吳建云 王春潔 汪瀚

（北京航空航天大學(xué)機械工程及自動化學(xué)院，北京 100191）

（Mechanical Engineering and Automation School of Beihang University,Beijing 100191,China）

1 引言

合成孔徑雷達（Synthetic Aperture Radar，SAR）衛(wèi)星是自20 世紀70年代末發(fā)展起來的新型對地觀察遙感衛(wèi)星，其中有源相控平面陣型的SAR 衛(wèi)星具有質(zhì)量大、尺寸大、功耗大等特征，其在軌工作精度和天線機械精度緊密相關(guān)[1-2]。在空間展開狀態(tài)下，大質(zhì)量大尺寸的天線板主要是以懸臂狀態(tài)裝配于星體兩側(cè)，其工作精度受多重條件影響[3-4]，如衛(wèi)星工作的熱環(huán)境、結(jié)構(gòu)加工裝配誤差、機體振動影響等，其中，由太陽輻射能和星體負載工作產(chǎn)生的熱能可以通過隔熱技術(shù)加以有效隔絕，振動的影響可以通過被動阻尼器和隔振設(shè)備加以隔絕，但結(jié)構(gòu)加工和裝配產(chǎn)生的誤差不易消除。因此，分析加工裝配誤差對結(jié)構(gòu)精度的影響對于整體衛(wèi)星觀察精度的性能評估具有重要意義。目前對機械系統(tǒng)的誤差分析主要有經(jīng)驗公式法、極限誤差分析法、確定性模型仿真分析法，但由于誤差的不確定性和不精確性[5-8]，以上分析較為片面，所以可用概率的方法進行大量仿真，系統(tǒng)的評價誤差帶來的影響。本文利用蒙特卡洛法研究天線板機構(gòu)中鉸鏈鎖定誤差對精度的影響，根據(jù)鉸鏈鎖定誤差統(tǒng)計分析結(jié)果定量地對天線板精度進行分析、評估和預(yù)測。

2 蒙特卡洛法理論

蒙特卡洛法又稱統(tǒng)計模擬法，是一種以概率統(tǒng)計理論為指導(dǎo)，用概率模型來進行近似計算的方法。蒙特卡洛法的基礎(chǔ)是大數(shù)定律和中心極限定理[9-10]。根據(jù)大數(shù)定律可知當(dāng)抽取足夠多的隨機樣本后，計算得到積分的蒙特卡洛值將收斂于該積分的正確結(jié)果。如要進行誤差估計，則需要用到中心極限定理。該定理指出：無論單個隨機變量的分布如何，許多獨立隨機變量之和總是滿足正態(tài)分布，記為N（μ,σ2）。假設(shè)用g(x)來表示正態(tài)分布密度函數(shù)，其中μ為均值，σ為標(biāo)準差，則

3 衛(wèi)星天線板模型建立

3.1 動力學(xué)模型建立

天線擁有1 套可折疊的空間支撐桁架機構(gòu)來保證其剛度和精度，根據(jù)展開支撐機構(gòu)的設(shè)計原理，天線在軌展開之后由支撐機構(gòu)固定在展開狀態(tài)，而支撐機構(gòu)的支撐結(jié)構(gòu)則由具有位置鎖定機構(gòu)的鉸鏈來實現(xiàn)。為保證展開狀態(tài)的構(gòu)型穩(wěn)定和整體剛度，在展開狀態(tài)為死點位置的鉸鏈點，即兩側(cè)連桿呈180o的鉸鏈點處，設(shè)置位置鎖定機構(gòu)來實現(xiàn)在指定位置的鎖定。鎖定鉸鏈設(shè)置位置如圖1 中紅圈所示，其中A、O為機構(gòu)與星體的連接點。支撐機構(gòu)為3 維結(jié)構(gòu)，假設(shè)平行于圖1 構(gòu)型中xy 平面且過天線板質(zhì)心的平面為對稱平面，則除鉸鏈A、B、F 分布于整體機構(gòu)的對稱平面上之外，其余桿件和鉸鏈均關(guān)于對稱平面對稱分布，共有9個鎖定鉸鏈，共同完成對支撐機構(gòu)鎖定位置的固定。本文利用Adams 軟件進行動力學(xué)模型建立和仿真。

圖1 天線板構(gòu)型圖Fig.1 Structure of the Antenna

當(dāng)所有鉸鏈鎖定在理想位置、桿件保持絕對剛性的理想狀態(tài)下，天線板保持理想平面度和指向方向。但在實際工況中，由于鎖定鉸鏈機構(gòu)加工誤差、裝配誤差的存在，導(dǎo)致鉸鏈鎖定結(jié)構(gòu)在展開狀態(tài)并不能鎖定在指定角度上。由于結(jié)構(gòu)在展開鎖定之后為靜不定結(jié)構(gòu)，因此鉸鏈的不精確鎖定將會對結(jié)構(gòu)整體產(chǎn)生內(nèi)應(yīng)力，從而使得天線板指向和平面度發(fā)生偏移，從而影響天線在軌工作的精度。

3.2 有限元模型建立

為了精確分析天線板由于鉸鏈鎖定誤差導(dǎo)致的天線板精度變化，需要采用動力學(xué)模型結(jié)合靜力學(xué)分析的方法對結(jié)構(gòu)進行包含誤差的力學(xué)分析。首先進行多柔體動力學(xué)仿真，將天線板從收攏姿態(tài)無內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)開始展開，直到鉸鏈鎖定，較為準確地模擬了誤差在展開鎖定過程中所發(fā)揮的作用，之后提取動力學(xué)模型中最后鎖定時刻的結(jié)構(gòu)關(guān)鍵節(jié)點受力，再使用有限元軟件

進行靜力學(xué)計算，可以得到精度較高的結(jié)構(gòu)變形結(jié)果。為提高有限元計算效率，本文從整體有限元模型中分離出連接支撐機構(gòu)與天線板的內(nèi)外板框架結(jié)構(gòu)，如圖2所示，通過多柔體動力學(xué)模型仿真結(jié)果提取該子結(jié)構(gòu)與整體結(jié)構(gòu)其他部分連接點的內(nèi)力，作為外力加載到該子結(jié)構(gòu)上，可以簡單快速地仿真在整體機構(gòu)載荷下子結(jié)構(gòu)的變形情況。

圖2 有限元分析模型Fig.2 The finite element analysis model

3.3 精度指標(biāo)

為了量化地衡量天線板發(fā)生變形的程度，引入2個主要的指標(biāo)：平面度偏差和指向角度偏差。如圖3所示。

圖3 平面度及指向角度偏差測量原理Fig.3 Measurement principle of flatness and pointing direction

在2個天線板框架上取8個點作為測量擬合點，每塊天線板取4個點，分布于天線板框架與天線板連接處，測量其在引入誤差情況下的坐標(biāo)點位置，如式（3）所示，其中X,Y,Z 表示8個擬合點的x,y,z坐標(biāo)組成的向量。

圖3 中P0為2 塊天線板名義標(biāo)注平面，P1為由8個測量點通過回歸算法擬合的平面。方程為

式中 x,y,z為擬合平面內(nèi)任意點的坐標(biāo)；β1,β2,β3為系數(shù)。

Pup為與P1平面相平行并通過距離P1平面上側(cè)最遠點的平面，同理Pdown為下側(cè)距離P1平面最遠的平面。

平面度偏差定義為Pup平面與Pdown平面的距離，記作d，表達式為

指向角度偏差θ 定義為P1平面與P0平面的夾角，表達式為

4 蒙特卡洛法模擬

由于在加工過程中鎖定鉸鏈的鎖定誤差為一個隨機變量，并且每一個鉸鏈誤差值相互獨立，且有較為詳細的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，因此本文選用蒙特卡洛法進行分析。

4.1 動力學(xué)模型建立

根據(jù)鉸鏈安裝位置的不同，展開支撐機構(gòu)共使用了5 種9個鎖定鉸鏈。通過對實際使用的鎖定鉸鏈鎖定角度的測量與統(tǒng)計，判斷各鉸鏈鎖定角度均符合正態(tài)分布，得到該5 種鉸鏈鎖定角度的正態(tài)分布主要參數(shù)如表1所示，表中θB、θE、θH、θI、θO為圖1 中B、E、H、I、O 處鉸鏈鎖定角度；θE_2、θH_2、θI_2、θO_2為圖1 中E、H、I、O 處對稱布置的鉸鏈鎖定角度。

表1 各鎖定鉸鏈鎖定角度正態(tài)分布參數(shù)Tab.1 Normal distribution parameters of locking angle for each locking hinge

4.2 蒙特卡洛法分析流程

蒙特卡洛法的關(guān)鍵在于產(chǎn)生符合概率分布的高質(zhì)量偽隨機數(shù)和足夠的采樣點。本文使用多學(xué)科優(yōu)化軟件Isight 來實現(xiàn)蒙特卡洛法分析，集成多柔體動力學(xué)分析、有限元靜力學(xué)分析以及Matlab 擬合計算等流程集成。蒙特卡洛法分析流程如圖4所示。

圖4 蒙特卡洛法分析流程Fig.4 Analysis process of Monte Carlo method

5 仿真分析結(jié)果

5.1 蒙特卡洛樣本分析結(jié)果

根據(jù)上述分布函數(shù)和流程，選取500個采樣點進行蒙特卡洛法分析。每個采樣點包含9個服從已知概率分布、相互獨立的鉸鏈鎖定位置參數(shù)。統(tǒng)計分析結(jié)果得到平面度偏差的頻數(shù)分布直方圖如圖5所示，指向角度偏差的頻數(shù)分布直方圖如圖6所示。

圖5 樣本平面度偏差頻數(shù)分布直方圖Fig.5 Frequency distribution histogram of sample flatness error

圖6 樣本指向角度偏差頻數(shù)分布直方圖Fig.6 Frequency distribution histogram of sample pointing direction error

5.2 結(jié)果分布擬合與K-S 檢驗

根據(jù)蒙特卡洛法分析的結(jié)果可以得到指向角度偏差和平面度偏差的樣本結(jié)果，為得到兩者參數(shù)的整體分布情況并進行預(yù)測，可對分布直方圖進行曲線擬合，從兩者頻數(shù)分布直方圖中可以看出基本符合正態(tài)分布規(guī)律，先考慮使用正態(tài)分布進行擬合[11]。

通過對兩者結(jié)果的統(tǒng)計分析，可得到樣本中指向角度偏差和平面度偏差的均值和方差，同時可以給出估計的置信區(qū)間如表2所示。

表2 均值和方差整體估計的置信區(qū)間Tab.2 Confidence intervals for the estimated values of mean and variance

為檢驗正態(tài)分布擬合的可信度，采用K-S 檢驗（Kolmogorov-Smirnov）法來對擬合結(jié)果進行檢驗。

K-S 檢驗法是一種檢驗單一樣本是否服從某預(yù)先假設(shè)的特定分布的方法，其做法是以樣本數(shù)的累積頻數(shù)分布與特定理論分布比較，若兩者間的差距較小，則推論該樣本取自某特定分布族。

假設(shè)目標(biāo)分布為 F0(x)，樣本采樣分布為 F1(x)，，S (n,α )為樣本容量為n、顯著水平為α 時S 的拒絕臨界值。

當(dāng) S ＞S (n,α)時，表示 F1(x)拒絕 F0(x)的假設(shè)，反之則接受 F0(x)的假設(shè)。

本文使用Matlab 軟件中Kstest 函數(shù)算法對所得的指向度偏差與平面度偏差擬合的正態(tài)分布矩陣進行檢驗，取顯著水平α=0.05，驗證結(jié)果表明二者的采樣結(jié)果均符合正態(tài)分布。

根據(jù)正態(tài)分布原則[12]，可對整體指向角度偏差和平面度偏差進行估計，即指向角度偏差下限(μ -3)σ為－0.076 4o，上限(μ +3)σ為0.495 4o，平面度偏差下限(μ -3)σ為2.0mm，上限(μ +3)σ為5.8mm，實際偏差落入以上區(qū)間的概率可達99.74%。

6 結(jié)束語

1）建立了衛(wèi)星天線板動力學(xué)模型，可以提取天線板鎖定鉸鏈處受力，將力作用于建立的有限元模型，可進一步提取結(jié)構(gòu)關(guān)鍵節(jié)點變形，作為蒙特卡洛法的分析基礎(chǔ)。

2）給出了衡量天線板變形程度的2個主要指標(biāo)即平面度偏差和指向角度偏差。

3）通過給出的鉸鏈鎖定誤差分布進行蒙特卡洛分析，并將結(jié)果樣本進行擬合、檢驗和預(yù)測，可得到平面度偏差和指向角度偏差均滿足正態(tài)分布，兩者的均值分別為3.9mm和0.209 5o，由此可進一步得到其置信區(qū)間以及滿足3σ 原則[12]的變量上下限和概率。

通過蒙特卡洛分析得到的整體結(jié)果估計，對評估鉸鏈鎖定誤差對結(jié)構(gòu)精度的影響，以及實際結(jié)構(gòu)中結(jié)構(gòu)精度的偏差范圍具有重要意義，并可為之后通過機械方法以及控制算法等途徑減小誤差影響，提高SAR 衛(wèi)星分辨精度奠定基礎(chǔ)。

References)

[1]孫永巖.合成孔徑雷達衛(wèi)星構(gòu)型設(shè)計[J].航天返回與遙感,2008,29(3):45-50.SUN Yongyan.Synthetic Aperture Radar Satellite Configuration Design[J].Spacecraft Recovery &Remote Sensing,2008,29(3):45-50.(in Chinese)

[2]肖疆.合成孔徑雷達天線技術(shù)的若干關(guān)鍵問題研究[D].北京：中國科學(xué)院研究生院,2006.XIAO Jiang.Study on Some Key Problems of Synthetic Aperture Radar Antenna Technologies[D].Beijing:Graduation University of Chinese Aeademy of Seiences,2006.(in Chinese)

[3]周成剛，李東旭.衛(wèi)星大撓性桁架結(jié)構(gòu)振動抑制試驗研究[J].航天控制,2009,27(2):45-49.ZHOU Chenggang,LI Dongxu.Experiment of Vibration Suppression for Large Flexible Space Truss Structures of Satellite[J].Aerospace Control,2009,27(2):45-49.(in Chinese)

[4]張慧峰.空間可展開天線精度測量、熱分析、可靠性分析及間隙影響研究[D].杭州：浙江大學(xué),2010.ZHANG Huifeng.Surface Precision Measurement,Space Thermal,Reliability and Clearance Effect Analysis of Deployable Space Antennas[D].Hangzhou:Zhejiang University,2010.(in Chinese)

[5]丁希侖，周樂來，周軍.機器人的空間位姿誤差分析方法[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報,2009,35(2):241-245.DING Xilun,ZHOU Lelai,ZHOU Jun.Pose Error Analysis of Robot in Three Dmiension[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2009,35(2):241-245.(in Chinese)

[6]WU W D,Rao S S.Interval Approach for the Modeling of Tolerances and Clearances in Mechanism Analysis[J].Journal of Mechanical Design,2004,126(4):581-592.

[7]謝平,杜義浩,邢婷婷,等.機械系統(tǒng)誤差分析新方法[J].計算機工程與應(yīng)用,2011,47(7):36-39.XIE Ping,DU Yihao,XING Tingting,et al.New Error Analysis Method of Mechanical System[J].Computer Engineering and Applications,2011,47(7):36-39.(in Chinese)

[8]WU W D,RAO S S.Uncertainty Analysis and Allocation of Joint Tolerances in Robot Manipulators Based on Interval Analysis[J].Reliability Engineering and System Safety,2007,92(1):54-64.

[9]宋順廣.基于蒙特卡洛法的月球探測器著陸穩(wěn)定性分析[OL].北京:北京航空航天大學(xué)學(xué)報,2012 [2013.4].http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20121129.1104.003.htm.SONG Shunguang.Landing Stability Analysis of The Lunar Lander Based on Monte Carlo Approach [OL].Beijing:Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2012 [2013.4].http://www.cnki.net./kcms/detail/11.2625.V.20121129.1104.003.htm.(in Chinese)

[10]LU Y T,WANG C J,ZENG F M,et al.A Monte Carlo Analysis of Lunar Lander Dynamics at Touchdown [C]//CSAA.Proceedings of 2010 Asia-Pacific International Symposium on Aerospace Technology,Xi’an:Northwestern Polytechnical University Press,2010

[11]GB/T 4088-2008 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理和解釋：二項分布參數(shù)的估計與檢驗[S].北京：中國質(zhì)檢出版社,2008:40.GB/T 4088-2008 Data Statistical Process and Interpretation:Estimation and Inspection of Binomial Distribution Parameter[s].Beijing:China Quality and Inspection Press,2008:40.(in Chinese)

[12]李九龍，周凌柯.基于“3σ 法則”的顯著誤差檢測[J].計算機與現(xiàn)代化,2012,1(3):10-13.LI Jiulong,ZHOU Lingke.Detecting and Identifying Gross Errors Based on“3σ Rule”[J].Computer and Modernization,2012,1(3):10-13.(in Chinese)