jī)轉(zhuǎn)子靜偏心時(shí)所產(chǎn)生的附加磁場(chǎng)。

當(dāng)異步電機(jī)出現(xiàn)轉(zhuǎn)子靜偏心時(shí)會(huì)在氣隙中引起新的階次而頻率與正常運(yùn)行時(shí)相同的附加磁場(chǎng)，且附加磁場(chǎng)的幅值正比于相對(duì)偏心率的一半。

由電機(jī)氣隙產(chǎn)生并作用于定子鐵芯內(nèi)表面單位面積上徑向電磁力的數(shù)值和分布，按麥克斯韋定律，正比于磁通密度的平方，可按下式確定:

式中:μ0—空氣的磁導(dǎo)率，由于振動(dòng)階數(shù)較低、幅值較大的力波對(duì)電機(jī)的振動(dòng)和噪聲起主要作用，而恒定分量不產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲，因此本研究將式（9）代入式（10），并略去恒定分量以及振動(dòng)階數(shù)較高、幅值較小的力波分量，可得異步電機(jī)轉(zhuǎn)子靜偏心時(shí)徑向電磁力的表達(dá)式為:

由式（11）可知，由轉(zhuǎn)子靜偏心所產(chǎn)生的p±1次附加磁場(chǎng)與基波磁場(chǎng)相互作用，可能產(chǎn)生一階的低頻徑向力:

該力的頻率為:

即當(dāng)轉(zhuǎn)子靜偏心時(shí)，該力的頻率可能為零。

2 有限元分析及計(jì)算

在用ANSYS進(jìn)行異步電機(jī)的磁場(chǎng)分析后，各氣隙單元的磁通密度為已知，本研究采用麥克斯韋應(yīng)力張量法（Maxwell Stress Tensor），可以計(jì)算作用在電機(jī)定子內(nèi)表面的切向力密度pt和徑向力密度pn分別為［10］:

在進(jìn)行異步電動(dòng)機(jī)有限元電磁場(chǎng)分析時(shí)，研究者需對(duì)模型的邊界條件進(jìn)行假設(shè)，以簡(jiǎn)化計(jì)算。本研究所采用的基本假設(shè)為:①忽略異步電動(dòng)機(jī)的端部效應(yīng)，即電機(jī)沿軸向的磁場(chǎng)沒有變化，將電機(jī)的三維電磁場(chǎng)簡(jiǎn)化為二維電磁場(chǎng)；②電機(jī)定子以外的空間不存在磁場(chǎng)；③電機(jī)材料為各向同性；④忽略位移電流；⑤定子通入三相對(duì)稱交流電。

本研究仿真所用異步電機(jī)的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為:電機(jī)極數(shù)2p=4，定子槽數(shù)Z1=36，轉(zhuǎn)子槽數(shù)Z2=32。定子外徑210 mm，定子內(nèi)徑136 mm，轉(zhuǎn)子外徑134 mm，轉(zhuǎn)子內(nèi)徑48 mm，相對(duì)偏心率10%。

有限元計(jì)算的二維求解域及其網(wǎng)格劃分如圖2所示。

圖2 異步電機(jī)二維求解域及其網(wǎng)格劃分

為了考慮轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)和沿周向均勻獲取磁密值，筆者將氣隙分為3個(gè)部分進(jìn)行剖分，氣隙剖分示意圖如圖3所示。內(nèi)層氣隙和外層氣隙為自由剖分，內(nèi)層氣隙用于在添加轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)予以刪除和重建；中間氣隙為固定剖分，沿周向分為720等份，以得到氣隙中線上的磁密值。

本研究采用時(shí)步法計(jì)算，得到某時(shí)刻異步電動(dòng)機(jī)沒有靜偏心和有靜偏心的磁力線圖4所示。

圖3 氣隙剖分示意圖

圖4 電機(jī)磁力線分布

由圖4比較可知，當(dāng)電機(jī)不存在靜偏心時(shí)，其磁力線的分布是對(duì)稱的，而當(dāng)靜偏心存在時(shí)磁力線會(huì)向氣隙小的那一端集中，磁力線分布更加密集。

根據(jù)式（6），電機(jī)轉(zhuǎn)子在10%靜偏心時(shí)氣隙長(zhǎng)度隨空間角度的變化如圖5所示。

圖5 電機(jī)氣隙隨空間角度的變化

從圖5可以看出在（0，90）和（270，360）機(jī)械角度內(nèi)出現(xiàn)靜偏心的電機(jī)氣隙小于正常運(yùn)行時(shí)電機(jī)的氣隙長(zhǎng)度，在這些地方氣隙磁導(dǎo)大于正常運(yùn)行電機(jī)的磁導(dǎo)，同樣的磁勢(shì)產(chǎn)生的磁密也更大。正常運(yùn)行及靜偏心時(shí)氣隙磁密如圖6所示。

圖6 正常運(yùn)行及靜偏心時(shí)氣隙磁密

由麥克斯韋應(yīng)力張量法計(jì)算異步電動(dòng)機(jī)正常運(yùn)行及轉(zhuǎn)子靜偏心運(yùn)行時(shí)沿周向空間分布的徑向電磁力和它們的頻譜分析如圖7所示。

圖7 徑向力沿周向分布及其FFT

從電機(jī)在正常狀態(tài)下運(yùn)行和處于靜偏心狀態(tài)下運(yùn)行的徑向電磁力比較可知，在靜偏心時(shí)在氣隙較小處的徑向電磁力明顯大于氣隙較大處的徑向力，這將引起電機(jī)的單邊磁拉力，且磁拉力的方向沿著使偏心增大的方向，從而進(jìn)一步使電機(jī)的偏心程度增加，影響電機(jī)的性能，甚至導(dǎo)致電機(jī)出現(xiàn)轉(zhuǎn)子與定子之間的碰磨故障。從靜偏心時(shí)電磁力的空間頻譜可以看出，除了電機(jī)正常運(yùn)行時(shí)的力波階次外，還額外產(chǎn)生了±1次的力波，主要的力波階次如表2所示。

表2 主要徑向電磁力的階次分布

由理論分析可知，0階力波為負(fù)一階的定子齒諧波和正一階的轉(zhuǎn)子齒諧波磁場(chǎng)相互作用所產(chǎn)生；4階力波包含兩個(gè)分量:基波分量和正一階的定子齒諧波和正一階的轉(zhuǎn)子齒諧波相互作用產(chǎn)生的力波；8階力波由正一階的定子齒諧波和負(fù)一階的轉(zhuǎn)子齒諧波相互作用產(chǎn)生；32階力波為轉(zhuǎn)子一階齒諧波分量；36階力波為定子一階齒諧波分量。從圖7可以看出，定、轉(zhuǎn)子的齒諧波分量具有較大的幅值，但是由于其階數(shù)較高，故而對(duì)電機(jī)的振動(dòng)和噪聲的影響并不大。

同樣，采用麥克斯韋應(yīng)力張量法計(jì)算氣隙某一點(diǎn)徑向電磁力隨時(shí)間的變化如圖8所示。

圖8 徑向力隨時(shí)間變化及其FFT

從電機(jī)處于正常運(yùn)行狀態(tài)和靜偏心運(yùn)行狀態(tài)某點(diǎn)徑向力隨時(shí)間的變化情況可以看出，正常運(yùn)行時(shí)變化周期為一個(gè)電源時(shí)間周期（0.02 s），靜偏心運(yùn)行時(shí)變化周期為兩個(gè)電源時(shí)間周期（0.04 s），這是由于在正常運(yùn)行時(shí)每對(duì)極下的氣隙分布情況相同，而靜偏心時(shí)氣隙以磁極中心線為對(duì)稱軸對(duì)稱分布，當(dāng)忽略轉(zhuǎn)差，兩對(duì)極電機(jī)旋轉(zhuǎn)一周需要兩個(gè)電源時(shí)間周期。從它們的時(shí)間頻譜可以看出，靜偏心運(yùn)行時(shí)電磁力并未產(chǎn)生新的頻率，這與理論的推導(dǎo)是一致的。

3 徑向電磁力的定量確定

通過(guò)以上分析可知，在異步電機(jī)的徑向電磁力中同一頻率但力波的階次可能不同，力波的頻率不同但階次有可能相同。異步電機(jī)的振動(dòng)和噪聲既與徑向力波的頻率有關(guān)，也與其頻率相關(guān)。為了更好地確定異步電機(jī)在不同結(jié)構(gòu)和運(yùn)行狀態(tài)下產(chǎn)生的力波對(duì)電機(jī)振動(dòng)和噪聲的影響，同時(shí)確定出徑向力的幅值、階次和頻率是十分必要的。為了達(dá)到這一目標(biāo)，本研究首先由式（11）確定出對(duì)異步電機(jī)電磁振動(dòng)和噪聲影響較大的徑向力的階次和頻率如表3所示。

表3 靜偏心時(shí)主要徑向力的階次和頻率

在確定出異步電機(jī)徑向力的階次和頻率之后，需要借助二維的傅里葉分解方法對(duì)徑向電磁力的階次和頻率進(jìn)行校核，并確定出徑向力的幅值。徑向電磁力波以空間角度φ和時(shí)間t為變量，其二維的傅里葉分解如下式所示:

式中:m，n—徑向電磁力的空間階次和時(shí)間頻率。

為了對(duì)徑向電磁力波進(jìn)行二維傅里葉分解，就必須得到徑向電磁力隨時(shí)間和空間變化的二維矩陣，這通過(guò)ANSYS可以很容易地實(shí)現(xiàn)，然后用Matlab將得到的矩陣進(jìn)行二維傅里葉分解，便可同時(shí)得到徑向力波的幅值、頻率及階次。以異步電動(dòng)機(jī)在靜偏心穩(wěn)態(tài)運(yùn)行為例，可得二維傅里葉分解的結(jié)果如圖9所示。

由圖9可知直流分量和基波分量在異步電機(jī)的徑向電磁力中占據(jù)主導(dǎo)作用，而直流分量對(duì)電機(jī)的振動(dòng)和噪聲無(wú)影響，基波分量的振動(dòng)階次低，可能會(huì)產(chǎn)生明顯的振動(dòng)和噪聲。其他諧波分量雖然幅值較小，但有的基波分量階次低且頻率接近或者等于電機(jī)的固有頻率，也可能對(duì)電機(jī)的振動(dòng)和噪聲產(chǎn)生明顯的影響。

圖9 電機(jī)徑向力二維FFT

結(jié)合由理論公式計(jì)算出的對(duì)異步電機(jī)振動(dòng)和噪聲影響較大的電磁力波的階次和頻率以及由有限元計(jì)算出的電磁力波幅值，可以得到本研究所建電機(jī)在10%靜偏心下運(yùn)行的主要激振力如表4所示。

表4 電機(jī)在10%靜偏心運(yùn)行時(shí)的主要徑向力情況

由式（11）可知，由靜偏心引起的附加力波幅值應(yīng)與偏心量成正比，與表4結(jié)果一致。

4 結(jié)束語(yǔ)

本研究運(yùn)用理論分析和有限元計(jì)算相結(jié)合的方式計(jì)算異步電機(jī)靜偏心時(shí)的徑向力分布，首先通過(guò)理論分析得到主要的力波階次和頻率，然后通過(guò)有限元法校核并得到力波的幅值，得到的主要結(jié)論如下:

（1）異步電機(jī)靜偏心時(shí)會(huì)在原有力波基礎(chǔ)上產(chǎn)生新的階次而頻率相同的力波，其幅值正比于相對(duì)偏心率，新產(chǎn)生的力波階次較低，可能對(duì)振動(dòng)產(chǎn)生較大影響。

（2）偏心后產(chǎn)生的單邊磁拉力會(huì)使偏心進(jìn)一步加大，使電機(jī)運(yùn)行情況惡化。

（3）通過(guò)理論計(jì)算可以得到對(duì)電機(jī)振動(dòng)和噪聲影響較大的力波的階次和頻率，而通過(guò)有限元計(jì)算后對(duì)力波進(jìn)行二維的傅里葉分解，可以得到對(duì)用階次和頻率力波的幅值，兩者的結(jié)合可以為減少電機(jī)的振動(dòng)和噪聲提供理論上的依據(jù)。

（References）:

［1］周思剛.氣隙不均勻?qū)Ξ惒诫妱?dòng)機(jī)電磁噪聲的影響［J］.研究與開發(fā)，2006（8）:49-51.

［2］陳永校，諸自強(qiáng)，應(yīng)善成.電機(jī)噪聲的分析和控制［M］.杭州:浙江大學(xué)出版社，1987.

［3］舒波夫.電動(dòng)機(jī)的噪聲和振動(dòng)［M］.沈官秋，譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1980.

［4］WU D，PEKAREK S D，F(xiàn)AHIMI B.A field reconstruction technique for efficient modeling of the fields and forces within induction machines［J］.IEEE Transactions on En?ergy Conversion，2009，24（2）:366-374.

［5］TENHUNEN A，HOLOPAINEN T P，ARKKIO A.Spatial linearity of an unbalanced magnetic pull in induction mo?tors during eccentric rotor motion［J］.The International Journal for Computation and Mathematics in Electri?cal and Electronic Engineer，2003，22（4）:862-876.

［6］JOVER RODRIGUEZ P V，BELAHCEN A，ARKKIO A，et al.Air-gap force distribution and vibration pattern of Induc?tion motors under dynamic eccentricity［J］.Electrical Eng?eering，2008（90）:209-218.

［7］DORRELL D G，THOMSON W T，ROACH S.Analysis of airgap flux，current and vibration signals as a function of the combination of static and dynamic airgap eccentricity in 3-phase induction motors［J］.IEEE Transaction on In?dustry Engineering，1997，33（1）:563-570.

［8］TíMáR P L.Noise and Vibration of Electrical Machines［M］.Amsterdam:Elsevier，1989.

［9］SAHRAOUI M，GHOGGAL A，ZOUZOU S E，et al.Dynam?ic eccentricity in squirrel cage induction motors-Simula?tion and analytical study of its spectral signatures on stator currents［J］.Simulation Modelling Practice and Theory，2008（16）:1503-1513.

［10］佟寧澤.大中型感應(yīng)電機(jī)電磁力及定子振動(dòng)分析［D］.沈陽(yáng):沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，2006.